新题征展(79)

A题组新编1.已知函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x).(1)若方程f(x)-m 1 x=0的所有实根和方程f-1(x-1)-m x=0的所有实根的集合为k元集合A,则集合A中所有元素的和为.(2)若方程f(x)-mx 1=0(m>0)的所有正根与f-1(x-1)-mx=0(m>0)的所有正根组成一个k元集合A,则集合A中所有元素的积为.(3)     

对反函数中的两个易混易误问题的剖析

1.混淆复合函数的反函数与反函数的复合函数例1已知f(x)=x2(x≤0),求f-1(x 1).误解∵f(x)=x2(x≤0),∴f(x 1)=(x 1)2(x≤-1),令y=f(x 1),即y=(x 1)2,解得x=-1±y,∵x≤-1,∴x=-1-y,∴f-1(x 1)=-1-x(x≥0).剖析误认为f-1(x 1)是f(x 1)的反函数,而事实上f-1(x 1)是反函数的复合函     

上期课外练习解答

高一年级1.(1)B≠φ时,-2√2相似文献   

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b.则a b=m.经类比探讨,笔者得到如下结论.定理若方程x·f(x)=m和x·f-1(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.该定理的证明用到类似文[2]的引理:若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为P(x0,y0),则点P′(y0,x0)一定是函     

综合题新编选登

题 1 33　已知函数 f(x) =a - 3x ,1)求f- 1(x) ;2 )试讨论 y =f(x) 与 y =f- 1(x)的交点个数 ,并求出交点坐标 .解　 1)由 y =a - 3x ,得x =- y23 a3.∴ f- 1(x) =- x23 a3(x≥ 0 )。2 )当 y =f(x) 与 y =f- 1(x)的交点在 y =x上时 ,联立y =x ,y =- x23 a3(x≥ 0 ) ,消去 y     

不动点的性质及应用

本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略,权当对教材的补充.一、函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解(1)代数意义:若方程f(x)=x有实根x0,则y=f(x)有不动点x0.(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根据情况进行讨论,同时结合图形来求解有关不动点的问题.二、函数不动点的性质性质1:函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),-1不动点.证明:由f(x0)=x0,可得f-1(x0)=x0,所以x0是y=f-1(x)的不动点.性质2:定义在R的…     

综合题新编选登

题158已知函数f(x)的导数f′(x)满足0α时,总有f(x)α,在α与β之间存在一点c,αα,所以f′(c)=1,与已知0相似文献   

西北工业大学·高等数学(B卷)

一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 4分 ,满分 2 0分 )1 .设 z =e- ( yx xy) ,则 dz| ( 1,2 ) =2 .由曲面 z =4-12 (x2 y2 )与平面 z =2所围成的立体的体积等于3.设Σ是平面 x y z =6被圆柱 x2 y2 =1所载下的部分取上侧 ,则 Σzdxdy =4.设 f (x)是以 2π为周期的周期函数 ,在区间 (-π,π]上有 f (x) =1 -x,　 -π 相似文献   

对三个指数方程求解的质疑

求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的,笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案,也没有注意定义域问题,所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.题1(见专著[1]第66页的第2题)(指数方程)试解方程:x(x2-1)=3.(提出人:广东大埔高陂方丁)解 设x=√y(x可为有理数或无理数),x2=y,故原方程变为(√y)y-1=3,即y(y-1)=3(3-)以,因此y=3,即x2=3,所以x=±√3.以√3或-√3代入原方程均符合,故本题的解答有两个,即x=√3及x=-√3.笔者先给出该题的完整解答:显然解x≠0.我们先看x＞0的情形.设f(x)=x(x2-1)(x＞0),得f′(x)=[e(x2-1)lnx]′=x(x2-1)(2xlnx-1/x)(x＞0)又设g(x)=2xlnx+x-1/x(x＞0),得g'(x)=2lnx+x-2+3(x＞0),gn(x)=2/x3(x+1)(x-1)(x＞0).     

类比——高考数学题中的一个亮点

类比是数学推理的一种重要形式 ,它的实质是根据两对象之间的相似 ,把信息从一个对象转移到另一个对象 .类比不仅在数学发现方面有着显著的作用 ,在解题教学、考查学生能力等方面也同样有显著的效果 .近几年高考尤其是上海数学试题做了有益的尝试 ,收到了很好的考查效率 .1 .互为反函数图像与性质的类比2 0 0 2年上海 1 2题 .已知函数 y =f(x) (定义域为点D ,值域为A)有反函数 y=f- 1 (x) ,则方程 f(x) =0有解x =a,且 f(x) >x(x∈D)的充要条件是 y=f- 1 (x)满足f- 1 ( 0 ) =a,且f- 1 (x) 相似文献   

函数与数列综合问题例析

数列是高考的热点 ,是学生进一步学习的基础 .数列与函数知识的综合应用是学生学习的难点 ,下面列举这方面的例子进行分析 .例 1　已知函数f(x)在 ( - 1,1)上有定义 ,f 12 =- 1,且满足x ,y∈ ( - 1,1)有 f(x) +f(y) =f x + y1+xy .1)证明 :f(x)在 ( - 1,1)上为奇函数 ;2 )对数列x1 =12 ,xn + 1 =2xn1+x2 n,求 f(xn) ;3)求证 1f(x1 ) + 1f(x2 ) +… + 1f(xn) >- 2n + 5n + 2 .解　 1)令x =y =0 ,则 2 f( 0 ) =f( 0 ) ,∴ f( 0 )= 0 .令 y =-x∈ ( - 1,1) ,则f(x) + f( -x) =f( 0 ) =0 ,∴ f( -x) =- f(x) ,即f(x)为 ( - 1,1)上的奇函数 .( 2 …     

从一道题看TI-92图形计算器的作图功能

有这样一道题:已知方程 2x-1=-2x2-α有两个不等实数根,求α的范围.在讲解这一道题时,笔者采用了如下方法: 解原方程等价于2x=-4x2-2α, 设y1=f1(x)=2x,y2=f2(x)=-4x2-2α. 要使原方程有两个不等实根,则需f1(x)与f2(x)的图象有两个不同交点,如图1所示. 由图可知:-2a>1,即α<-1/2.     

直觉必须真实——从2009年重庆市高考数学试题第(10)题说起

1 2009年重庆市高考数学试题第(10)题 已知以T=4为周期的函数f(x)={m√1-x2,x∈(-1,1],1-|x-2|,x∈(1,3]其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为()     

考点5 反函数

1.(江苏卷,2)函数y=21-x+3(x∈R)的反函数的解析表达式为().(A)y=log2x-23(B)y=log2x-23(C)y=log23-2x(D)y=log23-2x2.(山东卷,2)函数y=1-x x(x≠0)的反函数的图像大致是().(A)(B)(C)(D)3.(全国卷,3)函数y=3x2-1(x≤0)的反函数是().(A)y=(x+1)3(x≥-1)(B)y=-(x+1)3(x≥-1)(C)y=(x+1)3(x≥0)(D)y=-(x+1)3(x≥0)4.(辽宁卷,5)函数y=ln(x+x2+1)的反函数是().(A)y=ex+2e-x(B)y=-ex+2e-x(C)y=ex-2e-x(D)y=-ex-2e-x5.(天津卷,9)设f-1(x)是函数f(x)=12(ax-a-x)(a>1)的反函数,则使f-1(x)>1成立的x的取值范围为().(A)(a22-a1,+∞)(B)(-∞,a22-…     

浅谈函数的性质与方程的解

函数是中学数学的重要内容之一。它与数学中其它知识有着密切的联系;本文就函数的性质与方程的解给读者介绍一些方法。一、利用函数的对称性例1 已知函数 y=f(x)满足 f(2+x)=f(2-x).试证:方程 f(x)=0的根成对出现;并且若这个方程有四个根,试求这四个根之和。分析:由于 f(2+x)=f(2-x),这说明函数 y=f(x)的对称轴为 x=2,即 f(x)=f(4-x)∴当 x_0是方程 f(x)=0的一个根,同时4-x_0亦一定是 f(x)=0的根,故方程 f(x)=0     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1找到所有映射f:R→R,满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y,其中x,y∈R.解映射f(x)=0和f(x)=x2显然符合条件.下面证明不存在其它的映射符合要求.设映射f:R→R满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y(1)其中x,y∈R.令a=f(0).在(1)中取x=0则对任意y∈R,f(a y)=f(-y) 4ay(2)在(2)式中先取y=0,则有f(a)=a.取y=-a,则有a=a-4a2,即a=0.因此由(2)式知f是一个偶函数.在(1)式中令y=-f(x)及y=x2.比较其结果有4(f(x))2=4x2f(x).因而f(x)=0或f(x)=x2.现假设存在x0使得f(x0)≠0,则x0≠0及f(x0)=x02.因为f是偶函数.我们假设x0>0.令x为任意非零实数,在(1)式中令y=-x0,则…     

两道函数题的错解剖析

在函数这章的教学中 ,笔者发现学生在解题过程中出现与函数有关的两个相似的错误 .剖析如下 .错误 1　认为函数 y =f (x 1 )的反函数是 y =f-1(x 1 ) .例 1　已知 f (x) =2 x 3x - 1 ,函数 g(x)的图象与 y =f-1(x 1 )的图象关于直线y =x对称 ,则 g(3 ) =.错解　根据题意 ,g(x)是 f -1(x 1 )的反函数 ,而 f -1(x 1 )的反函数是 f (x 1 ) ,∴　 g(x) =f (x 1 )=2 (x 1 ) 3(x 1 ) - 1 =2 x 5x .故得　 g(x) =1 13 .剖析　 f (x 1 )的反函数是 f-1(x 1 )吗 ?我们不妨来求 f (x 1 )的反函数 ,设 y =f (x 1 ) ,则 x 1 =f -1(y) ,…     

错题、错解、巧解

错题 :数学通讯 2 0 0 3第 1 0期有这样一道新编综合题 :已知函数f(x) =-x3+ax2 +b(a ,b∈R)1 )若函数 y =f(x)图象上任意不同两点的连线斜率小于 1 ,求证 :-3   

综合题新编选登

题 6 9　 已知函数 f(x) =4x -ax2 + 1在区间 [α ,β]上为增函数 ,且 f(α)·f(β) =- 4.1)求 f(β) - f(α)的最小值及取到最小值时a的值 ;2 )求α ,β的值 (用a表示 ) .解　 1) f(x)在 [α ,β]上为增函数 ,且f(α)·f(β) =- 4<0 .∴ f(β) >0 >f(α) .则f(β) - f(α) =f(β) + [- f(α) ]≥ 2 - f(α)·f(β) =4 .“ =”成立时有 f(β) =- f(α) =2 .由 f(β) =2 ,得4 β -aβ2 + 1=2 ,∴ -a =2 (β - 1) 2 ≥ 0知a≤ 0 ;由 f(α) =- 2 ,得4α -aα2 + 1=- 2 ,∴a =2 (α + 1) 2 ≥ 0知a≥ 0 .则 f(β) - f(α)取最小值时a =0 .2 )首…     

反函数函数的一种几何解释

设函数 y=f ( x)的反函数存在 ,且 f′( x)≠ 0 ,则其反函数 x=f- 1( y) (或记 x=φ( y) ,此处φ=f- 1)的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线 ,如下图。关于函数 y=f ( x)在点 x处的导数 f′( x) ,其几何意义是曲线 y=f( x)在点 ( x,y)处的切线 l关于 x轴的斜率 ,从而有 dydx= f′( x) =tanα,其中α是切线 l与 x轴正向的夹角 ,同时记切线与 y轴正向夹角为 β。关于函数 x=f- 1( y) ( x=φ( y) ) ,在相应点 y处的导数为 φ′( y) ,其几何意义是曲线 x=f- 1( y) ( x=φ( y) )在点 ( x,y)处的切线 l,关于 y轴正向的…