微分方程的应用举例──导弹打飞机

若一架敌机以高度h匀速V0从西向东沿水平方向侵犯我领空，在t＝0时刻，敌机飞过我空军导弹部队某营上空，该营立即发射导弹打敌机，t1分钟就击落敌机。假设导弹以匀速V；飞行（V1＞V0），方向始终指向敌机。导弹的追踪轨迹称为弹道曲线，试求：①建立弹道曲线的微分方程，并求解；②导弹命中敌机时，敌机所在的位置；③导弹从发射到命中敌机所需的时间。解①，建立坐标系如图一。c—0时，敌机经o点沿【轴飞行，某导弹营位于八0，切点。在c时刻，导弹坐标为M（X，叫，敌机坐标为外x，0），将（‘）代入（’），得。”－”。’－），对工求…     

与中学老师谈微积分（3）——从3个经典例子看微积分的基本问题

2 从3个经典例子看微积分的基本问题 2．1 平均速度和瞬时速度例2．1用S=S（t）表示直线上运动物体在时刻t所走过的路程，V=V（t）表示它在时刻t的瞬时速度，则它在时间区间[u，v]上的平均速度的大小，应当在[u，v]上的某两个时刻的瞬时速度之间．     

’98考研试题点评二则

1998年全国攻读硕士学位研究生入学考试数学（试卷一）试题第五题为：从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度V之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为产，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为百（h＞0）。试建立y与V所满足的微分方程，并求出函数关系式J，一y（v）。这是一道应用题，问题贴近生活，和同济高等数学（下册）第355页例3的降落伞问题类似。不同之处在于…     

摩擦接触问题正则化方法的注记

1．问题及记号简化的具有库仑（Coulumb）摩擦的接触问题的变分形式如下（见［1］－［4］）：设fi，且＞0在上，其中为三维区域的边界，为固定位移边界，F为应力边界而rC为接触边界且mesC＞0．则问题题如下其等价的泛函极小问题为：Th：H‘（m－－＋H！（rD）的迹算子，o＝（。1，12，。扩为位移向量，／＝（人，h，h尸为体积力，土一（h，t。，tJ为rF上的边界应力向量；在r上，行为单位外法向，V。一本行，呵一i一V砰，而Eijki是弹性材料系数，满足通常的对称性及椭圆性条件：本文采用如下约定：凡每一项中出现重复指标，即意味着从1…     

保费到达为更新过程的复合更新风险模型

本在经典风险模型基础上，把索赔到达过程Nt加以推广为更新过程。且在保单到达非均匀的前提下，把保单到送过程推广为更新过程Mt，得到有限时间t孕余的瞬时分布ψ（u,θ0,t,α），然后求得时刻t的生存概率ψ（t,u，θ0)。     

二阶时滞微分方程周期边值问题正解的三解定理

利用Leggett—Williams不动点定理，研究了二阶时滞微分方程边值问题 {y＂（t）＋f（t,y（t-τ））=0,0〈t〈2π； y（t）=0,-τ≤t≤0; y（0）=y（2π） 正解的存在性．其中0〈r〈π/2为一常数．我们先建立了该问题至少存在两个正解的充分条件．接着给出其至少存在三个正解的存在定理．     

一类具分布时滞的高阶泛函微分方程的周期解存在性问题

利用Fourier级数理论。伯努利数理论和重合度理论研究了一类具分布时滞的高阶泛函微分方程x^（m）（t）＋f（x^（m-1）（t）＋g（∫-r^0x（t＋s）da（s））=p^（t）的周期解问题，得到了周期解存在的一些新结果．     

含有溶质的流体在两层多孔介质中的渗流问题

本文讨论含有溶质的流体在两层多孔介质中的渗流问题，即（θ（x，U）t=（K（x，U）Ux-K（x，U））x，（x，t）∈GT，（θ（x，U）V（x，t）t=（DθVx）x-（V（KUx-K））x，（x，t）∈GT，U（x，0）=U0（x），V（x，0）=V0（x），0≤x≤2，U（0，t）-h0（t），U（2，t）=h2（t），0≤t≤T，V（0，t）=g0（t），V（2，t）=g2（t），0≤t≤T。其中θ（x,U)=θ1(x,U)，当（x,t)∈D1=｛0≤x≤1,0≤t≤T｝；θ（x,U)=θ2(x,U)当（x,t）∈D2＋1｛1＜x≤2，0≤t≤T｝。K（x,U)=K1(x,U)当（x,t)∈D1;K(x,U)=K2(x,U)，当(x,t)∈D2。θi，Ki分别是Di上的介质含水率及水力传导率，V是溶质的浓度，此外还要求U，V，K（x,U)(Ux-1)及DθVx V(KUx-K)在x=1连续。     

具无限时滞的积分微分方程的周期解的存在性、唯一性及稳定性

1引言考虑如下的Volterra积分微分方程其中t∈R，x∈Rn；A（t），C（t，s），C（t-S）都是n×n连续函数矩阵；f：R→Rn连续．关于方程（1．1）及（1．2）的周期解的存在性问题，已有不少研究工作[1-4]，例如[1]研究了当n＝1时方程（1．1）的周期解的存在性问题．得到了如下结果：定理A[1]如果下列条件满足：（i）A（t＋T），f（t＋T）=f（t），C（t＋T，s＋T）＝C（t；s）对t，s∈R成立，其中T＞0是常数．（ii）方程（1．1）具有“衰退记忆”．（iii）存在着常数K＞1及μ＞0使得A（t）＋K∫t-∞|C（t，s）|ds＜－μ则方程（1．1）…     

微分方程组dX/dt=AX＋e^αt ∑k=0^mBkt^k特解结构定理及应用

对于常系数非齐线性微分方程组dX/dt=AX＋F（t），当强迫项F（t）=e^at ∑k=0^mBkt^k（这里Bk=（b1k，b2k，…，bnk）^T∈R^n），给出了微分方程组dt/dX=AX＋F（t）特解（t）的结构定理和计算方法，使求特解X^-（t）的积分运算转化为简单的代数运算.解决了计算机特解（t）的计算问题.     

微分方程组dX/dt=AX＋e~（αt）（cosβt·P_m~（（1））（t）＋sinβt·P_m~（（2））（t））特解结构定理及应用

对于一阶常系数非齐线性微分方程组dX/dt=AX＋e~（αt）（cosβt·P_m~（（1））（t）＋sinβt·P_m~（（2））（t））式中P（m1）（t）,P（m2）（t）为次数不超过m关于实变量t的n维向量实值多项式,当α＋iβ不是n级实方阵A的特征根时,本文给出了其特解~X（t）的结构定理和计算方法,使求特解...     

微分方程组（dX）/（dt）=AX＋e^αtPm（t）具有重特征根α时的特解结构定理及应用

对于常系数非齐线性微分方程组（dX）/（dt）=AX＋eαt sum （Bktk） from k=0 to m,当n级方阵A具有s≥1重特征根α时,本文给出了其特解X（t）的结构定理和计算方法,将求特解X（t）的积分运算转化为简单的代数运算,解决了利用计算机求特解X（t）的计算问题.     

技术创新的反应扩散模型研究

首先利用微分方程来描述技术创新的反应扩散过程，在充分考虑技术与环境之间相互关系的基础上，给出了具有代表性的几种技术创新扩散模型：竞争、互补、替代等模型；再根据微分方程定性理论，对所建立的模型进行经济分析，以寻求技术与环境之间的最佳协调状态。为模拟与预测市场的新旧技术更替及结构演变过程提供了理论依据，同时对技术创新的发展完善及创新技术的扩散推广具有一定的现实意义。     

障碍问题有限元逼近的并行Schwarz算法

1．引言设o为R‘中有界多角形区域，V为Sobolev空INH‘（fi）的子空间，叶，·）为VxV上连续强制对称双线性型，，f∈V．为简单计，设V中元素满足齐次边界条件．考虑变分不等式：求u∈K，使其中或者且w，4eH‘mnC‘m．设V‘cHI（m为V的有限元逼近，其结点参数集包含结点上的函数值．考虑（1），（2）或者（l），（3）的有限元逼近问题：求。。EK。，使aa…a；v－…三周v－uh），Vve仇；（4其中a。（·，·）为VxV上连续强制对称双线性型，fhe（V‘）”，而Kh＝（hE叶：hZ一于所有结点｝，（5或者As一扣E＊‘：。三V三中于所有结…     

一类脉冲微分方程正周期解存在的充要条件

考虑非线性脉冲微分方程{x＇（t）=x（t）[a（t）-b（t）x^p（t）],t≠tk, △x｜t=tk=ckx（tk）,k∈N.得到了该方程存在正周期解的充要条件为m∏k=1（1＋ck）^pexp（p∫^w 0）a（σ）dσ）＞1.     

一类二阶隐式微分方程的可解性

本文关注如下的二阶隐式微分方程f（t，u（t），u″（t））=0，a．e．t∈（O，1），边值条件为u（0）=u（1）=0．利用上下解方法和迭代技巧研究了该问题的可解性并得到了一些解的存在性结果．     

一类具偏差变元的二阶微分方程周期解

利用Mahwin重合度拓展定理研究了一类具偏差变元的二阶微分方程x^n（t）＋f（x’（t））＋h（x（t））x’（t）＋g（x（t—r（t）））=p（t）周期解问题，得到了周期解存在的一组充分条件．     

关于截断切割问题的一个研究

针对1997年全国大学生数学建模竞赛B题，在转刀费e≠0的情形下，本文通过设计四维状态点，用动态法生成有向带权图G(V，E，W)，成功地建立起动态规划模型，进一步用静态法生成G(V，E，W)，将实际问题描述成有向带权图的最短路问题，用Diistra算法求解。     

竞争模型与物价问题

<正> 物价问题难以用数学公式进行精确的描述,但物价的波动又有其内在规律.本文试图从物种竞争模型出发,应用微分方程解的局部稳定性理论,定性分析物价问题,寻找引起物价波动的原因,从某个角度得出稳定物价的措施.设甲,乙两物共处于同一环境,需要有同样的生存条件,在资源有限的情况下,显然二者之间存在竞争.设甲,乙两物在 t 时刻的数量分别为 x(t),y(t),则有     

关于LCS中一个模型的某些结果

研究局部凸空间（ＬＣＳ）中一个模型解的有关问题；且应用所得的某些理论结果，研究微分方程组的周期解问题。