不含短圈的平面图的存活率

设G是一个n-阶连通图(n≥2).假设火在G的某点v处燃起,消防员选择一个未着火的顶点进行保护,然后火蔓延到v的未被保护且没有着火的邻点.当火在点v处燃起时,消防员最多能保护到的顶点数记为sn(v).定义■为G的存活率.容易看到0 <ρ(G)<1.本文证明了:若平面图G不含长度从4到11的圈,则ρ(G)>1/481.     

1-平面图及其子类的染色

如果图G可以嵌入在平面上,使得每条边最多被交叉1次,则称其为1-可平面图,该平面嵌入称为1-平面图.由于1-平面图G中的交叉点是图G的某两条边交叉产生的,故图G中的每个交叉点c都可以与图G中的四个顶点(即产生c的两条交叉边所关联的四个顶点)所构成的点集建立对应关系,称这个对应关系为θ.对于1-平面图G中任何两个不同的交叉点c_1与c_2(如果存在的话),如果|θ(c_1)∩θ(c_2)|≤1,则称图G是NIC-平面图;如果|θ(c_1)∩θ(c_2)|=0,即θ(c_1)∩θ(c_2)=?,则称图G是IC-平面图.如果图G可以嵌入在平面上,使得其所有顶点都分布在图G的外部面上,并且每条边最多被交叉一次,则称图G为外1-可平面图.满足上述条件的外1-可平面图的平面嵌入称为外1-平面图.现主要介绍关于以上四类图在染色方面的结果.     

图的存活率与消防员问题

消防员问题可视为传染病、火灾、谣言、计算机病毒等传播的一个简化模型.假设一把火在一个图的某个点或多个点燃起,消防员选择若干个未着火的顶点进行防护,然后火蔓延到前一步着火点的未燃邻点.当火不再蔓延时整个过程结束.消防员问题自1995年提出以来引起了人们的广泛关注.本文简述了与消防员问题相关的最近研究进展,包括算法复杂性、无限图和有向图的消防员问题、图的存活率、图的燃烧数及一些有待于进一步研究的问题.     

围长至少为6的平面图的邻点可区别边染色

邻点可区别边染色是指图G有一个正常边染色且任意两个相邻顶点的颜色集合不相等.邻点可区别边色数是指使图G有一个邻点可区别边染色的最小颜色数值,记作χ_α’(G).本文证明了:若图G是围长至少为6的正常平面图,则有χ_α’(G)≤max{6,△(G)+1}.     

外平面图的有界染色

图G的k-有界染色是图G的一个最多有k个顶点染同一种颜色的顶点染色．图 G的k-有界染色数Xk(G)是指对G进行k-有界染色用的最少颜色数．本文给出了n个顶点的外平面图能用[n/k]种颜色k-有界染色的一些充分条件．     

一类直径为2的极大平面图的Mostar指数

图G的Mostar指数定义为Mo(G)=∑uv∈Ε(G)|nu-nv|,其中nu表示在G中到顶点u的距离比到顶点v的距离近的顶点个数,nv表示到顶点v的距离比到顶点u的距离近的顶点个数.若一个图G的任两点之间的距离至多为2,且不是完全图,则称G是一个直径为2的图.已知直径为2点数至少为4的极大平面图的最小度为3或4.本文研究了直径为2且最小度为4的极大平面图的Mostar指数.具体说,若G是一个点数为n,直径为2,最小度为4的极大平面图,则(1)当n≤12时,Mostar指数被完全确定;(2)当n≥13时,4/3n2-44/3n+94/3≤Mo(G)≤2n2-16n+24,且达到上,下界的极图同时被找到.     

平面图最小平衡二部划分的上界

关于平面图的平衡二部子图的研究有一个猜想:任意一n个顶点的平面图G(V,E),必含有一个平衡二部子图G(V_1,V_2)使得e(V_1,V_2)≤n.证明了若n个顶点的哈密尔顿平面图G(V,E)中含有一个近似等边三角形,n≥18,那么G(V,E)必含有一个平衡二部子图G(V_1,V_2)使得e(V_1,V_2)≤n.     

图的非负广义邻接矩阵的谱半径的一些界（英文）

顶点数为n,边数为m的简单图G的非负广义邻接矩阵定义为U(G)=γAA(G)+γ_II(G)+γ_JJ(G)+γ_DD(G),其中γ_A,γ_I,γ_J,γ_D是一些非负实数,A(G)是图G的邻接矩阵,D(G)=diag(d₁,d₂,…,d_n),I(G)是单位矩阵,J(G)是全1矩阵.本文得到了谱半径ρ_U(G)的一些界,并刻画了达到这些界时的极图.此外还得到了ρ_Aα(G)的新界以及ρ_A(G),ρ_L(G)和ρ_Q(G)的已知界.     

关于2-边连通3正则图荫度的一个注（英文）

图G的点荫度a(G)是G的使得每个子集诱导一个森林的顶点划分中子集的最少个数.我们熟知对任何平面图G,a(G)≤3,且对任何直径最大是2的平面图有a(G)≤2.文献[European J.Combin.,2008,29(4):1064-1075]中给出下列猜想:任何没有3-圈的平面图都有一个顶点的划分(V_1,V_2)使得V_1是独立集,V_2诱导一个森林.本文证明了任何2-边连通上可嵌入的3-正则图G(G≠K_4)都有一个顶点的划分(V_1,V_2)使得V_1是独立集,V_2诱导一个森林.     

IC-平面图的线性荫度

图G的边分解是指将G分解成子图G₁,G₂,...,G_m,使得E(G)-E(G₁)∪…∪.E(G_m),且对任意i≠j,有E(G_i)∩E(G_j)=?.若一个森林的每个连通分支都是路,则称该森林为线性森林.图G的线性荫度la(G)是指使得G可以边分解为m个线性森林的最小整数m.本文证明了Δ(G)≥15的IC-平面图G的线性荫度为[Δ(G)/2],这里Δ(G)是图G的最大度.     

关于极大外平面图的度偏差的极值

设G是一个由n个顶点,m条边构成的简单连通图.如果图G所有顶点的度相同,则我们称图G是正则图,反之,称图G是不规则图.对于一个不规则图G,由其不变量定义的度偏差为s(G)=∑_(i=1)^(n)|d_(i)-2m/n|,其中d_(i)表示G的第i个顶点的度.本文给出极大外平面图的度偏差的极大值和极小值,并刻画其对应的极值图.     

极大平面图的算术——几何指标（英文）

给定一个具有点集V(G)={v₁,v₂,…,v_n}和边集E(G)的图G,其算术—几何指标AG定义为■其中d_i表记G中点v_i的度数.最近,该拓扑指标在化学图论中被引入并得到广泛研究.本文分别刻画了直径为2且最小度为4的n阶极大平面图中具有最大和最小AG-指标的极大平面图.     

1-平面图的线性荫度

图G的边分解是指将G分解成子图G₁,G₂,…,G_m,使得E(G)=E(G₁)∪…∪E(G_m),且对任意i≠j有E(G_i)∩E(G_j)=?.若一个森林的每个连通分支都是路,则称该森林为线性森林.图G的线性荫度la(G)是指使得G可以边分解为m个线性森林的最小整数m.本文利用权转移方法证明了Δ(G)≥25的1-平面图G的线性荫度为[Δ(G)/2],这里Δ(G)是图G的最大度.     

关于第二类Zagreb指数猜想的一个证明

设G是一个n阶简单图.G的第二类Zagreb指数定义为M₂(G)=■d_id_j.其中d_i表示顶点i的度.Xu等(2014)提出了一个关于第二类Zagreb指数的猜想:在所有阶数为n、边数为m的图中,M₂(G)最大的图是拟完全的.借助于门槛图的Ferrers表的性质,本文将上述猜想转化为组合矩阵论优化问题,并给出该猜想的一个代数证明.     

多扇图的Pebbling数和Graham猜想

图G的pebbling数f(G)是最小的整数n,使得不论n个pebble如何放置在G的顶点上,总可以通过一系列的pebbling移动把1个pebble移到任意一个顶点上,其中一个pebbling移动是从一个顶点处移走两个pebble而把其中的一个移到与其相邻的一个顶点上。Graham猜想对于任意的连通图G和H有f(G×H)f(G)f(H)。多扇图F_n1,n2,…,nm是指阶为n₁+n₂+…+n_m+1的联图P₁∨(P_n1∪P_n2∪…∪P_nm)。本文首先给出了多扇图的pebbling数,然后证明了多扇图F_n1,n2,…,nm具有2-pebbling性质,最后论述了对于一个多扇图和一个具有2-pebbling性质的图的乘积来说,Graham猜想是成立的。作为一个推论,当G和H都是多扇图时,Graham猜想成立。     

禁用C4的IC-可平面图中Ck的最大个数

给定图G和H,如果图G不包含图H作为子图,则称图G是禁用H的.用ex_ICP(n,F,H)表示在所有禁用H且顶点数为n的IC-可平面图中,含与F同构的子图的最大个数.本文证明了对任意的k≥5,当n充分大时,有ex_ICP(n,C_k,C₄)=Θ(■).     

不含4-,6-圈和相交三角形的平面图的无圈边色数

图G的一个边染色φ:E(G)→{1,2,…,k},若满足任意相邻边都染不同的颜色,且图G不存在双色圈,则称φ为图G的一个无圈k-边染色.图G的无圈边色数χ’_α(G)为使得图G有一个无圈k-边染色的最小正整数k.本文主要证明了对于无4-,6-圈且3-圈与3-圈不相交的平面图G,若Δ(G)≥9,则χ’_α(G)≤Δ(G)+1.     

太阳图与路的笛卡儿积图的任意可分性（英文）

一个阶为n的图G称为是任意可分的(简作AP),如果对于任一正整数序列τ=(n₁,n₂,…,n_k)满足n=n₁+n₂+…+n_k,总是存在顶点集V(G)的一个划分(V₁,V₂,…,V_k)满足:对于i∈[1,k],|V_i|=n_i,且子图G|V_i|是图G的V_i导出的一个连通子图.我们用S~*=S(n;m₁,m₂,…,m_n)来表示最大度△(S~*)=3的太阳图.本文讨论了图S~*P_m(m≥3)的任意可分性.     

双圈图的邻点强可区别全染色

本文研究了双圈图的邻点强可区别全染色问题,并利用结构分析法给出了双圈图的邻点强可区别全色数的上界.即,当G是以∞-图为基图的双圈图时,则χ_ast(G)≤△(G)+2;其他χ_ast(G)≤△(G)+3.从而验证了张忠辅等提出的平面图的邻点强可区别全染色猜想在双圈图上是成立的.     

二部平面图的邻点可区别边色数

图G的邻点可区别边染色是G的一个正常边染色,使得每一对相邻顶点有不同的颜色集合.图G的邻点可区别边色数χ′_a(G)是使得G有邻点可区别边染色的最少颜色数.2006年,Edwards等证明了对最大度至少为12的连通二部平面图,有χ′_a(G)?+1.本文改进了上述结果,证明了若G是最大度至少为7的连通二部平面图,则χ′_a(G)?+1.