C2(4,k) 中的强支撑可迹图

设2≤h≤3,l0,k≥0是整数,C_h(l,k)是由h-边连通简单图组成的集合,图G∈C_h(l,k)当且仅当对图G的任意一个二边割或三边割X,图G-X的每个分支都至少有︱V(G)-k︱/l个点.设e=u_1v_1和e'=u_2v_2是图G的两条边.若e≠e',G(e,e')是将图G中的边e=u_1v_1和e'=u_2v_2分别用路u_1v_ev_1和u_2v_e'v_2替换得到的图(其中,v_e,v_e'是不在V(G)中的两个新的点).若e=e',G(e,e')是将图G中的边e=u_1v_1用路u_1v_ev_1替换得到的图,也记作G(e).若对任意的e,e'∈E(G),G(e,e')都有支撑(v_e,v_e')迹,则称图G是强支撑可迹的.作者证明了,若图G∈C_2(4,k)且|V(G)|5k,则要么图G是强支撑可迹图,要么存在e,e'∈E(G),使得G(e,e')可以收缩成一个有限图类F中的图.当k=4时,F被完全确定了.     

图的存活率与消防员问题

消防员问题可视为传染病、火灾、谣言、计算机病毒等传播的一个简化模型.假设一把火在一个图的某个点或多个点燃起,消防员选择若干个未着火的顶点进行防护,然后火蔓延到前一步着火点的未燃邻点.当火不再蔓延时整个过程结束.消防员问题自1995年提出以来引起了人们的广泛关注.本文简述了与消防员问题相关的最近研究进展,包括算法复杂性、无限图和有向图的消防员问题、图的存活率、图的燃烧数及一些有待于进一步研究的问题.     

NIC-平面图的存活率

假设火在图G的某个顶点燃起,消防员每步最多可以防护k个顶点,然后火蔓延到所有未被防护的邻点.当火随机地在图G的一个顶点燃起时,消防员最多能防护的顶点数的平均比率称为图G的k-存活率,记为ρ_k(G).如果图G能画在平面上使得每两对交叉边至多有一个公共顶点,那么称G是NIC-平面图.本文证明了NIC-平面图G有ρ₅(G)> 1/73.