一道东南数学奥林匹克试题的推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题):求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1(1)对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.本文给出此题的一个推广.推广设ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(2)恒成立.注:在推广中取n=3,A=6,B=1即得上述东南竞赛题.解ai=1n,i=1,2,…,n,得m≥An Bn2.下面证明,当ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn时,有(An Bn2)∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(3)下面证明(3)式成立.不妨设a1≥a2≥…≥an,则a12≥a22≥…≥an2,由切比雪夫不…     

对一道奥赛题的再探索

第三届（2006年）东南数学奥林匹克第6题为： 求最小的实数m，使不等式 m（a^3＋b^3＋c^3）≥6（a^2＋b^2＋c^2）＋1     

一个三角不等式的部分加强

第19届全俄中学生数学奥林匹克竞赛中有一个三角不等式问题：     

导数与AG不等式结合解证不等式

例1设a>1,b>1,求证:b a-21 a b-21≥8(第26届独联体数学奥林匹克题)推广到一般情形有:定理1对实常数k,a,若k>1,a>0,且xi>a,n≥2,n∈N,则(令xn 1=x1)∑ni=1xikxi 1-a≥nk(k k-a1)k-1证令f(x)=x-xka(x>a)则f′(x)=kxk-1(x-a)-xk(x-a)2=xk-1[((kx--1)a)x2-ka]令f′(x)=0得x=k k-a1     

一道三角不等式的修正

2005年中国东南地区数学奥林匹克的第8题是一道三角不等式如下： 设0〈α,β,γ〈π/2，且sin^3α＋sin^3β＋sin^3γ=1，求证，tan^2α＋tan^2β＋tan^2γ=1≥3/2√3。     

关于一道不等式赛题的推广

第三届北方数学奥林匹克邀请赛的第二题为： 设△ABC的三边长分别为a,b,c,且a＋b＋c=3．求：     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97.　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :(ａ 1 ) 3ｂ (ｂ 1 ) 3ｃ (ｃ 1 ) 3ａ ≥814.下面给出此题的证明 .证　左边≥ 3 (ａ 1 ) (ｂ 1 ) (ｃ 1 )3 ａｂｃ=3(ａ 12 12 ) (ｂ 12 12 ) (ｃ 12 12 )3 ａｂｃ≥ 3·33 ａ4·33 ｂ4·33 ｃ43 ａｂｃ =814.等号当且仅当ａ =ｂ =ｃ =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,求证 :　　(ａ2 1 ) ｍａ1 (ａ3 1 ) ｍａ2 … (ａ1 1 ) ｍａｎ≥ ｎｍｍ(ｍ - 1 ) ｍ -1.证　左边≥ｎ[(ａ2 1 ) (ａ3 1 )…     

我证这道竞赛题

2007年女子数学奥林匹克竞赛试题中有以下一道不等式赛题：题目已知a,b,c≥0,且a＋b＋c=1,求证：     

用Jensen不等式证明两道数学竞赛题

来看两道竞赛题．第一道：设a,b,c〉0,试证。a^ab^c^c≥（abc）a＋b＋c/3．（第三届美国数学奥林匹克试题）     

一个不等式的另证与推广

题目设n、b、c为正实数,证明：（2a＋b＋c）^2/2a^2＋（b＋c）^2＋（2b＋a＋c）^2/ab^2＋（a＋c）^2＋（2c＋a＋b）^2/2c^2＋（a＋b）^2这是第32届美国数学奥林匹克试题,文[1]给出了该问题的一种证明方法,本文再给出另一种证明方法,并把它加以推广．     

例谈一类换元法证明三角形不等式

数学奥林匹克中有一类试题特别引人注目,那就是与三角形有关的不等式问题,越来越受到青睐,已经成为一道独特的风景线.对边长分别为a、b、c的△ABC来说,必然存在一个内切圆O与边BC、CA、AB分别切于点D、     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (第 4 7届拉脱维亚数学奥林匹克 )已知ａ ,ｂ是互不相同的自然数 ,求证 :存在无穷多个自然数ｎ ,使得ａ +ｎ与ｂ +ｎ互素 .证　不妨设ｃ =ａ -ｂ >0 ,则存在非负整数 ｑ ,ｒ ,使得ｂ =ｑｃ +ｒ ,这里 0≤ｒ≤ｃ -1 ,令ｎ =ｃ +1 -ｒ +ｋｃ ,这里ｋ为非负整数 ,则ａ +ｎ =(ｂ +ｃ) +(ｃ+1 -ｒ +ｋｃ)=ｑｃ+ｒ +2ｃ+1 -ｒ +ｋｃ=(ｑ +ｋ +2 )ｃ+1 .ｂ +ｎ =(ｑ +ｎ +1 )ｃ +1 .设ｄ是ａ +ｎ与ｂ +ｎ的最大公约数 ,则ｄ|(ａ +ｎ) - (ｂ +ｎ) =ａ -ｂ =ｃ,∴ｄ|1 ,∴ｄ =1 .∴ａ +ｎ与ｂ +ｎ互素 .2　 (拉脱维亚第 4 7届数学奥林匹克 )是否…     

一个加强不等式的简证

2004年亚太地区数学奥林匹克试题5为: 　　证明:对任意正实数a,b,c,均有(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(bc+ca+ab).……     

利用待定指数法证明不等式

第42届（2001年）国际数学奥林匹克（IMO）竞赛第二题为：对所有正实数a,b,c,求证：     

一个不等式的另证

《中学生数学》2011年4月（上）封三“读者来信”专栏登载的“指正一个不等式证明的错误”一文,指出了美国数学奥林匹克一个不等式问题的两度证法上的错误,但没有给出其正确的证明,令人遗憾．之后查阅了该不等式的原证法,也较为冗繁,不够简约．