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2012年北京大学保送生测试数学部分的第3题为:题目已知f(x)为一元二次函数,且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))为正项等比数列.求证:f(a)=a.这是一道构思精巧的试题,涉及到一元二次函数、等比数列甚至复合函数、不动点等概念,很耐人寻味.文[1]利用一元二次函数的性质,给出试题的一种证法.本文将试题推广为下面的定理,并给出一个简证. 相似文献
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有关本原海伦三角形的几个新的结论边欣,李忠民(天津教育学院数学系300020)海伦三角形是边长与面积均为整数的三角形.若海伦三角形的三边长互素,则称之为本原海伦三角形。文[1]对本原海伦三角形证明了下面三个定理和一个推论:定理1本原海伦三角形的三边长... 相似文献
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单位分数的一个猜想的简证 总被引:1,自引:1,他引:0
分子为 1的分数称为单位分数 .文 [1 ]用初等方法证明了一个猜想 :猜想 1 设 0 <m <n ,(m ,n) =1 ,n为奇数 ,则存在k个不同奇数x1,x2 ,… ,xk,满足mn =1x1+1x2 +… +1xk文 [1 ]的证明用到如下结果 :定理 1 945以内的正整数 (2除外 )均可表示为 945的不同约数之和 ,且表示法中最小约数能为 1 ,3 ,5 ,7四者之一 .定理 2 设正整数a≥ 3 ,则任何小于 3 a·5 ·7的正整数 (2除外 )均可表示为 3 a·5 · 7的不同约数之和 ,且表示法中最小约数能为 1 ,3 ,5 ,7四者之一 .文[1 ]中两个定理的证明非常复杂 ,特别是定理 1对 945… 相似文献
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不可微D.C.规划的最优性条件李忠民,边欣(天津大学)(天津教育学院)在非凸不可微规划中,有两种重要类型:sup{g(x):。6C},:T。inf{g(x)一h(x):。eC},》其中q、h:R,+R是不可微的凸函数,C是R·上的IW凸集。文【1]在... 相似文献
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一个三角函数的最小上界 总被引:1,自引:0,他引:1
第 1 9届全俄中学生数学奥林匹克竞赛中有一个三角不等式问题 :求证 :对任意的实数x,y,z,有下面的不等式sin2 xcosy+sin2 ycosz+sin2 zcosx<32 (1 )成立 .文[1 ]对(1 )做了推广 ,给出一个一般性的结果 :命题 1 设x,y,z∈ 0 ,π2 ,m ,n∈N ,则sinmxcosny+sinmycosnz+sinmzcosnx<1 +mmnn(m+n) m+n (2 )并根据 (2 )将 (1 )加强为sin2 xcosy +sin2 ycosz +sin2 zcosx<1 +2 39≈ 1 3 85 (3 )本文进一步将 (3 )加强为sin2 xcosy+si… 相似文献
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清华大学等高校(简称华约)自主招生联合考试有一道模拟试题:设n∈N+,n≥15,集合A,B都是I={1,2,…,n}的真子集,A∩B=Φ,A∪B=I.证明:集合A或B中,必有两个不同的数,它们的和为完全平 相似文献
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组合问题是竞赛等考试中经常出现的一类题目.这类问题形式多样,解法灵活,有的难度很大,也非常引人入胜.近年来北京大学自主招生考试数学试题中都出现了组合问题,由于校方没有公开试题的标准答案,本文给出两个组合问题的简练的解法. 相似文献