试谈通用高中《数学》第四册一元微积分的教学

通用高中“数学”第四册安排了一元微积分的初步知识。微积分是人们认识客观世界中量的运动变化规律的有力工具,它既是高等数学的基础,又直接应用于实际。中学教材编人微积分对于学生毕业后直接参加工作或者继续学习都有好处。在普通中学如何讲授微积分初步知识还缺少经验。本文就如何理解教材以及一些教学设想谈些粗浅看法。一、教学的目的与要求、重点、难点教学的目的与要求是: 1.使学生初步了解导数、微分和积分的概念及其产生的背景。 2.使学生初步掌握基本的微分法和积分法。 3.使学生能解决微积分应用中的几则最基本的问题;了解微积分在实际中有广泛应用,同时也是研究传统数学的有力工具。 4.使学生初步了解微积分的基本思想,并通过它对学生进行辩证唯物主义方面的教育。导数,微分,原函数,不定积分,定积分是最基本的概念;导数及积分的四则运算,复合函数求导法,换元积分法以及基本初等函数的微分表和基本积     

微分概念的历史发展及教学启示

微分的形式化定义是学生学习微分概念的主要困难.微分概念的历史发展表明,形式化的微分定义是微积分严格化的产物,朴素的微分定义更能体现微积分思想,而非标准分析给微分概念带来重生.在微积分学中应用非形式化的方法构建微分概念,以微分为主线(传统教材一般以导数为主线)进行微积分教学可以促进学生学习效果.     

数学分析复习纲要(续)

六、掌握微分学的两个基本概念 数学分析的主体内容是微积分。研究导数的理论通常称为微分学。导数与微分是微分学的两个基本概念,掌握好这两个概念必须能回答下列问题: 1.导数概念是有哪些物理模型中抽象出来的? 2.函数f在x_0点可导(左侧可导、右侧可导)与函数f在x_0点的导数(左导数、右导数)这     

从《导数与微分》的教学谈技能技巧和能力的培养

人们做事总想“快”又“巧”,事半功倍。数学形式千变万化,方法繁多。在解题时如何灵活地运用知识,使解题既快又巧,这不仅有利于加深对基础知识的理解,更重要的是学到灵活解题的思想与方法。因此,数学教学中,“巧”字不容忽视。下面结合《导数与微分》的数学,谈谈自己的一些体会。一、要“巧”,首先概念要清,要清晰地把握住数学规律的本质。导数和微分是微积分中的基本概念,求初等函数的导数是该章的重点,是学习微积分必备的基本技能。要求导,就必须利用基本初等函数的求导公式及法则,而每个公式及法则都是直接或间接根据导数     

台湾高中数学教材中初等微积分内容的处理和思考

初等微积分在世界各地基本上都已成为高中教学内容 ,在处理方法上则各有千秋 .美国是作为选修内容 ,考的学分可以带到大学 (也有的进了大学 ,经过考试 ,免修部分学分 ) ,因此 ,基本上是大学微积分的一个部分 .前苏联的教材 ,把初等微积分作为讲清初等函数的“工具”,分散到函数教学的各个部分 ,起到了减轻学生负担的作用 .台湾高中数学教材中 ,高三文理教材不同 .其中《理科数学 (上 )》就是全部的初等微积分内容 .1　总安排1 .1　全书分四章 :极限与导数 ,导数的应用 ,积分及其应用 ,其它的初等函数 .前三章介绍微分与积分的内容 ,其求导、…     

微积分基本定理——微积分历史发展的里程碑

微积分是经典数学的重要内容,曾引起马克思、恩格斯、列宁的关心和兴趣.他们从哲学家的角度,对微积分及其发展史进行深入地研究,并对微积分的本质进行了广泛的讨论.认为微分和积分是微积分的主要研究对象,它们之间的矛盾是微积分的主要矛盾.明确指出:微积分这门科学,是研究微分和积分这对矛盾的科学.为我们研究微积分及其历史提供了线索.本文以研究反映微分和积分内在联系的微积分基本定理发展为主线,简叙微积分发展历史.事物是普遍联系的,发现事物的一种联系,是一种创造.从哲学角度来说,事物相距越远,其发现难度就越大,就越能说明事物之间…     

微积分基础的新视角

微积分是大学数学教学的难点, 也是数学机械化研究的重点. 如能将其初等化, 不仅能解决微积分学教学的难点, 同时也能为微积分学的机械化研究提供另一条切实可行的途径. 目前国内外学者在微积分初等化方面做了一些工作, 但他们所给出的微分与积分定义中的不等式都来源于极限定义所采用的不等式. 本文提出了一个函数差商是 另一个函数的中值的概念, 这个概念刻画了原函数与导数的本质特征. 在此基础上, 得到了强可导和一致可导的充分必要条件并给出了 积分系统更直观的定义. 由此, 简单完整地建立起了基于初等数学的微积分系统, 为微积分系统机械化作了必要的准备; 另外, 本文的结果也显示了微积分学中许多常用定理的成立不依赖于实数理论的建立.     

世界上最早的微积分课本

1　历史背景历史上积分要比微分早出现大约 2千年 .古希腊人的穷竭法和阿基米德 (Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ,前 2 87～ 2 1 2 )的无穷小求积法代表了早期的积分实例 ;但直到 1 7世纪 ,法国数学家费马 (Ｆｅｒｍａｔ,1 60 8～1 665 )才用等价于今天求导数的方法求曲线的切线 .英国数学家牛顿 (Ｎｅｗｔｏｎ,1 642 ～ 1 72 7)和德国数学家莱布尼茨 (Ｌｅｉｂｎｉｚ,1 646～ 1 71 6)各自独立地发现求面积和求切线这两种方法的互逆性并利用作为和的极限的反导数 (积分 ) ,建立微积分基本定理 ,从而成了微积分的发明者 .微积分成了一种新的强有力的数…     

一个最值问题的推广

最值问题是微积分应用的典型问题之一.某些经典教材中,应用微分工具解决货物运输过程中运费最省问题的方法,将被拓展成一般的解法原理,同时给出这种原理的实际应用.     

谈微分在课程中的作用

微分除了直接用于近似计算以外,它的概念和运算在微积分课程中还有广泛的应用。如果能从多方面了解这些应用,就会进一步明确微分教学的目的,并可使有关内容的教学取得更好的效果。中学统编教材对近似计算方面的应用已作介绍,本文仅就微分与导数、不定积分、定积分等的关系,谈些个人见解,以供教学上参考。不当之处,还望大家指正。一、微分与导数的关系在中学教材中,微分的概念直接用导数来定义。可导函数y=f(x)的微分是 dy=f′(x)dx (1)其中dx作为记号,代表△x,并称为自变量的微分。如果x不作为自变量,而是任一变量t的可导函数x=φ(t),那么复合函数y=f[φ(t)]的微分就是     

基于微分中值定理证明微积分基本公式和积分中值定理

我们都知道证明微积分基本公式 (牛顿—莱布尼兹公式 )和证明积分中值定理的通常的方法 ,也就是先利用积分中值定理推出积分上限的函数的导数公式 ,然后由此再借助原函数的概念证明微积分基本公式 ,以及利用定积分的性质 (即估值定理 )和闭区间上连续函数的介值定理证明积分中值定理 ,其中积分中值定理的中间点 ξ的范围是 a≤ ξ≤ b[1] .本文将根据微分中值定理和定积分定义直接证明微积分基本公式 ,并直接揭示微分学和积分学的密切联系 ;进一步 ,根据微分中值定理和原函数存在定理简洁地证明积分中值定理 ,并阐明它的中间点 ξ的范围是 a…     

从一道统考试题出发谈微积分中的逼近思想

从2015年军队和武警部队学历教育院校文化基础课程统考试卷中的一道题目入手,分析了题目的设计意图和求解思路,揭示了其中所蕴含的逼近思想,并对题目进行了拓展变形,进而对微积分中连续、导数与微分、级数等理论中蕴含的逼近思想进行了综述.     

利用改进的同伦算法求解特征值问题

矩阵特征值问题是机器学习、数据处理以及工程分析和计算中经常需要解决的问题之一.同伦算法是求解矩阵特征值的经典方法;自动微分可以有效、快速地计算出大规模问题相关函数的导数项,并且可以达到机器精度.充分利用自动微分的优点,设计自动微分技术与同伦算法相结合的方法求解矩阵特征值问题.数值实验验证了该算法的有效性.     

高维非齐次时间分数阶扩散-波动方程的解析解问题

分数阶微积分是专门研究任意阶积分和微分的数学性质及其应用的领域,是传统的整数阶微积分的推广,分数阶微分方程是含有非整数阶导数的方程.时间分数阶扩散-波动方程可以用来模拟由传统的扩散-波动方程演变而来的反常扩散方程.考虑在有限区间上高维非齐次时间分数阶扩散-波动方程的初边值问题.利用分离变量法,导出了高维非齐次时间分数阶扩散-波动方程初边值问题的基本解.     

高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较

1 调查目的 "导数是微积分的核心概念.理解导数概念的实质、把握导数概念的生成所反映的思想和方法,是学习微积分的重中之重."[1]为了体现"强调本质,注意适度形式化"、"发展学生的数学应用意识"、"注重提高学生的数学思维能力"的基本理念,<普通高中数学课程标准(实验)>(以下简称"标准")在微积分课程设计方面逾越了形式化极限概念的学习,"导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的.……经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,……"[2]这是数学家、数学教育专家所倡导的理论层面的课程,具体落实到教学实践中,学生对导数概念理解的怎样?是否符合"标准"的要求?如果以数学专业本科生作为参照,我们希望了解高中生对导数概念理解的程度以及高中生和大学生在导数概念学习中存在的问题,以期更好的促进导数的教学与课程的建设.     

圆的面积与周长关系的一点思考

导数是中学教材的重要内容，导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．教材从切线斜率、瞬时速度的角度展开，利用几何直观、归纳类比、抽象概括的形式引入了导数的概念，帮助同学们直观理解导数的背景、思想及其内涵，教材还在“探究与研究”栏目中设置了一些利用几何问题帮助我们进一步理解导数概念的实例和问题．     

微积分应用的两个实例

本文所要列举的两个微积分应用的实际例子,都是天津市第一机床厂的同志根据该厂设计上的需要向我们提出的.这两个问题的特点是:实际背景比较简单,但它们的解答却涉及了微积分中的极限理论,导数,积分以及级数等几个主要方面.把这些实际问题充实到数学分析的教学后收到了良好的效果.     

关于某类解析函数的星象性和Ruscheweyh的一个问题

本文引入了一个涉及Ruscheweyh导数的解析函数子类，应用微分从属方法和Carlson-Shaffer算子讨论了它的从属关系和偏差定理；其次，应用单叶函数的性质和一个微分不等式研究了它的星象性条件和覆盖定理，最后，部分地解决了Ruscheweyh的一个问题。     

“变化率与导数”教学设计

1内容和内容解析本节课是人教A版数学选修2-2第一章第1.1节的内容,具体内容包括:变化率问题、导数的概念及导数的几何意义等.本节内容的教学需要4个课时,这是前2个课时(两节课连排)的教学设计.之所以如此安排,是基于如下考虑:导数是微积分最基础的核心概     

导数概念剖析——兼析微分概念

<正> 导数和微分是微分学的两个基本概念,它们既以极限概念为基础,又是极限概念的具体应导.在高等数学中的地位极为重要,在微分学中起着奠基作用.恩格斯说:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态,并且也表明过程:运动”.那么,导数是怎样表明运动过程的?国家教委制定的《高等数学课程教学基本要求》提出要“理解导数和微分的概念”这一最高一级的教学要求,那么,如何通过教学达到这一要求?为此,必须对导数和微分概念进行剖析.理解导数概念,必须以运动的观点看问题.把导数当作《速度》来理解,普通意义下的速度v 是动点所经