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新编教材《高中数学》第二册 (上 )P11习题6.2题 3 :已知a ,b都是正数 ,求证 :21a+1b≤ab≤a +b2 ≤ a2 +b22 当且仅当a =b时等号成立 .通常称 a +b2 为算术平方数 ,ab为几何平均数 ,21a+1b为调和平均数 ,a2 +b22 为二次幂平均数 .教材中给出了ab≤ a +b2 的一种几何解释 (从略 ) ,现给出这一命题的另外几种几何解释 ,供同学们学习时参考 .1 以直角三角形为基础 ,构造模型图 1如图 1 ,以 a +b2(a >b)长的线段AB为直径作半圆 ,以A点为圆心 ,a -b2 长为半径作弧交半圆于C ,连结AC ,BC ;过点C作CD… 相似文献
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不等式研究成果集锦(1) 总被引:1,自引:0,他引:1
[编者按] 本刊从现在起,每逢双月将陆续刊出在《不等式研究通讯》(中国不等式研究小组主办,内部交流)上刊出的部分有关不等式研究方面的新方法、新成果,仅刊出其结论,详证请查阅原出处(以下行文作者后面的数字即该文在《不等式研究通讯》的刊期数).文中“∑”、“∏”分别表示循环和、循环积.1.设△ABC与△A′B′C′的三边、面积、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c与a′、b′、c′,△与△′,R与R′,r与r′.并记 H=a′2(-a2+b2+c2)+b′2(a2-b2+c2)+c′2(a2+b2… 相似文献
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点是几何中最基本的元素,也可以视其为半径为零的圆,即点圆.坐标平面上的点圆P(x0,y0)的方程可记为(x-x0)2 (y-y0)2=0.由点圆P,直线l:Ax By C=1,圆M:(x-a)2 (y-b)2=r2(r>0),可构成下列圆系:点P(x0,y0)在圆M上,λ为非零实数,有圆系Dλ:(x-a)2 (y-b)2-r2 λ[(x-x0)2 (y-y0)2]=0(1)点P(x0,y0)在直线l上,λ为非零实数,构造圆系Eλ:(x-x0)2 (y-y0)2 λ(Ax By C)=0(2)直线l与圆M相切于点P,λ为非零实数,构成圆系Fλ:(x-a)2 (y-b)2-r2 λ(Ax By C)=0(3)下面给出Dλ,Eλ,Fλ的性… 相似文献
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给定一椭圆和它的一条定长的动弦,本文对动弦为一边,椭圆中心为顶点的三角形面积的最大值进行探求,得出如下结论.定理 设AB为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一条长为l的弦,椭圆中心为O.则当2b≤l≤2a时,△AOB面积的最大值为12ab;当0<l<2b时,△AOB面积的最大值为al4b4b2-l2;当2a<l<2a时,△AOB面积的最大值为bl4a4a2-l2.为了证明定理,先给出两个引理.图1引理1 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的弦AB与圆x2+y2=a2的弦A′B′对应… 相似文献
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101.在△ABC与△A'B'C'中,有其中a、b、c与R分别为△ABC三边长及外接圆半径,等号当且仅当两三角形均为正三角形时取得. (宋庆.1999,3) 102.设△ABC的中线是 ma、mb、mc,外接圆与内切圆半径分别为R与r,则当且仅当△ABC为正三角形时取等号. 注:这是杨学枝同志对《数学通讯》1999年第1期“问题征解栏”中 160[1996,6]猜想题作出的解答. (杨学枝.1999,3) 103.在△ABC中,三边长为a、b、c,半周长为s,其对应边上的高线、中线、角平分线分别为ha… 相似文献
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一个不等式猜想的否定713400陕西永寿县中学安振平记△ABC的三边长和内切圆半径分别为a、b、c、r,以它的三中线ma、mb、mc为边长的三角形内切圆半径为rm.贺斌在《数学通讯》1996年第2期P25上提出是否值成立着:代入①变形得不等式②与①是... 相似文献
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1 三角形等积点的定义设P是△ABC所在平面内一点,若a·PA=b·PB=c·PC,则称P是△ABC的等积点(其中BC=a,CA=b,AB=c).2 三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文[1].命题1 分别以△ABC的三边为边,向形外作等边△ABC1、△BCA1、△ACB1,则AA1=BB1=CC1=f1,且直线AA1、BB1、CC1共点,这点叫△ABC的正等角中心,本文用F1表示此点.其中f1=12(a2+b2+c2+43△),△表示△ABC的面积.命题2 分别以非正△ABC的三… 相似文献
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一个不等式的加强及类比 总被引:2,自引:0,他引:2
在△ABC中,有以下不等式[1]:wabc+wbca+wcab≤332.(1)本文先给出它的一个加强.定理1设wa、wb、wc为△ABC三边a、b、c上的角平分线长,R、r为其外接圆半径与内切圆半径,则w2abc+w2bca+w2cab≤4R+r2R... 相似文献
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关于一个不等式的隔离姜卫东华云(黑龙江省农业经济学校157041)《数学通报》1997年第1期文[1]给出如下一个不等式:设△ABC的边长为a,b,c,傍切圆半径为ra,rb,rc,则有bcr2a+car2b+abr2ca2rbrc+b2rcra+... 相似文献
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我们知道,许多重要的不等式都可由导出,从其种意 义上可以说该不等式是代数不等式理论的酵母.文[1]用构造图形的方法证明了:设a、b实,我们可以用几何的方法证明下面的均值不等式,这个不等式在中学数学里具有基本的重要性. 定理 设 a>0,b>0,则 且这些不等式当且仅当a=b时取等号. 上式中 分别 称为正数a和b的均方根、算术平均、几何平均、调和平均. 证明 显然当a=b时,定理中不等式均取等号.下面仅就a>b的情形进行证明.如图1设O是AB的中点,AD=a,DB=b,以O为圆心,以为半径画圆,图中… 相似文献
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直线和平面平行的判定 :如果平面外一条直线和平面内一条直线平行 ,那么这条直线和这个平面平行 .我发现一般证明这道题都是使用反证法 ,但我认为既然反证法可以 ,那么直接证法也必定行得通 .以下是我思考出的直接证明 .已知 :a 平面α,a∥b ,b 平面α ,求证 :a∥α .证明 在平面α上任取一个不在b上的点A .∵A b ,图 1 证明用图∴可过A在α内作直线c∥b .而a α ,c与a不重合 ,∵a∥b ,∴a∥c,∴A a .又直线b上所有点都不在a上 .由A的任意性可知平面α上所有点都不在a上 ,由直线与平面平行的定义可知a∥α… 相似文献
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关于圆锥曲线的切线性质的一组定理 总被引:2,自引:1,他引:1
本文将应用如下两条熟知的引理及相关的平面几何知识 ,推导出关于椭圆、双曲线、抛物线的切线性质的一组定理 .引理 1 椭圆 (或双曲线 )上任一点的切线与该点的两条焦半径成等角 .引理 2 抛物线上任一点的切线与该点的焦半径及其对称轴成等角 .定理 1 过椭圆 (或双曲线 )上任一点作切线 ,则两焦点到此切线的距离之积为定值 .证明 (仅以双曲线为例 ,椭圆类似 ,从略 )如图 ,设双曲线的方程为x2a2 -y2b2 =1 ,a、b ∈R+,P为双曲线上任一点 ,l为过点P的切线 ,F1、F2 为两焦点 ,F1A⊥l于A ,F2 B⊥l于B ,由引理 1可知 ,∠… 相似文献
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一个线段间比例关系的应用叶挺彪(浙江瑞安市任岩松中学325202)我们知道,平面a的斜线AB与a交于点O,若点A,B到a的距离分别为a,b,则OA。OB=a:b(简称为斜线段的比).在解决有关立体几何问题时,若能注意到这一事实,可使问题获得巧妙解答.... 相似文献
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设Fx为△ABC的三边a,b,c中除x边的另两边所在折线的中点,称Fx为相对于x边的折中点.对于△ABC的折中点,有如下 定理 如图 1,设Fx是△ABC的折中点,Ix是△ABC中x边对角的平分线与x边的交点,x∈{a,b,c},a≥b≥c,则FaIa、FbIb、FcIc三线共点的充要条件是a=b或b=c. 定理的证明需用到如下引理: 引理 1 条件同定理,则IaIb//FaFb且 证明 如图1,由内角平分线性质得 从而同理有于是,且有 引理 2 如图2,P,Q为△ABC边AB,AC上的点,PQ // BCJ… 相似文献
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上接第2期)∵kAC=hb-a,∴高BE的方程为y=a-bh(x+a),令x=b得y=a2-b2h,∴H(b,a2-b2h).又过AC中点F(a+b2,h2)作AC的中垂线与BC的中垂线y轴相交于T,则中垂线TF的方程为:y-h2=a-bh(x-a+... 相似文献
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内切圆半径为整数的海伦三角形曾丕刚(陕西镇安县中711500)笔者对文[1]进行改进与推广得到一些结论.设ABC的三边为a,b,c;半周长、面积、内切圆半径分别为p,s,r;t=p-a,u=p-b,v=p-c.则t,V,V的几何意义为各顶点到内切圆的... 相似文献
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1966年第2期《数学通报》上刊有一篇题为《有一组对边相等和一组对角相等的四边形是平行四边形吗?》(以下简称为《四边形》)的文章,作为数学教师当然知道这是个错误命题,但是文章始终未给出反例的作法.图1其实这个问题并不难解决,下面我们从这个命题的条件分析起.如图1,四边形ABCD中∠A=∠C=α,AD=BC=a,AB=b,DC=c,BD=e,由余弦定理得 e2=a2+c2-2accosα, e2=a2+b2-2abcosα.∴ a2+c2-2accosα =a2+b2-2abcosα,b2-c… 相似文献