会错意、换错义、解错题

在解数学题时 ,常常会出现意想不到的错误 .本文拟通过几个例题来探讨犯错的原因 ,并就怎样避免错解提出建议 .例 1　求函数y =lg(8sin x + 14x - 1π - 6cos x + 14x - 1π)的值域 .错解 :令 x + 14x - 1π =θ ,则y =lg(8sinθ - 6cosθ) =lg10sin(θ - φ)≤lg10 =1(其中 φ =arctan34) ,于是函数值域为 -∞ ,1.辨析 :上述解答没有考虑函数θ =x + 14x - 1π的反函数存在条件 ,故上述解答有误 .正解 :上述解法中 ,因为方程 π4 =x + 14x - 1π关于x无解 ,可知θ≠ π4 ,所以y≠ 12 lg2 .因此函数值域应为-∞ ,12 lg2∪ 12 lg2 ,1.评注 :…     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

研究三角函数性质的法宝——“三个一”

高一学生分析问题时最缺乏的就是目标意识,有的同学拿到三角函数性质的题目,想半天都没有一个明确的解题方向,其实所有这类问题都是首先将目标三角函数化为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式,即一个角的一种函数名称的一次式的形式,因为课本中三角函数的每一种性质都是由“三个一”型三角函数而展开讨论的,我们只有将目标三角函数化归成这种模型,才能使用课本结论灵活解题·例1求函数y=sin3xsin3cxos+22cxos3xcos3x+sin2x的最小值.分析只需将目标三角函数化简为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式即可·解法1因为sin3xsin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x=21[(cos2x-cos4x)]sin2x+21[(cos2x+cos4x)cos2x]=21[cos2x+(cos2x-sin2x)cos4x]=21(cos2x+cos2xcos4x)=21cos2x(1+cos4x)=cos32x,∴y=cos32xcos22x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+4π).当sin(2x+π4)=-1时,y...     

例谈用三角代换解题

在数学解题中 ,妙用m2 =m2 ( sin2θ cos2θ)巧作代换 ,可使复杂问题简单化 ,获得简捷优美的解法 ,从而提高学生解题的灵活性 ,培养学生思维的创造性 .下面兹举几例供参考 .1　解不等式例 1　解不等式3- x - x 1 >12 .(第四届 IMO试题 )简解　因为( 3- x) 2 ( x 1 ) 2 =4 ,可令　 3- x =2 sinθ,x 1 =2 cosθ,　θ∈ [0 ,π2 ].则原不等式化为　 2 sinθ - 2 cosθ >12 ,∴　 2 sinθ >2 cosθ 12 ( * )由　θ∈ [0 ,π2 ]可知 2 cosθ 12 >0 ,( * )式两边平方并整理可得32 cos2θ 8cosθ - 1 5<0 ,解得 0≤ cosθ <31 - …     

多元三角代换解题例说

三角代换是求解代数问题的一种重要转化方法 ,特别在涉及条件最值 (值域 )、条件不等式的证明时 ,巧用三角代换 ,常常可达到化繁为简、化难为易之功效 .这里用一组实例来说明多变元三角代换的应用 .例 1　设 p >0、q >0 ,且 p3 q3=2 .求证 :p q≤ 2 .证明　令 p q =s,因 p >0 ,q >0 ,故可设 p =s. cos2 θ、q =s. sin2 θ,代入 p3 q3= 2得s3=2cos6θ sin6θ= 2( cos2 θ sin2 θ) ( cos4 θ- cos2 θsin2 θ sin4 θ)= 2( cos2θ sin2θ) 2 - 3cos2θsin2θ= 21 - 34sin2 2θ≤ 21 - 34=8.∴　 s≤ 2 ,即　 p q≤ 2 .评注　本…     

由tanψ=b/a确定ψ行吗?

解题中我们常用到asinx +bcosx =a2 +b2 sin(x +ψ) ,但若只知其中tanψ =ba,就会出现问题 ,下面通过实例进行探讨 .例 1　已知x∈ [0 ,π2 ] ,求函数y =3sinx -cosx的值域 .分析　函数 y =3sinx -cosx可变为y =2sin(x +ψ) ,其中tanψ =-13 .若取 ψ =-π6,则 y =2sin(x -π6) ,x -π6∈ [-π6,π3 ] ,　∴　y∈ [-1,3 ] .若取 ψ =-5π6,则 y =2sin(x -5π6) ,x -5π6∈ [5π6,4π3 ] ,　∴　y∈ [-3 ,1] .得出了不同结果 ,哪一个对呢 ?难以确定 .这表明仅由tanψ =ba确定 ψ不行 !图 1那么如何确定 ψ呢 ?考虑asinx +bcosx =a2 +b2 sin(x…     

函数y=|sinx|的周期问题

对于函数 y =| sinx|的周期 (最小正周期 )问题 ,我们常用图像法来分析 .这里介绍用解析法分析它的周期问题 .由于y =| sinx| =sin2 x =1 - cos2 x2 ,函数值的重复取得 ,等价于 cos2 x值的重复取得 ,故函数的周期为π.例 1　求函数 f( x) =| sinx cosx| ,　 ( x∈ R)的周期 .解　由 f( x) =| sinx cosx|　 =| 2 sin( x π4 ) | =2 sin2 ( x π4 )　 = 1 - cos( 2 x π2 ) ,函数 f ( x)值的重复等价于 cos( 2 x π2 )的值的重复 ,而 cos( 2 x π2 )的周期为π,所以函数 f ( x)的周期为π.例 2　求函数f( x) =1 - cos2 x 1 …     

一道联赛题的两种解法

1999年全国高中数学联赛第三题是一道三角不等式问题 ,难度适中 ,能充分考查学生的基本素质 .题目　已知当x∈ [0 ,1]时 ,不等式x2 cosθ -x( 1-x) +( 1-x) 2 sinθ >0恒成立 ,试求θ的取值范围 .命题组提供的解答构思巧妙 ,方法独特 ,但技巧性较强 ,学生不易想到 .下面介绍两种学生容易接受和掌握的常规解法 .方法一　 (判别式法 )设　f(x) =x2 cosθ-x( 1-x) +( 1-x) 2 sinθ=( 1+sinθ+cosθ)x2 -( 2sinθ +1)x+sinθ ,易知二次函数 f(x)的对称轴x =2sinθ +1( 2sinθ+1) +( 2cosθ +1) .由x∈ [0 ,1] ,f(x)恒正可知f( 0 ) =sinθ>0 ,　f…     

含根式不等式的处理方法

含根式不等式因技巧性较强,历年来颇受命题者喜爱,下面请欣赏几例. 一、三角代换例1 已知xi≥0,x0=0,sum from i=0 to nxi=1.求证:sum from i=1 to n xi/(1+x0+…+xi-1)(xi+…+xn)~(1/2)<π/2.证明 令x0+…+xi-1=sinθi-1,0=θ0≤θ1≤θ2≤…≤θn=π/2.则原式=sum from i=1 to n sinθi-sinθi-1/cosθi-1     

新题征展 (67)

A题组新编1.(1)五位渐升偶数(渐升:从高位到低位数字依次增大,以下类推)共有个,其数值从小到大排列时第10个数是.(2)五位渐降奇数有个,从小到大排列时第10个数是.(3)五位凸数(万位数<千位数<百位数>拾位数>个位数,如17987)共有个,从小到大排列时第10个数是.(4)五位凹数(如32049)共有个,从小到大排列时第10个数是.B藏题新掘2.如果m>0.x,y∈[m,+∞),m>0,且(x+x2-m2)(y+y2-m2)=m2,那么().(A)x=y(B)x>y(C)x相似文献   

妙解一则

问题已知关于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α、β,求cos(α+β)的值.解由题意知,点A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ)在直线3~(1/2)x+y+a=0上,同时又在圆x2+y2=1上.直线AB的斜率为k=-3~(1/2),因而     

关于积的三个三角恒等式的推广

一易证下列三个恒等式成立: (1)sinθsin(θ+π/ 3)sin(θ+2π/ 3) =sin3θ/4; (2)cosθcos(θ+π/3)cos(θ+2π/3) =-1/4cos3θ; (3)tgθtg(θ+π/3)tg(θ+2π/3) =-tg3θ。本文把上述三个恒等式予以推广,其一般形式为: (Ⅰ) multiply form j=1 to n sin(θ+(j-1)/nπ)=sinnθ/2~(n-1); (Ⅱ) multiply form j=1 to n cos(θ+(j-1)/nπ) =(-1)~(n-2) sinnθ/2~(n/1) (n为偶数), (-1)~(n-1)~2 cosnθ/2~(n-1)(n为奇数);     

最值问题的六种解法

<正>题目(2014年浙江省高中数学竞赛试题)设实数x,y满足方程(x+2)²+y2+y²=1,则y/x的最大值为.解法1令x=-2+cosθ,y=sinθ,θ∈[0,2π),y/x=k.则y/x=sinθ/-2+cosθ=k,即kcosθ-sinθ=2k,     

关于拟HEMITE-FEJR插值过程的敛速估计

§1设函数 f(x)∈C[-1,1],x=cosθ,0≤θ≤π.记 N=n 1,以第二类 Chebyshev多项式:U_n(x)=(sin Nθ)/(sinθ)的零点     

“巧”用定义域求值域?

本斑黑板报《数学园地》的小编者们,在第20期上以“巧用定义域求值域”为题刊出了某同学的问题及解法: 求函数y=arecos(x~2-1/2x 1)的值域. 解:先求定义域:要使函数y=arccos(x~2-1/2x 1)有意义,必须-1≤x~2-1/2x 1≤1,解不等式组 x~2-1/2x 1≤1,x~2-1/2x 1≤-1 得0≤x≤1/2,根据反余弦函数的单调性有:π/3≤arccos(x~2-1/2x 1)≤π/2,即函数的值域为[π/3,π/2] 数学趣味小组的同学利用黑板报来研讨问题,促进数学水平的提高,我多次给予鼓励和肯定.但也不可避免地出现一些错题和错解,这正为教师发现问题和改进教学提供了信息. 其实上述解答是错误的.事实上,函数y=     

用三角代换解一类不等式问题

例1已知a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1,求ax+by的范围。解通过观察已知的条件我们不难发现:则ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β).由于-1≤cos(α-β)≤1,所以-1≤ax+by≤1.本题会出现许多的变式:变式1a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=9,求abcd最大值和ac+bd的最小值.变式2若x2+y2=1,求(1-xy)(1+xy)的值域.     

判别式法解题举例

<正>在解数学题时,常常先构建一元二次方程,用判别式的性质讨论一元二次方程根的情况来解题的方法叫判别式法,它应用十分广泛,现举例说明.一、求分式函数的值域例1求函数y=(x2+1)/(x2-x+1)的值域.解∵x2-x+1=(x-1/2)2+3/4>0恒成立,∴x∈R,原函数变形为(y-1)x2-yx+(y-1)=0.当y≠1时,方程为x的一元二次方程,∵x∈R,∴Δ≥0,即Δ=y2-4(y-1)2≥0,解得2/3≤y≤2.注意到y=1∈[2/3,2],故函数的值域为[2/3,2].     

“求复平面上点的轨迹”初探

我们将处理复平面上的点轨迹问题,归纳其解法如下,供参考。一、定义法。所谓定义法就是应用实数、复数相等等概念处理点的轨迹问题。例1 已知复数z_1=cosθ isinθ(0≤θ<π),z_2=1 4cos2θ i4sin2θ,若复数z=z_2·z_1~(-1),试求复数z所对应的动点轨迹的普通方程。解:∵z=z_2·z_1~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)·(cosθ isinθ)~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)[cos(-θ) isin(-θ)]=5cosθ i·3sinθ, 设复数z=x yi(x,y∈R),根据复数相等的     

辅助函数法应用举例

本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2],     

殊途不同归问题在哪里?

例题　求函数 y =sin2 x - 3sin x 32 - sin x的值域 .这是学生提出的问题 ,先看一下错解 ,找出错误原因 ,并用不同方法求解 ,达到殊途同归 .错解　将原式去分母整理得sin2 x (y - 3) sin x (3 - 2 y) =0 .sin x有解 ,故　Δ =(y - 3) 2 - 4(3 - 2 y)=y2 2 y - 3≥ 0 ,解得 y≤ - 3或 y≥ 1时有sin x =3 - y±Δ2 ,∴　y≤ - 3　或　 y≥ 1- 1≤ 3 - y -Δ23 - y Δ2 ≤ 1 　y≤ - 3　或　 y≥ 10≤Δ≤ 5 - y0≤Δ≤ y - 1(1)(2 )(3) 　y≤ - 3　或　 y≥ 1y≤ 73y≤ 1∴　 y≤ - 3　或　 y =1.错解剖析　 (1)先从整体考虑 :y =(s…