Grstzsch环与Ramanujan的模方程

本文建立了拟共形映照理论中平面Ｇｒｔｚｓｃｈ环的模μ（ｒ）与由（８）式定义的出现于数论中Ｒａｍａｎｕｊａｎ广义模方程的函数μａ（γ）之间的关系，并将μ（γ）的若干已知结果推广到μａ（γ）；为研究模方程理论提供了一种方法．     

向日葵方程的Hopf分支

本文以ａ为参数，讨论了向日葵方程ａ＋（ａ／４）ａ＋（ｂ／ｒ）ｓｉｎａ（ｔ－ｒ）＝０的Ｈｏｐｆ分支，给出了存在Ｈｏｐｆ分支的条件，分支方向，分支周期解的表达式及其稳定性等性质。     

具有连续变量的偏差分方程的振动准则

本文研究具有连续变量的偏差分方程Ａ（ｘ＋ａ,ｙ）＋Ａ（ｘ,ｙ＋ａ）－Ａ（ｘ,ｙ）＋Ｐ（ｘ,ｙ）Ａ（ｘ－ｒ,ｙ－）＝０,其中Ｐ　Ｃ（Ｒ＋ＸＲ＋,Ｒ＋＼｛０｝）,ａ,ｒ,都是正数。我们得到保证这个方程的所有解都具有振动性质的若干充分条件。     

关于迭代函数方程f~2(x)=af(x) bx的通解

设λ的二次三项式λ２－ａλ－ｂ的两个零点为λ１＝ｒ，λ２＝ｓ（ａ及ｂ为实数）．对０＜ｒ＜ｓ，ｒ＜０＜ｓ≠－ｒ及ｒ＝ｓ≠０这三种情形，Ｊ．Ｍａｔｋｏｗｓｋｉ与ＷｅｉｎｉａｎＺｈａｎｇ在“Ｍｅｔｈｏｄｏｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｆｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｏｒｍ”一文中给出了迭代函数方程ｆ２（ｘ）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｘ，对任ｘ∈Ｒ；ｆ∈Ｃ０（Ｒ，Ｒ）（１）的通解，并证明了当ｒ及ｓ非实数时方程（１）无解．对ｒ＝－ｓ≠０的情形，Ｍ．Ｋｕｃｚｍａ已给出了方程（１）的通解．本文则对ｒ＜ｓ＜０及ｒｓ＝０这两种情形给出了方程（１）的通解．此外，本文还给出了ｒ＜０＜ｓ≠－ｒ时关于方程（１）的通解的一个简洁的证明     

带Hilbert核奇异积分方程的Galerkin方法

该文讨论了以下形式的奇异积分方程其中ａ（ｘ），ｂ（ｘ），ｆ（ｘ），（ｘ）∈Ｈ（２π），ｋ（ｘ，ｔ）关于ｘ，ｔ也∈Ｈ（２π）的数值解法．在Ｌ２模下，得出了逼近解的存在性和收敛性；当ｆ（Ｘ），ｋ（ｘ，ｔ）∈Ｈμ２π，μ＞时，逼近解在最大模下一致收敛到精确解；当ｆ（ｐ）（Ｘ），ｋ（ｘ，ｔ）∈Ｈμ２π时，逼近解对精确解的逼近阶．     

三角形内角的余弦方程及应用

设△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ,ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,内切圆、外接圆的半径分别为ｒ、Ｒ,则ｃｏｓＡ、ｃｏｓＢ、ｃｏｓＣ是方程,４Ｒ２ｘ３－４Ｒ（Ｒ＋ｒ）ｘ２＋（ｐ２＋ｒ２－４Ｒ２）ｘ＋（２Ｒ＋ｒ）２－ｐ２＝０（１）的三个根．证明在△ＡＢＣ中,由ｔｇＡ...     

借助三角恒等式解三次方程

借助三角恒等式解三次方程李馥清（齐齐哈尔铁路运输职工大学）三次方程的解法很多，本文介绍一种借助三角恒等式求三次方程的实数解的方法．一般的三次方程经变换可消去平方项，化为形如的方程，其中在三次方程Ｘ３一ｐＸ一ｑ一０中，设Ｘ＝ｒｃｏｓａ（ｒ＞０），则原方...     

重要的是暴露辅助角ψ的几何意义

重要的是暴露辅助角ψ的几何意义２７３７００山东单县二中齐行超４ＳｔａｓｉｎａＭｂｃｏｓａ。Ｊ５ｒ＝－－－－－－ｓｌｈ（ａ＋…是大家所熟知的，本文用复数给出它的一个证明．如图在复平面内作复数ｚ—ａ＋ｈｉ，其模为ｒ，幅角生值为Ｐ，则ｒ一人Ｚ平了，ｚ—ｒ（...     

自然数n的分拆数

自然数ｎ的分拆数陈皓（湖北邮电学校普通室）本文研究自然数ｎ的分拆数的计算方法．定义把自然数ｎ写成ｋ个不小于ｒ的非负整数ａ１，ａ２，…，ａｋ之和（假定ｒ≤ａ１≤ａ２≤…≤ａｋ）则称（ａ１，ａ２，…ａｋ）为ｎ的一个（ｋ，ｒ）分拆，把”的（ｋ，ｒ）分拆数记...     

Nest代数的Jacobson根的μ-核值保持映射

设算子代数Ａ　Ｂ（Ｈ），μ（Ａ）表示Ａ中的部分等距算子全体，若ｐ是Ａ到Ｂ（Ｈ）的线性映射，且对任意的ＵＥｕ（Ａ），有叫Ｕ）（ｋｅｃＵ）Ｇｒ“ｈＣｒ，则称　是Ａ上的μ－核值保持映射。本文将证明：Ｎｅｓｔ代数的Ｊａｃｏｂｓｏｎ根上的范数拓扑连续的μ－核值保持映射是广义内导子。     

满足(accr)环的I-adic完备化及其平坦性

满足（ａｃｃｒ）环是比Ｎｏｅｔｈｅｒ环更广泛的一类环，本文讨论了满足（ａｃｃｒ）环的Ｉ－ａｄｉｃ完备化及其平坦性问题，把Ｎｏｅｔｈｅｒ环的有关结果推广到满足（ａｃｃｒ）环上，同时也改进了［１］中的结果．     

数学竞赛之窗

有关本栏的稿件,请直接寄给主持人熊斌（２０００６２,华东师大数学系）,或冯志刚（２００２３１,上海市上海中学）．提供试题及解答请尽量注明出处．３９届ＩＭＯ预选题解答（二）肖韧吾９设ａ１,ａ２,…,ａｎ为正实数,满足ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＜１．证明　ａ１ａ２…ａｎ（１－（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ））（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）（１－ａ１）（１－ａ２）…（１－ａｎ）≤１ｎｎ＋１．１０设ｒ１,ｒ２,…,ｒｎ为大于或等于１的实数,证明　　　１ｒ１＋１＋１ｒ２＋１＋…＋１ｒｎ＋１　　≥ｎｎｒ１ｒ２…ｒｎ＋１．１…     

整体思想在复数中的运用

整体思想在复数中的运用６２１１００四州省三台中学李志荣复数ａ＋ｂｉ与有序实数对（ａ，ｂ）、复数ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（ｒ≥０，θ∈［０，２π）且规定：ｒ＝０时，θ＝０）与实数对（ｒ，θ）形成一一映射．从而，ａ、ｂ；ｒ、θ构成了复数的两组基本量．然...     

模糊连续映射和开映射的新特征

给定模糊格Ｌ及ＬＦ拓扑空间（Ｌ＾ｘ,δ）,对Ｌ的素元素ｒ及分子ａ,在（Ｌ＾ｘ,δ）中引入了ｒ－开集及α－闭集的概念。证明了所有的ｒ－开集Ｏｒ（δ）和α－闭集Ｃａ（δ）分别形成一个ＬＦ拓扑和ＬＦ余拓扑,借助于它俩得到了ＬＦ连续映射和ＬＦ开映射的若干新特征。     

Galois环上本原序列压缩映射的单性

设Ω是 Ｇａｌｏｉｓ环 ＧＲ（２~ｄ,ｒ）的 Ｔｅｉｃｈｍｕｌｌｅｒ代表集,则 ＧＲ（２~ｄ,ｒ）上每条序列ａ有唯一的权位分解,　其中ａ-ｉ是Ω上序列,同时也可自然视为有限域Ｆ-（２~ｒ）,上序列．设ｆ（ｘ）是环 ＧＲ（２~ｄ,ｒ）上强本原多项式,Ｇ（ｆ（ｘ））表示 ＧＲ（２~ｄ,ｒ）上以ｆ（ｘ）为特征多项式的序列的全体,是Ｆ-（２~ｒ）上一类ｄ－１元多项式, 　本文证明了压缩映射是单射,即对 ａ＝ ｂ当且仅当对所有 ａ,ｂ ∈ Ｇ（ｆ（ｘ））．     

一类非线性中立型差分方程的振动性

本首先建立下列两类差分方程△（ｘｎ－ｒｎｒｎ－ｒｘｎ＋ｒ）＾ａ＋ｑｎｆ（ｎ－σ）＝０（＊）和△（ｒｎ△ｙ）＾ｎ＋τ＾－ａｑｎｆ（ｒｎ－σｙｎ）＝０（＊＊）振动性的等价性,然后给出方程（＊）振动性的一些判则。     

向量值马氏决策规划的线性加权解法

类似［１－４］,折扣向量值马氏决策规划（ＤＶＭＤＰ）描述为： ｛Ｓ,（Ａ（ｉ）,ｉ∈Ｓ）,ｑ,ｒ,Ｖβ｝,（１）其中Ｓ为可数状态集,Ａ（ｉ）是有限决策集,ｑ（ｊ｜ｉ,ａ）是转移概率,ｒ＝ｒ（ｉ,ｊ,ａ）＝（ｒ１（ｉ,ｊ,ａ）,ｒ２（ｉ,ｊ,ａ）,…,ｒｐ（ｉ,ｊ,ａ））是状态ｉ处使用决策ａ于下一步转移到状态ｊ时所获的ｐ维报酬向量,ｒ（ｉ,ｊ,ａ）对ｉ,ｊ,ａ一致有界,Ｖβ是β折扣目标． 以Π表一般策略集,若　π　∈Π有 Ｖβ（π）≤ Ｖβ（π*）,则称π* 为ＤＶＭＤＰ的“强有效策略”,Ｖβ（π*）为“…     

关于迭代函数方程f2(x)=af(x)+bx的通解

设λ的二次三项式λ²－ａλ－ｂ的两个零点为λ₁＝ｒ，λ₂＝ｓ（ａ及ｂ为实数）．对０＜ｒ＜ｓ，ｒ＜０＜ｓ≠－ｒ及ｒ＝ｓ≠０这三种情形，Ｊ．Ｍａｔｋｏｗｓｋｉ与Ｗｅｉｎｉａｎ Ｚｈａｎｇ在“Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｆｏｒｍ”一文中给出了迭代函数方程ｆ²（ｘ）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｘ，对任ｘ∈Ｒ；ｆ∈Ｃ⁰     

关于二次剩余的平方和

设ｐ为奇素数，对任意给定的正整数ｃ且ｐ｜ｃ，本文证明了如下结论：当ｐ较大时一定存在模ｐ的两个二次剩余ｒ及ｓ使得满足同余方程ｒ＾２＋ｓ＾３≡ｃ（ｍｏｄｐ）。     

涉及三角形傍切圆半径的一个不等式

定理设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其傍切圆与外接圆、内切圆的半径分别为ｒａ,ｒｂ,ｒｃ与Ｒ,ｒ,则有（２－ｒＲ）２≤ｒｂｒｃａ２＋ｒｃｒａｂ２＋ｒａｒｂｃ２≤（Ｒｒ－ｒＲ）２①引理令ｓ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,则ｒｂｒｃａ２＋ｒｃｒａａ２＋ｒａｒｂａ２...