截断和的弱大数律

投｛Ｘｎ，ｎ≥１｝ｉ．ｉ．ｄ．，Ｘｎ，１≤Ｘｎ，２≤…≤Ｘｎ，ｎ是Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ的次序统计量．对非负整数ｋ，ｒ，ｋ＋ｒ≤ｎ，令．本文研究当ｋ＝ｋｎ，ｒ＝ｒｎ满足ｍｉｎ（ｋ，ｒ）→∞，ｍａｘ（ｋ，ｒ）→０时截断和Ｓｎ（ｋ，ｒ）的弱大数律．设βｎ＞０，Ｃｎ∈Ｒ，文中给出了依概率收敛的充要条件．     

对称本原有向图的广义本原指数集

本文证明了全体ｎ阶对称本原有向图的第ｋ个第一类（１≤ｋ＜ｎ－１）、第二类（１≤ｋ≤ｎ－１）和第三类（２≤ｋ≤ｎ－１）广义本原指数的指数集分别是｛１，２，…，ｎ－２＋ｋ｝和｛１，２，…，２（ｎ－ｋ）｝，其中「ａ］表不小于ａ的最小整数，［ｂ］表不大于ｂ的最大整数。     

等差数列前n 1项同次幂和的递归关系

等差数列前ｎ＋１项同次幂和的递归关系李朝星（湖北师范学院４３５００２）设ａ，ｄ是任意实数但ｄ≠０，ｋ为非负整数．用Ｓｋ（ｎ；ａ，ｄ）表示等差数列ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄ，…，ａ＋ｎｄ，…的前ｎ＋１项ｋ次幂的和，即Ｓｋ（ｎ；ａ，ｄ）＝ａｋ＋（ａ＋ｄ）ｋ＋（...     

数学奥林匹克讲与练(19)

例题讲解１４５．给定实数ａ１，…，ａｍ；ｂ１，…，ｂｎ及正数ｐ１，…，ｐｍ；ｑ１，…，ｑｎ，组成一个ｍ×ｎ的数表，其位于第ｉ行、第ｊ列的一个数为ａｉ＋ｂｊｐｉ＋ｑｊ（ｉ＝１，２，…，ｍ；ｊ＝１，２，…，ｎ）．求证：在此数表中存在一个数，它不小于与其同行的任意一个数，又不大于与其同列的任意一个数．证法１　我们要在ｍ×ｎ的数表中找出一数ｘ＝ａｋ＋ｂｌｐｋ＋ｑｌ，满足条件ａｋ＋ｂｊｐｋ＋ｑｊ≤ｘ　（１≤ｊ≤ｎ）ａｉ＋ｂｌｐｉ＋ｂｌ≥ｘ　（１≤ｉ≤ｍ）（１）将两式变形为ｐｋｘ－ａｋ≥－ｑｊｘ＋…     

谈谈质数

自然数是指　１,２,３,…之一;整数则是指　…,－２,－１,０,１,２,…之一;自然数即正整数;二整数间可以定义和、差、乘运算,其结果仍为整数,即“整数集合对加、减、乘运算是自封的”;定理１（欧氏除法）：任二整数ａ及ｂ（＞０）,必有整数ｑ及ｒ满足　ａ＝ｂｑ＋ｒ,　　０≤ｒ＜ｂ若在上式中ｒ＝０,即ａ＝ｂｑ,则称ａ为ｂ之倍数,或ｂ为ａ之因数,记为ｂ｜ａ．否则记为ｂｘａ．自然数可以分成三类：１：只有自然数１为其因数;ｐ：恰有１与ｐ为其因数,这种数称之为质数;ｎ：除１与ｎ之外,还有一个因数,这种数称为复…     

关于一类和式的估值

设｛ａｎ｝为递增的正项等差数列：ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，ｎ∈Ｎ，其中ｄ，ａ１＞０，本文讨论和式ｎｋ＝１１ａｋ＝１ａ１＋１ａ２＋…＋１ａｎ的估值，并解决文［１］中遗留的问题．定理１设ｄ≤２ａ１，则对任意ｎ∈Ｎ有ｍｎ≤ｎｋ＝１１ａｋ＜Ｍｎ①其中Ｍｎ...     

不等式研究成果集锦(2)

１３．设ｓ、ｔ是两个非零实数,对正整数ｒ＝１,２,…,ｎ－１,定义ｎ元正实数组ａ＝（ａ１,ａ２,…,ａｎ）和正权数组λ＝（λ１,λ２,…,λｎ）的一类加权对称平均　Ｐｒ（ａ,λ;ｓ,ｔ）＝∑１≤ｉ１＜…＜ｉｒ≤ｎ（∑ｎｋ＝１λｎ－∑ｒｊ＝１λｉｊ）（ｒ－１∑ｒｊ＝１ａｓｉｊ）ｔｓＣｒｎ－１∑ｎｋ＝１λｋ１ｔ,则对ｒ＝１,２,…,ｎ－２,当ｓ＜ｔ时,有Ｐｒ（ｒ,λ;ｓ,ｔ）≥Ｐｒ＋１（ｒ,λ;ｓ,ｔ）;当ｓ＞ｔ时,上边不等式反号．（张志华,肖振纲,１９９８,３）１４．△ＡＢＣ三边长分别为ａ、ｂ、ｃ…     

n阶时滞差分方程的边值问题

本文研究ｎ阶时滞差分方程的边值问题：ｘ（ｋ＋ｎ）＝ｆ（ｋ，ｘｋ（），ｘ（ｋ），ｘ（ｋ＋１），…，ｘ（ｋ＋ｎ－１）），ｋ∈ＩＴ，ｘ（ｍ）＝φ（ｍ），ｍ∈Ｉ－ｒ，ｘ（１）＝ａ１，ｘ（２）＝ａ２，…，ｘ（ｎ－２）＝ａｎ－２，ｘ（Ｔ）＝Ａ，｛得到了解的存在性和唯一性的结果．     

数学奥林匹克讲与练(15)

例题讲解１１３．给定正数的集合｛ａ１，ａ２，…，ａｎ｝，算出其每个非空子集中所含有的各数之和．求证所得的各和数可分为ｎ组，使每组中的最大数与最小数之比不超过２．证明不妨设ｎ个数已排成上升的次序：０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ．令ｂｋ＝ａ１＋ａ２＋…＋ａｋ，...     

两个“推广”的注记

贵刊文［１］、［２］给出了不等式：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ｃ＋ａ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（ａ,ｂ,ｃ＞０）（高中《代数》下册Ｐ３２第５题）的两个推广,读后颇受启发,作为两个推广的注记,本文对其中的指数作进一步的推广;推广１　设ａ、ｂ、ｃ、ｋ、ｍ、ｎ＞０,且ｍ≥ｋ,ｍ＋ｋ＝ｎ,则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ＋ａｍ－ｋｂｋｃｋ＋ａｋｂｍ－ｋｃｋ＋ａｋｂｋｃｍ－ｋ≥ａｍ（ｂｋ＋ｃｋ）＋ｂｍ（ｃｋ＋ａｋ）＋ｃｍ（ａｋ＋ｂｋ）证明　现证前一个不等式,即证ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ≥ａｍ－…     

图K_n-E(k_0P_3(∪ri=1k_iP(q_i-1)))的色唯一性

记δｎ＝ｋ≤ｎｋｎ－ｋ，在本文中证明了：ｒ∈Ｎ，若ｉ∈｛１，２，…，ｒ｝，ｑｉ（＞５）都是素数，并且［（δｑｉ－１－１）！＋１］／δｑｉ－１是正整数，则图簇Ｋｎ－Ｅｋ０Ｐ３∪ｋ１Ｐｑ１－１∪ｋ２Ｐｑ２－１∪…∪ｋｒＰｑｒ－１是色唯一的，推广了文［１］的结果     

改进的R.Nevanlinna第二基本定理

设ｆ（ｚ）是超越亚纯函数，ｎ为任一非负整数，ε为任意正数，ａ＾（ｉ）ｒ＝（ｖ＝１，２，…，ｑｉ，ｉ＝０，１，…，ｎ）均为有穷非零复数，满足ｍｉｎ／１≤ｖ１＜ｖ２≤ｑｉ｜ａ＾（ｉ）ｖ１－ａ＾（ｉ）ｖ２｜≥δ＞０，ｉ＝０，１，…，ｎ。若ｆ（０）≠０，∞，П＾ｎｉ＝１ｆ（ｉ）（０）≠０，则对０＜ｒ＜＋∞有ｍ（ｒ，ｆ）＋ｍ（ｒ，１／ｆ）＋Σ＾ｕｉ＝０Σ＾ｑｉｒ＝１ｍ（ｒ，ａ＾（ｉ）ｖ，ｆ＾（ｉ）≤（２＋ε     

乘法分拆函数的均值估计

将正整数ｎ分拆成正整数的方法数记为ｇ（ｎ），本文对计数函数ｇ（ｎ）进行了均值估计。关于下限我们改进了［３］的结果。证明了对任意正整数ｋ皆有Σｎ≤ｘ１／ｎｇ（ｎ）≥３（４ｌｏｇ２ ｋ！２ｋ（ｋ＋１）／２）＾－１ｘｌｏｇ＾ｋｘ，ｘ≥１还获得了一个关于上限的结果Σｎ≤ｘ１／ｎｇ（ｎ）≤（ｋ－１）！Σ＾ｋ－１ｎ＝０１／ｎ！ｘ＾１／ｋ，ｘ≥１。     

自然数方幂和的一个性质的证明

自然数方幂和的一个性质的证明湖南浏阳十一中刘会成令Ｓｋ（ｎ）＝１ｋ＋２ｋ＋…＋ｎｋ（ｋ≥０，ｋ∈Ｚ）．文［１］，［２］，［３］均提到下面一个性质：Ｓ２ｋ（Ｎ）＝Ｓ２（ｎ）Ｐ２（ｎ）（ｉ）Ｓ２ｋ＋１（ｎ）＝Ｓ２１（ｎ）Ｐ１（ｎ）（ｉｉ）其中ｋ为自然数，...     

图Kn—E（k0P3（∪↑r↓i=1kiPqi—1））的色唯一性

记δｎ＝Σ↓ｋ≤ｎ（＾ｋｎ－ｋ），在本文中证明了：Ａ↓ｒ∈Ｎ，若Ａ↓∈Ｎ，若Ａ↓∈｛１，２，…，ｒ｝，ｑｉ（〉５）都是素数，并且［（δｑｉ－１－１）！＋１］／δｑｉ－１是正整数，则图簇Ｋｎ－Ｅ（ｋ０Ｐ３∪ｋ１Ｐｑ１－１∪…∪ｋｒＰｑｒ－１）是色唯一的，推广了文［１］的结果。     

两个不等式的简捷证法

下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明．本文给出直接简捷的证明．命题１　设ｘｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）且ｘ２１１＋ｘ２１＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ＝ａ（０＜ａ＜ｎ）,求证：ｘ１１＋ｘ２＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ≤ａ（ｎ－ａ）①证　由题设易知：１１＋ｘ２１＋１１＋ｘ２２＋…＋１１＋ｘ２ｎ＝ｎ－ａ．由于　１１＋ｘ２ｋ＋ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｘ２ｋ　　≥２１１＋ｘ２ｋ·ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｋ２ｋ　　＝２ｎ－ａａ·ｘｋ１＋ｘ２ｋ）（ｋ＝１,２,…,ｎ）,此ｎ式相…     

关于一个数列问题的完善和证明

命题设ａ１∈Ｎ＋，ａ１≠１０ｎ（ｎ＝０，１，２，…）．现构造数列｛ａｎ｝：ａｋ＋１是ａｋ的各位数字的平方和．如果存在Ｔ∈Ｎ＋，使得ａＴ＋１＝ａ１，则称ａ１是周期为Ｔ的“周期数”．证明：（１）周期数有且只有４，１６，３７，５８，８９，１４５，４２，２０...     

Ramsey数r（k,l）的新下界公式

本文给出并证明了Ｒａｍｓｅｙ数ｒ（ｋ，ｌ）的一个新下界公式ｒ（ｋ，ｌ）≥１．５（ｋ－１）（ｌ－１），此下界公式与文献［１，２］所给出的下界公式ｒ（ｋ，ｌ）＞（ｎ２＾ｎ／２）／（ｅ√２，ｎ＝ｍｉｎ（ｋ，ｌ）相比，当ｋ，ｌ较小时，或ｋ，ｌ相差较大明要优越。     

关于面积平均p叶函数（Ⅱ）

假设ｆ（ｚ）＝ｚ＾ｐ（１＋Σ＾∞ｎ＝１ａｎ＾ｚ＾ｎｋ）是△＝｛｜ｚ｜＜１｝内面积平均ｐ叶的（如果必要，△＝｛｜ｚ｜＜１｝＼（－１，０］）。本文的主要结论是：（１）如果设Ｍ（ｒ）＝ｍａｘ｜ｆ（ｚ）｜，则（１－ｒ）２ｐ／ｋＭ（ｒ）→αｋ≤１（ｒ→１），αｋ＝１的充要条件是ｆ（ｚ）＝ｚ＾ｐ（１－ｘｚ＾ｋ）＾－２ｐ／ｋ，｜ｘ｜＝１。进一步，如果１≤ｋ＜４ｐ，我们有｜ａｎ｜ｎ＾１－２ｐ／ｋ→αｋГ（２ｐ／ｋ     

第35届IMO试题和解答

第３５届ＩＭＯ试题和解答１（法国）设ｍ和ｎ是正整数，ａ１，ａ２……，ａｍ是集合｛１，２，…，ｎ｝中的不同元素，每当，就有某个ｋ，１≤ｋ≤ｍ，使得求证．证明不妨设ａ１＞ａ２＞……＞ａｍ．关键在于证明，对任意ｉ，当≤ｉ≤ｍ时，有用反证法。若存在某个ｉ，１...