矩阵方幂序列{A^k}的通项公式

文[1]、[2]对特征根满足λ_1~m=λ_2~m=…=λ_n~m的n阶矩阵方幂序列给出了通项公式,但未能给出一般矩阵方幂序列的通项公式,本文试图解决这一问题。 本文约定:A=(a_(ij))是实方阵,E是与A同     

关于李雅普诺夫定理的代数证明的一点注记

中山大学数力系编《常微分方程》中李雅普诺夫定理(第六章定理10)的前半部分是: 定理 如果n阶实方阵A的特征根λ_t均不满足关系λ_t λ_f=0(i,j=1,2,……n),则对任何负定(或正定)的实对称矩阵C,都存在唯一的实对称矩阵B,满足关系式 A′B BA=C (1) 原书证明的大意是,存在唯一的非奇异线性变换,将A化为标准形     

关于幂等矩阵秩的一个命题的证明和推广

给出秩命题"n阶方阵A为幂等矩阵等价于r(A)+r(E-A)=n"的五种证明,并推广其结论,从而刻画了几类矩阵的秩特征(见定理1-3).     

非负矩阵谱半径的两个性质及其应用

本文改进了Perron-Frobenius非负矩阵理论中有关非负矩阵谱半径的两条定理,利用该结果给出了文[3]中Jacobi迭代收敛定理的一种简单证明。以下记:n阶方阵A(α_(ij))_(n×n),非负矩阵|A|(|a_(ij)|)_(n×n),ρ(A)表示A的谱半径,I表示单位矩阵。     

Lotka—Volterra捕食被捕食环型系统的稳定性

考虑如下n维Lotka-Volterra系统其中x~*=(x_1~*,x_2~*,…,x_n~*)为系统(Ⅰ)的唯一正平衡点,A=(a_(ij))_(n×n)为系统(Ⅰ)的关系矩阵对于系统(Ⅰ),文[1]、[2]分别独立地给出了定理1 对于系统(Ⅰ)的关系矩阵A,若存在正对角阵C=diag(c_1,c_2,…,c_n)使得矩阵CA+A′C负定,则正平衡点x~*全局稳定。对应于定理1,又有关于矩阵A的定义2 n阶矩阵A称为Volterra-Liapunov稳定,如果存在n阶正对角矩阵C=     

矩阵可对角化的一个充要条件

本文给出矩阵可对角化(即可与对角矩阵相似)的一个充要条件,并推广了文[1]中的一个结果。首先叙述如下: 引理设A,B都是n阶矩阵,则有秩(AB)≥秩A+秩B-n 证明可见[2],这里从略。定理设A是数域F上的一个n阶矩阵,     

n阶矩阵m次方幂的一般求法探讨

文[1]、文[2]给出了全部特征值相等及全部不同特征值为两个,并满足一定条件的n阶矩阵m次方幂的求法。本文对一般的n阶矩阵A的m次方幂A~m的求法进行探讨。本文要点: 1.提出将A~m化为次数低于n的A的多项式r(A)的一个比较简单的途径,即本文(3)式。2.对矩阵λE—A进行λ矩阵的初等变换,     

关于加边矩阵的奇异性问题的注记

在文[1]的基础上,这篇注记给出了m×m复矩阵A的一类非奇异加边矩阵的特征,得到了利用这种加边矩阵的逆阵的子块求全体(1,2)-逆与Moors—Penrose逆所关联的两个定理。 本文约定:C~(m×n)表示m×n复矩阵的集合,C_r~(m×n)表示C~(m×n)的秩r的矩阵的子集,设A∈C~(m×n),通常把Penrose方程     

关于近似广义极因子的误差界

设A是m×n阶复矩阵,分解式A=QH称为A的广义极分解,如果Q是m×n阶次酉短阵和H是n×n半正定的Hermite矩阵．本文给出了广义极分解的一些性质和推广了有关近似极因子的相关结论．     

Toeplitz型矩阵的逆矩阵的快速三角分解算法

针对有关“型”矩阵的三角分解问题 ,提出了一种 Toeplitz型矩阵的逆矩阵的快速三角分解算法 .首先假设给定 n阶非奇异矩阵 A,利用一组线性方程组的解 ,得到 A- 1的一个递推关系式 ,进而利用该关系式得到 A- 1的一种三角分解表达式 ,然后从 Toeplitz型矩阵的特殊结构出发 ,利用上述定理的结论 ,给出了Toeplitz型矩阵的逆矩阵的一种快速三角分解算法 ,算法所需运算量为 O( mn2 ) .最后 ,数值计算表明该算法的可靠性 .     

r—不可分矩阵的本原指数

本文给出了 n阶 r—不可分矩阵的本原指数的上界 ,即 n阶 r—不可分矩阵的本原指数 ( A)≤ n-r( 1≤ r2 ,都能找到一类本原指数为 n-1的 n阶 1—不可分矩阵 .证明了 n阶 1—不可分矩阵的本原指数集 En={ 1 ,2 ,… ,wn} ( wn=n-1 ) .     

Laffey—Choi定理的一个证明

A,B是n阶复矩阵,是否存在可逆矩阵P使P(~-1)AP与P~(-1)BP同时为上三角复矩阵(称A,B同时复上三角化),Laffey在文[1]中给出了下述定理,尔后Choi等人在文[2]中给出了简化证明,本     

谱任意的符号模式矩阵

一个n阶符号模式矩阵A称为是谱任意的,如果对任意的实系数n次首1多项式r(x),在A的定性矩阵类Q(A)中至少存在一个实矩阵B,使得B的特征多项式是r(x),文中证明了当n为奇数时n阶谱任意符号模式矩阵是存在的。     

一类Sylvester矩阵方程的一个迭代算法

考虑这样一类Sylvester矩阵方程:AX XB=C,A,B分别为n阶正半定、正定矩阵,C为n阶矩阵.给出了一个收敛的迭代算法.     

从一次齐次递推式求通项的特征根法的一个初等证明

一、从一次齐次递推式求通项的特征根法对于递推式 α_0a_n α_1a_(n 1) … α_ka(n k)=0。(α_k≠0)(1)叫做k阶一次齐次递推关系式。其通项的求法可用特征根法:     

有限布尔代数上的置换矩阵

本文研究了任意有限布尔代数上的置换矩阵的特征，根据此特征可构造各种类型的置换矩阵，并给出了n阶置换矩阵个数的计数公式，然后证明了n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A为n阶置换矩阵.     

低计算精度下实对称矩阵的特征值分解

正1引言1.1 背景简介设A ∈ R~(n×n)为n阶实对称矩阵,矩阵A的特征值分解是找正交矩阵U ∈R~(n×n),使得A=UAU~T,(1.1)其中U~T指U的转置,Λ为对角矩阵,且Λ=diag(λ_1,λ_2,…,λ_n),其中λ_i,i=1,…,n是矩阵A的特征值.矩阵A的奇异值分解为A=UEU~H,(1.2)其中,U ∈ C~(n×n)是酉矩阵,U~H是U的共轭转置,∑是非负实对角矩阵.当A正定时,奇异值分解和特征值分解等价.对一般实对称阵,奇异值和特征值绝对值相同.在实际应用中,往往不需要求得矩阵A的全部特征值和特征向量,只需要其绝对值最大的若干特征值所构成的近似特征值分解,以便进行矩阵近似求逆等任务.这种近似特征值分解被称为主特征值分解(Dominant Eigenvalue Decomposition),在矩阵近似求逆和主成分分析(PCA)[1]等方面有重要应用.     

关于《两个矩阵迹不等式及其证明》一文中的错误及纠正

作者在文[1]中给出了Bellman(注:原文误印为Bellmen,在此纠正)不等式的一个改进与推广,即定理1 设A,B为n阶Hermite矩阵,A,B     

多边形等周问题的矩阵证明

<正> 文[1]对最简单的等周问题给出了矩阵证明,但鉴于求特征根、特征向量及求逆矩阵的繁杂性,因而采用[1]中所指出的一类升等周变换(即周长保持不变而面积增加的变换)难以解决该文作者所提出的猜测.本文将采用另一类升等周变换,仍借助于矩阵来解决平面上任意 n 边形的等周问题.定理1.周长相同的一切 n 边形中,凸等边 n 边形具有最大面积.     

若当标准形问题的一个初等解法

所谓若当标准形问题,包括如下两个方面: 一方面,证明任一n阶复数矩阵都有若当标准形,即证明如下的定理每一个n阶复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似,这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的。它称为A的若当标准形。另一方面,给出一个方法,对任何n阶复数矩阵A,按照这个方法可以求得它的若当标准