二次曲线的反比对称性

在给出反比对称的定义后,本文将导出二次曲线的两个性质.以定点O为圆心,定长r为半径作圆,设A1是不在圆上的任一点,过A1和O作直线l交圆于B1B2两点(图1).记B1A1=K.OB1(K≠0),则在l上必存在一点A2,使得B2A2=1k.OB2,即可写出等式B2A2.B1A1=OB2.OB1(1)这里称A2是A1关于定圆的反比对称点.显然,交换B1和B2的位置后,A2的反比对称点为A1,因此,可称点A1和A2关于定圆成反比对称.不过,对一确定的A1,它的反比对称点A2的位置与点B1和B2的选取有关,在确定B1和B2后,A1和A2的位置关系如下:当o相似文献   

圆锥曲线外切三角形和切点三角形边的斜率之关系

如图1,直线B1B2,B2B3,B3B1与圆锥曲线E相切,切点分别是A1,A2,A3,称△B1B2B3和△A1A2A3为圆锥曲线E的外切三角形和切点三角形.用kA1A2表示直线A1A2的斜率,kA1表示相切于点A1的直线B1B2的斜率等(以下讨论的都     

三角形外心的一个性质

定理三角形的外心和各顶点连线的中点,与相应顶点对边中点所连成的三线共点,且该点恰在三角形的欧拉线上.证明设O是△ABC的外心,OA、OB、OC中点分别为A1、B1、C1,BC、CA、AB边的中点依次为A0、B0、C0(如图1).图1设H是△ABC的垂心,HA、HB、HC的中点分别为A2、B2、C2,则知:直线OH就是△ABC的欧拉线.连接A0B1、A0C1,B0C1、B0A1,C0A1、C0B1,易知有A0B1=∥12CO,B0A1∥=21CO,从而,有A0B1=∥B0A1,所以四边形A0B0A1B1是平行四边形.不妨设,A0B0A1B1的对角线A0A1与B0B1相交于点K.于是,有A0K=A1K,B0K=B1K.同理B0C0…     

Kemperman结构定理之推广

设G为任意Abelian群,A,B■G为有限非空子集．在1960年,Kemperman给出了满足|A+B|=|A|+|B|-1的对(A,B)的结构完全递归描述．本文探讨满足|A+B|=|A|+|B|+k(其中k为整数,且k■-1)的那些对(A,B),并推广了Kemperman结构定理．     

地球上两地距离的求法

设A、B为地球表面上两点,点A的纬度数和经度数分别为a1和θ1,点B的纬度数和经度数分别为a2和θ2,地球的半径为R,则A、B两点的球面距离为Rarccos { cosα1cosα2[θ1-(-1)mθ2] (-1)nsinα1sinα2}. 当A、B两点都在东半球或都在西半球时,m=0,当A、B两点中一个点在东半球,另一个点在西半球时,m=1.当A、B两点都在南半球或都在北半球时,n=0,当A、B两点中一个点在南半球,另一个点在北半球时,n=1.     

一个定值命题的再推广

文[1]将一个定值命题的系列研究([2]～[4])的结论进一步推广至多边形和多面体中,即有命题1在同一平面内的线段A1B1,A2B2,…AnBn相交于O,且均被点O平分.以O为圆心的圆半径为r,则该圆上任一点与多边形A1A2…AnB1B2…Bn各顶点连线段长度的平方和为定值.命题2不在同一平面内的线段A1B1,A2B2,…,AnBn相交于O,且均被点O平分.以O为球心的球半径为r,则该球面上任一点与多面体A1A2…AnB1B2…Bn各顶点连线段长度的平方和为定值.     

新题征展(110)

A 题组新编 　　1.(袁保金)在坐标平面内,已知两点A(1,5),B(4,1),则 　　(1)与点A的距离为1,且与点B距离为3的直线有______条; 　　(2)与点A的距离为1,且与点B距离为4的直线有______条; 　　(3)与点A的距离为1,且与点B距离为5的直线有______条; 　　(4)与点A的距离为1,且与点B距离为6的直线有______条.……     

求异面直线所成角的一个简便公式及应用

定理设两条异面直线a,b所成的角为θ,由b上两点A,B引a的垂线,垂足分别是A1,B1.则cosθ=(A1B1/AB) (*) 证若A1、B1为相异两点,如图1,过A作     

涉及两个三角形的一个命题

命题若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形.证明由于△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值,故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正,因此,△A1B1C1是锐角三角形.下面证明△A2B2C2     

求点到平面的距离

解决好点到平面的距离是学好立体几何中距离关系的关键.下面是一个简单的实例,我们通过这个实例来体会一下求点到平面距离的几个常见的方法.例题:在正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为1.求点A1到平面AB1D1的距离.一、用点到平面距离的定义由于要求点到平面的距离就是要求点与该点在平面内射影间的线段的长度.因此,只要找到该点在平面中射影,问题就可以迎刃而解.解法一:连结A1C1交B1D1于O,连结AO,过点A1作A1E⊥AO,垂足为点E.∵AA1⊥平面A1B1C1D1且B1D1平面A1B1C1D1∴AA1⊥B1D1又∵B1D1⊥A1C1且A1C1∩AA1=A1∴B1D1⊥平面AA1…     

四棱柱侧棱上四点共面的一个充要条件

四棱柱侧棱上四点应满足什么条件才能共面呢 ?本文得到如下定理 .定理　设 A0 、B0 、C0 、D0 分别为四棱柱侧棱 A1A、B1B、C1C、D1D上的点 ,底面对角线AC、BD交于点 P,且APPC=λAC、BPPD=λBD,则 A0 、B0 、C0 、D0 四点共面的充要条件为A1A0 +λAC .C1C01 +λAC=B1B0 +λBD .D1D01 +λBD.证明　如图 1所示 ,设对角线 A1C1、B1D1的交点为 P1,则由A1A0 ∥平面 BB1D1D知P1P∥ A1A∥ B1B∥C1C∥ D1D.( 1 )必要性图 1若 A0 、B0 、C0 、D0 四点共面 ,由于 P1P是平面 A1ACC1与平面 B1BDD1的交线 ,且 A0 C0 …     

两证点到直线距离公式

点到直线距离公式在教材上、资料上有很多种证法,本篇将结合高二学生的实际,根据学生已掌握的知识,介绍两种新证法.图1已知直线l的方程:Ax B y C=0(A、B不全为0),P(x0,y0)为平面上任一点,求点P到直线l的距离.证法1(向量方法)如图1,设P1(x1,y1)为直线l上一点,G为过点P(x0,y0)作直线l的垂线的垂足,直线l的法向量为n=(A,B),其单位向量n1=1A2 B2(A,B),P P1=(x1-x0,y1-y0)由向量数量积的几何意义得:d=PG=P P1·n1=1A2 B2 A(x1-x0) B(y1-y0)=1A2 B2 Ax1 B y1-Ax0-B y0=Ax0 B y0 C A2 B2(∵Ax1 B y1=-C)证法2(最值方法)由平面几何…     

直线方程四则运算的意义和价值

1　直线方程的加减运算1 1　意义已知两条直线l1 :A1 x B1 y C1 =0 ,l2 :A2 x B2 y C2 =0 .我们来分析l3:(A1 A2 )x (B1 B2 )y C1 C2 =0和l1 、l2 有什么关系 .( 1 )当l1 ∥l2 时 ,l3也和它们平行 .因为l1 ∥l2 ,有 ,A1 A2 =B1 B2,则 A1 A2A2 =B2 B2B2,所以l3∥l2 .( 2 )当l1 和l2 相交时 .记两直线的交点为P(x0 ,y0 ) ,那么 ,A1 x0 B1 y0 C1 =0和A2 x0 B2 0 C2 =0 ,因此 ,(A1 A2 )x0 (B1 B2 )y0 C1 C2 =0也成立 .所以l3也过点P .我们还可以推广到一般的情况 :直线A1 x B1 y C1 λ(A2 x B2 C2 ) =0…     

对一个映射问题的认识

问题设集合A={1,-1},B={1},从集合A到集合B能建立多少个映射?解由于A中1,-1只能与B中的1对应,根据映射的概念从A到B只能建立1个映射.我对上述解法产生了疑问.我是这样想的:从A到B能建立很多函数,比如:f1:A→Bx→x2;f2:xA→→|Bx|;f3:xA→→1B即f1(x)=x2,f2(x)=x,f3(x)=1.可以看出:f1:A→B中对应关系为平方,f2:A→B中对应关系为取绝对值,f3:A→B把所有的x对应成1,三种对应     

综合题新编选登

题188已知函数y=(2 x)(3-x)的定义域为集合A,函数y=lg(kx2 4x k 3)的定义域为集合B,分别在下列情况下求k的取值范围.1)B A;2)A B;3)A∩B=.解A={x|(2 x)(3-x)≥0}={x|-2≤x≤3},B={x|kx2 4x k 3>0}.1)当k≥0时,显然B A,∴k<0,设f(x)=kx2 4x k 3=0的两根为x1,x2(x1相似文献   

三角形另一正则点存在性的证明

用构造法 .设△ ABC的边 BC =a,CA =b,AB =c,若仅有一角小于 60°,不妨设为 A,则B - 60° C - 60°=60°- A >0 .任取一点 Z1作射线 Z1C1、Z1A1、Z1B1使∠ A1Z1C1=B - 60°,∠ B1Z1A1=C - 60°,则∠ B1Z1C1=60°- A(如图 3) ,然后截取 图 3Z1A1=1a,Z1B1=1b,Z1C1=1c得△ A1B1C1.应用余弦定理 ,不难算得B1C1=λ′bc,C1A1=λ′ca,A1B1=λ′ab.又△ A1B1C1∽△ ABC (因对应边之比均为 λ′abc) ,又 Z1A1. B1C1=Z1B1. C1A1=Z1C1. A1B1=λ′abc,按《初探》一文引理 2 ,知 Z1是△ A1B1C1正则点 ,由相似三角形性质 ,知 …     

对一个结论的修订

文[1]中说：直线A1x B1y C1=0与直线A2x B2Y C2=0,当A1B2≠．A2B1时相交;当A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1时平行;当A1B2=A281且A1C2=A2C1时重合．     

对利用方程判断两线平行结论的质疑和求解策略

在众多的教辅资料上均有以下结论：设直线l1、l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1=0,A2x＋B2y＋C2=0,则l1//l2＜=＞{A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1.A1B2=A2B1。     

A-XGY的Moore-Penrose逆的表示

<正>设H,K,H_1,H_2为Hilbert空间,B(H,K)为从H到K上的有界线性算子的全体.B(H,H)缩写为B(H).设A∈B(H,K).R(A),N(A)分别表示A的值域和零空间.若B∈B(K,H)满足方程ABA=A,则称B为A的{1}-逆,记作A~-.满足方程ABA=A,BAB=B的有界线性算子B称为A的广义逆,记作A~+.若B∈B(K,H)满足下列方程     

数论中的三角和法

记号θ记绝对值不大于1的数;c为正常数;ε为任意小的正数。当B>0时,记号A《B是指|A|≤cB. 设变量S的值所成的集合完全定义,任何《H项之和,其每项皆属于所说之集合者,以记号记之。对于满足条件0相似文献