中心对称多边形外接圆周上点的性质

笔者发现 ,中心对称的多边形外接圆周上的点具有如下性质 :中心对称多边形的每组对边上关于它的外接圆的对称点到过外接圆周上任一点的切线的距离之和为定值 .即命题 1　设中心对称的多边形Ａ1Ａ2 …Ａ2ｎ(ｎ≥ 2 )的外接圆Ｏ的半径为Ｒ ,ｌ为过圆周上任一点Ｐ的切线 .Ｍｉ 与Ｍｉ′为第ｉ组(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)对边上关于圆心Ｏ的对称点 ,且Ｍｉ 与Ｍｉ′到ｌ的距离分别为ＭｉＮｉ 与Ｍｉ′·Ｎｉ′ ,则∑ｎｉ=1(ＭｉＮｉ+Ｍｉ′·Ｎｉ′) =2ｎＲ为定值 .分析 :不失一般性 ,当ｎ =2时 ,即对中心对称的四边形的情况给出证明 .图 1　命题 1图证…     

一个有趣性质的再推广与证明

《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个有趣性质的拓广》中的命题 1　矩形外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .命题 2　矩形外接圆周上的任一点到各边中点的距离的平方和为定值 .可作进一步的推广 .命题 1′　关于原点成中心对称的多边形的外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .证明　如图所示 ,设ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 为关于原点成中心对称的图形 ,点Ｐ(ｘ ,ｙ)为其外接圆上的任一点 ,角θｉ- 1 为有向角 ,记θｉ- 1 =∠Ａ1 ＯＡｉ,｜ＰＡｉ｜为点Ｐ到点Ａ的距离 .则∑ｎｉ=1｜ＰＡｉ｜2= ｘ-Ｒｃｏｓθｉ- 1 2 …     

四边形目标检测题

一、填空题:(每小题3分,共30分) 1.对角线__的平行四边形是菱形。 2.已知一个多边形的内角和等于它的外角和,那么这个多边形有__条边。 3.顺次连结任意四边形的四边中点所构成的四边形是__四边形。 4.平行四边形是中心对称图形,它的对称中心是__。     

多边形分平面的定理

1.引言题目所指的定理是希尔伯特的“几何基础”(1930年版)中的定理9,其全文如下:定理.一平面α上的每一个简单多边形,把平面α上其余的点(即平面α上的,而不在这多边形的折线上的点),多为具有下述特质的两个区域,一个内域,一个外域:若A 是内域的一个点(内点),而且 B 是外域的一个点(外点),则平面α上每一条连接 A和 B 的折线至少和多边形有一个公共点;反之,若 A 和 A′是内域的两个点,而且 B和 B′是外域的两个点,则平面α上恒有连接 A 和 A′的折线,和连接 B 和 B′的折线,     

用超级画板探究正多边形性质

1 引言 正多边形就是各条边相等,各个内角也相等的多边形,既是轴对称图形又是中心对称图形,是非常优美的几何图形.它有什么优美的几何性质呢?通过对一道几何习题进行探究论证,从另外一个角度对该问题进行推广得出了正多边形的重要几何性质.     

对凸形内部一类特殊点的研究

1 简介对于一个凸形,其内部任一点都能表示为凸形的某条弦的中点,但是对于一般的凸形,什么样的点能表示为凸形的某个内接中心对称凸多边形的中心?本文将对这个命题的推广进行讨论.以下为本文的主要结论.定理 设Ω为平面上的凸形,定义T为Ω的所有内接中心对称凸多边形中心构成的集合,则图形T的面积S(T)满足0≤S(T)≤1/4S(Ω)不等式左端等号成立当且仅当Ω为中心对称图形,不等式右端等号成立当且仅当Ω为三角形.(以下如无特殊说明,“凸形”,“中心对称图形”均指平面上的图形,且不包括直线或直线的一部分.)     

三次函数图象对称性的探讨

1 .问题的提出一次函数 ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ≠ 0 )的有关性质早已被大家熟知 ,它的图象是一条直线 ,此图象既是中心对称图形又是轴对称图形 .图形上任意一点都是它的中心对称点 ,平面上与此直线垂直的任意一条直线都是它的对称轴 .而二次函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的图象是一条抛物线 ,图象关于直线ｘ =-ｂ2ａ对称 ,因此 ,二次函数图象是轴对称图形 ,但它不是中心对称图形 .这里 ,我们自然会想到三次函数 ｙ =ａｘ3+ｂｘ2 +ｃｘ +ｄ(ａ≠ 0 )的图形是否具有对称性 ,如果有的话 ,图形究竟是成中心对称还是成轴对称 ?2 .考察几个特殊情形…     

合情求解——对一道中考题的分析

<正>题目(2013年常州)用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S,该多边形各边上的格点个数和为a,内部的格点个数为b,则S=1/2a+b-1(史称"皮克公式").小明认真研究了"皮克公式",并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究:正三     

椭圆中最大角定理的推广

文[1]介绍了关于椭圆的最大角定理：椭圆上对两焦点张角最大的点为椭圆短轴的端点．如果把对焦点的张角改为对长轴上关于中心对称的两点的张角又怎样呢？经探究,结论仍然成立．即有下面最大角定理的推广：     

正多边形的一个向量性质及推广

笔者发现正多边形的一个向量性质加以推广后 ,可以将文 [1 ],[2 ],[3]的结论统一起来 ,进一步体现了数学的和谐 .性质 1　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,则∑ni=1OAi=0 .此性质证明略去 ,下面给出它的推广 .性质 2　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,半径为R ,P是平面上的任一点 ,则∑ni=1PA2i =nPO2 +nR2 .证　∑ni=1PA2i =∑ni=1PA2i =∑ni=1(PO +OAi) 2 =∑ni=1PO2 + 2PO ∑ni=1OAi +∑ni=1OA2i =nPO2 +nR2 .性质 3　已知中心对称的多边形A1A2…A2n的外接圆O的半径为R ,P是圆O上的任一点 ,Mi 与Mi+n为…     

反比例函数图像的一个优美性质

形如y=k/x(k≠0)的函数叫做反比例函数,它的图像是由两条曲线组成的双曲线.双曲线上的点关于原点成中心对称,关于直线y=±x轴对称.     

反比例函数的图像与平行四边形

<正>反比例函数的图像既是轴对称图形也是中心对称图形,而平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形,它们联合起来的题目举一例如下.已知:平行四边形ABOC中,A(2,1),B(4,-3),点C在反比例函数的图像上,求反比例函数解析式.方法一利用平行四边形对边平行的性质及一次函数知识.由A(2,1),B(4,-3),可求得直线AB解     

棱锥外接球问题突破策略

<正>几何体外接球球心的本质特征是到几何体各顶点距离相等的点.平面中,到线段两端点距离相等的点在它的中垂线上;到多边形各顶点距离相等的点为该多边形的外心.类比到空间,可得:外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上;外接球的球心在经过几何体任意一个面的外心且与此平面垂直的直线上.所以如何交出球心是关键,一般是先找出几何体某一     

欧氏空间中关于点集的对称变换

欧氏空间中关于点集的对称变换韩志勤（沈阳建工学院１１００１５）考察Ｒ２中关于点的中心对称，关于直线的反射变换和关于圆的反演变换．Ｒ２中关于点Ｐ０（ａ，ｂ）的中心对称变换是ｆ１：Ｒ２→Ｒ２为（ｘ１，ｘ２）→（２ａ－ｘ１，２ｂ－ｘ２）．容易看出，ｆ１为Ｒ...     

一个几何模型的构建及其应用

在多边形与圆的关系中,下面的问题为我们提供了一个几何模型,即平面上任意多边形是否可以通过改变顶角（各边长及其顺序不变,能内接于唯一的一个圆？为了方便建模,我们对平面上折线的刚体运动作如下定义：在平面上一条折线的任意折点处,相邻两边所夹的角可以连续地改变,而折线的各边长及其顺序保持不变的几何变换,称之为折线的刚体运动;一个任意多边形是由一条封闭折线所围成,封闭折线的刚体运动如同在多边形的顶点处用柔韧的关节使各边连接起来,通过改变在关节处的角度使这个由关节连成的系统变形;现提出如下假设：１．设多边形…     

关于多边形Brocard点的一个性质-对文[1]的注记

设P为凸多边形A1A2A3…An的一个内点,且满足∠PA1A2=∠PA2A3=…=∠PAnA1=θ,则点P称为多边形A1A2A3…An的B rocard点,角θ称为这多边形的B rocard角.关于多边形B rocard点的性质,文[1]通过迂回曲折的论证,得到了如下命题:定理1设P是双圆四边形ABCD的勃罗卡点,∠PAB=∠PBC=∠PCD     

多边形面积任意等分的几何作图方法

笔者通过对多边形面积等分问题的探讨,找到一种几何作图方法。其基本原理就是利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质,将多边形转换为等积的三角形。再利用等分线段的基本作图方法,就可将多边形面积任意等分了。其基本作图方法举例如下: 1 过多边形边上一点,分多边形面积为n等分例1 设P点为五边形ABCDE边上任一点,过P点将五边形ABCDE的面积分成七等分。作法:(见图1)     

梅涅劳斯定理的推广

在同一直线上的许多点称为共线点,或称这些点共线．研究多点共线问题可转化为研究三点共线问题,而证明三点共线最常用的方法就是利用三角形的梅涅劳斯定理．本文旨在将三角形的梅涅劳斯定理推广为多边形的梅涅劳斯定理．     

见到中点,你想到什么

线段的中点是几何图形中一个特殊的点.见到中点我们应当构造出等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线、中心对称图形、三角形与梯形中位线等基本图形;掌握添加辅助线的方法:中点、中线、延长线、平行线.     

中点与中心对称变换

中点,这在平面几何中是经常出现的。现行中学教材中对几何变换的思想已略有渗透。本文首先阐述中心对称变换的一个基本性质。然后通过若干例子说明用中心对称变換的方法处理平面几何中与中点有关的问题的简便性。定义如果平面到其自身的一个映射,使任意一对对应点A、A′的连线段都通过一个定点O,且被这一点所平分,则这个映射叫做中心对称变换(亦称点