求解含有绝对值的“三个二次”综合题的五个着眼点

中学数学中的“三个二次”是指二次函数、二次方程、二次不等式 .以二次函数为中心 ,用它的图象和性质串联另外两个“二次”以及其他知识组成的综合题是历年高考的重点 .含有绝对值的“三个二次”综合题乃重中之重 ,解答这类问题常从以下几个方面考虑 .1　运用公式 | |ａ| - |ｂ| |≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|例 1　函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 ) ,若函数ｆ(ｘ)的图象与直线ｙ =ｘ和ｙ =-ｘ均无公共点 ,求证 :1) 4ａｃ -ｂ2 >1;2 )对一切实数ｘ ,恒有 |ａｘ2 +ｂｘ +ｃ| >14 |ａ| .分析 :1)略 .2 ) |ａｘ2 +ｂｘ …     

一元二次函数的最大(小)值问题

我们知道 ,一元二次函数 ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ在其定义域 (-∞ , ∞ )上 ,当ａ >0时 ,函数在ｘ =- ｂ2ａ处取得最小值4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ <0时 ,函数在ｘ =- ｂ2ａ处取得最大值4ａｃ-ｂ24ａ .　　下面我们讨论如果限定某个闭区间 [ｍ ,ｎ]而不是在 (-∞ , ∞ )上来求 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的最大 (小 )值的问题 .由二次函数 ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ (ａ≠ 0 )的图象可知 ,在任何闭区间上 ,函数既有最大值 ,也有最小值 ,且最大值或最小值只能在顶点处或闭区间的端点处取得 ,解题的关键在于考虑顶点的横坐标是否属于该区间 .例 1　 (北京高一 1 996年…     

初三代数第二学期期中自测题

Ａ组一、选择题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如果ａ ,ｂ,ｃ为任意实数 ,那么下列函数中 ,是二次函数的是 (　 ) .Ａ .ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃＢ .ｙ=(ａ+ 1 )ｘ2 +ｂｘ +ｃＣ .ｙ =(ａ2 + 1 )ｘ2 +ｂｘ +ｃＤ .以上都是2 .如果反比例函数 ｙ =ｋｘ 的图象经过点 ( - 2 ,-1 ) ,那么ｋ的值为 (　 ) .Ａ .12 　　Ｂ . - 12 　　Ｃ .2　　Ｄ . - 23 .下列抛物线中 ,不与ｘ轴相交的是 (　 ) .Ａ .ｙ=2ｘ2 +ｘ - 1　　　　Ｂ .ｙ =2ｘ2 -ｘ - 1Ｃ .ｙ =- 2ｘ2 -ｘ + 1Ｄ .ｙ =- 2ｘ2 +ｘ - 14 .抛物线 ｙ=2 (ｘ - 1 ) (ｘ + 3 )的对称轴是 (　 ) .Ａ .…     

对一个函数图象结论的证明

文 [1 ]指出了函数ｙ=(ａｘ +ｃ) +ｂｘ +ｄ(ａｂ≠ 0 ,ｃ,ｄ∈Ｒ)的图象是双曲线并给出了证明 ,但由于证明过程中用到了行列式、函数极限等知识 ,不适合向中学生讲解 ,本文将给出一个更“基本”的证明 ,供同行们教学时参考 .证明　由ｙ=(ａｘ +ｃ) +ｂｘ +ｄ 可得ｙ=ａ(ｘ+ｄ) +ｂｘ+ｄ+(ｃ -ａｄ) ,它的图象可由函数ｙ =ａｘ+ｂｘ 的图象沿向量 (-ｄ ,ｃ-ａｄ)平移得到 ,设函数ｙ =ａｘ+ｂｘ 的图象为Ｃ ,将Ｃ绕原点Ｏ顺时针旋转θ(0 <θ<π2 )角得图象Ｃ′,设Ｃ′上任意一点为Ｐ(ｘ,ｙ) ,与它对应的Ｃ上的点为Ｐ′(ｘ′,ｙ′) ,由复数知…     

韦达定理的另探

从另一角度审视一元二次方程 ,引出根与系数关系 .不妨设ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )有两个不为 0的根ｘ1、ｘ2 ,且ｘ1≠ｘ2 .∵　ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,∴　 ｃａ·1ｘ=-ｂａ-ｘ .令ｙ =ｃａ·1ｘ,则ｙ =-ｂａ-ｘ .画它们的图像如图 .　　由于它们的图像都关于直线 ｙ =ｘ对称 ,所以 ,可设两图像交于Ｍ (ｘ1,ｙ1) ,Ｎ(ｘ2 ,ｙ2 )点 .则　ｘ1=ｙ2 ,　ｘ2 =ｙ1,所以　ｘ1+ｘ2 =ｘ1+ｙ1=-ｂａ.ｘ1·ｘ2 =ｘ1·ｙ1=ｃａ.这就证明了韦达定理 (当ｘ1、ｘ2 均不为零的情况 ) .其它情况也可得出相应结论韦达定理的另探$山东省单县孙六张黄…     

函数问题中的减元思想

在函数问题中 ,当变元出现的次数不止一次时 ,我们就不便于作出函数的图象或讨论函数的性质 .因此经常需要减少变元出现的次数 ,直至其仅仅出现一次 .这就是减元的思想 .减元类似于消元而又不同于消元 .现将几类常见函数减元的思想方法作一总结 :1　一元二次函数ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ≠ 0 )其减元的方法就是配方 :ｙ =ａｘ ｂ2ａ2 4ａｃ-ｂ24ａ例 1　设函数ｙ=ｘ-ａ ｂ-ｘ的最大值为Ｍ ,最小值为ｍ .求证 :Ｍ =2ｍ(其中ａ、ｂ是常数且ａ<ｂ) .证明　函数的定义域为 {ｘ｜ａ≤ｘ≤ｂ}∵ｙ2 =(ｂ -ａ) 2 (ｘ-ａ) (ｂ -ｘ)=ｂ-ａ 2 -ｘ - …     

全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

二次三项式训练题

1　求证:对于所有的ａ,方程(ａ3-2ａ2 7ａ)ｘ2-(ａ3 4ａ2 9ａ 6)ｘ 5ａ2 4=0至少有一根.2　求证:如果2ａ 3ｂ 6ｃ=0,那么二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0在区间(0,1)内至少有一根.3　令ｘ1,ｘ2是方程ｘ2 ａｘ ｂ=0的二根,ｂ≠0.求方程ｂｘ2 ａ(ｂ 1)ｘ (ｂ-1)2 ａ2=0的根.4　在ａ,ｂ,ｃ间有何种关系时,方程组ａｘ2 ｂｘ ｃ=0ｂｘ2 ｃｘ ａ=0ｃｘ2 ａｘ ｂ=0有解?5　求证:如果ａ,ｂ,ｃ是一个三角形的边长,那么方程ｂ2ｘ2 (ｂ2 ｃ2-ａ2)ｘ ｃ2=0没有实根.6　求证:ｓ=ｐ1 ｐ2 … ｐｎ 1时,ｎ个方程ｘ2 ｘ ｐ1=0,ｘ2 ｘ ｐ2=0,…,ｘ2 ｘ ｐｎ-1=0,ｘ2 …     

关于二次函数

形如 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ (ａ≠ 0 )的函数被称为二次函数 .这里的ａ非常重要 ,决定着二次函数的特征 .首先 ,ａ≠ 0 ,也就是说当ａ =0时 ,它就不是二次函数 ,如果你要用二次函数的性质解决问题 ,你就得对ａ≠ 0作出判定或者给出限定 ,也就是分类讨论 .其次 ,ａ的符号决定着函数图象———抛物线的开口方向 ,从而决定着函数的单调性和凸凹性 .其三 ,|ａ|的大小决定着抛物线开口的大小 ,|ａ|越大时 ,抛物线的开口越小 .不论ｂ ,ｃ为何值 ,只要 |ａ|相等 ,所有抛物线都是全等的 .再看ｂ ,ｃ的作用 .ｂ ,ｃ与ａ一起 ,决定抛物线的位置 ,抛物线…     

巧用韦达定理逆定理 妙解一类竞赛试题

韦达定理 :“若实数ｘ1 、ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两个根 ,则有ｘ1 +ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1 ·ｘ2 =ｃａ” .其逆定理是 :“若实数ｘ1 、ｘ2 满足ｘ1 +ｘ2 =-ｂａ,ｘ1 ·ｘ2 =ｃａ,则ｘ1 、ｘ2是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根” .韦达定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛题中应用也较多 .现举例如下 :例 1　已知实数ａ、ｂ满足ａ2 +ａｂ +ｂ2 =1,且ｔ =ａｂ -ａ2 -ｂ2 ,那么ｔ的取值范围是.(2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛试题 )解　由ａ2 +…     

不等式a~3/x~2+b~3/y~2≥(a+b)~3/(x+y)~2的另证

文 [1 ]中谭志中和单老师为解决一类电场问题提出了一个不等式 ,即对于任意的ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,有不等式ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 成立 .(其中等号成立当且仅当ａｙ =ｂｘ ａｘ=ｂｙ) .文中为证明上述不等式 ,构造了恒等式 ,即 :ｆ (ｘ ,ｙ) =ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 =(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 +(ａｙ -ｂｘ)ｘｙ(ｘ + ｙ)ａｘ+ ｂｙ+ ａ +ｂｘ + ｙ .构造虽然巧妙 ,但一时不易让人接受 ,下面给出此不等式的另一种证法 .证　由于ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ+ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 (ｘ2 + ｙ2 + 2ｘｙ)·ａ3ｘ2 + ｂ3…     

一元二次方程求根公式的推导

初三代数课本中介绍了一种一元二次方程求根公式的推导方法 ,笔者想在这里给同学们介绍另外几种方法 .一、印度方法此法起始于印度 ,通常认为是斯利德哈拉(Ｓｒｉｄｈａｒａ,印度人 ,生卒年不详 )在公元 1 0 2 5年之前作出的 .具体做法是 :解　对于方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,移项 ,得ａｘ2 +ｂｘ =-ｃ,两边同乘以 4ａ ,然后再加上ｂ2 ,得4ａ2 ｘ2 +4ａｂｘ +ｂ2 =ｂ2 -4ａｃ,左端化为完全平方式 ,得( 2ａｘ +ｂ) 2 =ｂ2 -4ａｃ,当ｂ2 -4ａｃ≥ 0时 ,开方得2ａｘ +ｂ=±ｂ2 -4ａｃ,所以得ｘ =-ｂ±ｂ2 -4ａｃ2ａ .印度方法十分简捷 ,…     

有关椭圆的四个性质

文 [1]对椭圆的内接矩形进行了讨论 ,本文对此问题进行了拓展 ,并就椭圆中的“最大角”问题进行了探讨 .定理 1　设Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ20 + ｙ20 ≠ 0 )是椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )内一点 ,则过点Ｐ0 的弦中 ,有且仅有一条以Ｐ0 为中点 .证　设过Ｐ0 的直线的参数方程为ｌ2 :ｘ =ｘ0 +ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 +ｔｓｉｎα (α为倾角 ,ｔ为参数 ) ,代入 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 α +ｂ2 ｃｏｓ2 α )ｔ2 + (2ａ2 ｙ0 ｓｉｎα +2ｂ2 ｘ0 ｃｏｓα)ｔ+ａ2 ｙ20 +ｂ2 ｘ20 -ａ2 ｂ2 =0 .若直线ｌ2 截椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2…     

一个最大值题解“一病三治”

题目　已知ａ2 +ｂ2 =1,ｘ2 +ｙ2 =4,求ａｘ+ｂｙ的最大值 .病症　∵　ａ2 +ｘ2 ≥ 2ａｘ　 (当且仅当ａ=ｘ时取等号 ) ,ｂ2 +ｙ2 ≥ 2ｂｘ　 (当且仅当ｂ =ｘ时取等号 ) .∴　ａｘ +ｂｙ≤ 12 (ａ2 +ｘ2 +ｂ2 +ｙ2 )　 =12 [(ａ2 +ｂ2 ) + (ｘ2 +ｙ2 ) ]①答 :ａｘ +ｂｙ的最大值为 52 .诊断　①式中取等号的条件是ａ =ｘ ,ｂ =ｙ同时成立 ,即ａ2 +ｂ2 =ｘ2 +ｙ2 成立 .这与已知条件矛盾 .病因是忽略了均值不等式中取等号的条件 .处治一　∵　 (2ａ) 2 +ｘ2 ≥ 4ａｘ　 (当且仅当 2ａ =ｘ时取等号 ) ,　　 (2ｂ) 2 +ｙ2 ≥ 4ｂｙ　 (当且仅…     

一次函数的最大值和最小值

一次函数ｙ =ａｘ ｂ是一个最简单的初等函数 ,假如ａ≠ 0 ,它在坐标平面上表示一条与ｘ轴不平行的直线 ,因此它在整个实轴上既无最大值 ,也无最小值 .但是 ,在任意有限区间 [α ,β]上 ,它总有最大值和最小值 .当ａ >0时 ,ｙ是严格单调递增的 ;当ａ <0时 ,ｙ是严格单调递减的 .因此 ,当ａ≠ 0时 ,ｙ的最大值和最小值总是在区间 [α ,β]的某一个端点处取到 .假如ａ =0 ,那么ｙ =常数ｂ ,ｙ在整个实轴上处处取到最大值和最小值 .我们以 ｆ(ｘ)表示ａｘ ｂ ,以 ｍａｘα≤ｘ≤βｆ(ｘ)和ｍｉｎα≤ｘ≤βｆ(ｘ)分别表示 ｆ(ｘ)在 [α ,β]…     

关于不定方程ax+by=c的特解的算法

给定二元一次不定方程ａｘ+ｂｙ=ｃ ,( 1 )其中ａ ,ｂ ,ｃ为整数 ,且ａ ,ｂ≠ 0 .由文 [1 ]知 ,不定方程 ( 1 )有整数解的充分必要条件为ｇｃｄ(ａ ,ｂ) ｜ｃ,亦即ａ ,ｂ的最大公因数可整除ｃ.若不作特别说明 ,本文所说的解均指整数解 .设不定方程 ( 1 )有解 .不失一般性 ,我们总可假定ｇｃｄ(ａ ,ｂ) =1 .此时 ,不定方程 ( 1 )有解且它的全部解为ｘ=ｘ0 -ｂｔ,ｙ=ｙ0 +ａｔ,( 2 )其中 (ｘ0 ,ｙ0 )为不定方程 ( 1 )的特解 ,ｔ为任意整数 .这是因为若 ( 1 )的一般解为 (ｘ,ｙ) ,则 (ｘ -ｘ0 ,ｙ-ｙ0 )为 ( 1 )的齐次方程 (ｃ=0 )的一般解 .上…     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

多元二次函数的最值问题

本文用二次型理论给出了多元二次函数有最大 (小 )值的一个充分条件 ,并给出了最值点及其最值的求法 .对于一元二次函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ　 (ａ≠ 0 ) ,当ａ>0时 ,ｆ(ｘ)有最小值 ,当ａ <0时 ,ｆ(ｘ)有最大值 .且当ｘ =- ｂ2ａ 时 ,取最值4ａｃ -ｂ24ａ .利用实二次型理论 ,将这一结论推广 ,可给出多元二次函数取最值的一个充分条件 ,及其求法 .多元二次函数的一般形式为 :ｆ(ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ)=ａ1 1 ｘ21 2ａ1 2 ｘ1 ｘ2 … 2ａ1ｎｘ1 ｘｎ ｂ1 ｘ1 ａ2 2 ｘ22 … 2ａ2ｎｘ2 ｘｎ ｂ2 ｘ2 … ａｎｎｘ2 ｎ ｂｎｘｎ ｋ ,ｆ…     

二次函数y=ax~2 bx c的有趣性质及其应用

二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的有趣性质及其应用四川省内江市市中区永安镇初级中学邱力争二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象和性质是我们比较熟悉的中学数学内容，根据二次函数的自变量和函数值间的关系我们将研究二次函数的有趣的一些性质，使得二次函数的...     

关于直线对称的点的复数求法

预备知识 :复平面上的任何直线都可表示为αｚ+αｚ +ｃ=0 (α≠ 0 ,ｃ∈Ｒ)的形式 .反之 ,这种形式的方程表示复平面上的直线 .事实上 ,设ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ且ａ2 +ｂ2 ≠ 0 ,ｚ =ｘ+ｙｉ,则ａｘ+ｂｙ +ｃ=0 ａ -ｂｉ2 ｚ+ ａ +ｂｉ2 ｚ+ｃ=0令α =ａ+ｂｉ2 ,则有αｚ +αｚ +ｃ=0 .其中α≠ 0 .ｃ∈Ｒ .定理　复数ｚ1 与ｚ2 所对应的点关于直线αｚ+αｚ +ｃ =0 (α≠ 0 ,ｃ∈Ｒ)对称的充要条件是αｚ1 +αｚ2 +ｃ=0 .证明　设λ为任意实数 ,则连结ｚ1 与ｚ2 而得线段的垂直平分线可表示为ｚ=ｚ1 +ｚ22 +ｉλ(ｚ2-ｚ1 ) .这条垂直平分线上的…