直线等分三角形面积的一般性思考

我们都知道,三角形的中线将三角形的面积二等分;平行于三角形一边的直线也有一条平分三角形的面积(该直线分一边得两线段的比为1:(√2-1)),那么还有其他的直线也可以平分三角形的面积吗?本文探讨的是(1)过三角形一边上的任一点如何作直线平分三角形的面积;(2)过一边上的任一点如何作直线任意等分三角形的面积.     

规范五边形的性质和构造

<正>1引言三角形的中线有许多优美的性质,例如平分三角形的面积,三条中线交于一点(这点称为重心)等等.最近,华漫天老师在文[1]中类比三角形中线的性质引入了规范五边形的概念,并证明了规范五边形的重心和三角形的重心有类似的性质.下面介绍华老师的定义和结论.定义A如图1,五边形ABCDE中,边CD称为∠BAE的对边,∠BAE称为边CD的对角.设点F是边CD的中点,     

关于五边形的密克圆

1.延长任意五边形的各边于形外相交得五个三角形,諸三角形的外接圓于五边形外的五交点必共圓(此圆称为“密克圓”)。证. 延长五边形ABCDE的各边于形外交成五个三角形,ABG,BCH,CDK,DEL,AEF,其外接圓于五边形外的交点为P,Q,R,S,T(     

Morgan定理的推广

1　前言美国的《数学教师》期刊上多篇文章涉及三角形内某一几何图形面积与原三角形面积之比为定值 ,如文 [1]的 Marion定理 :如图1,对于任一三角形 ,将每边三等分 ,则等分点与顶点联线得到的六边形面积与原三角形面积之比为 110 .文[2 ]利用几何软件将该结论推广得到 Morgan定理 :如图 2 ,对于任一三角形 ,将每边 n等分 ( n为大于或等于3的奇数 ) ,则边上第 n-12 、n 12 个等分点与顶点联线得到的六边形面积与原三角形面积之比为89n2 -1.为了便于推广 ,将 Morgan定理叙述为 :如图 2 ,在△ ABC中 ,A1 、B1 、C1 分别为边 BC、CA、AB的…     

《三角形与多边形分割》一文中的错漏

《数学通报》2006年第8期上刊载了一篇题为《三角形与多边形分割》的专题论文,其前半部分"1.三角形分割"(下称文[1])提出了这样一个平面分割问题: 将一个三角形的每边n等分,连结各顶点与诸分点的线段把三角形分割,问将三角形分割成多少块?     

一道面积等分题的变迁

东阳市2003年初二数学考试有这样一道题目:如图1,在五边形ABCDE中,∠B=∠E-90°,AB=CD=AE=BC DE=2. (1)求五边形的面积; (2)求证:CA平分∠BCD,DA平分∠CDE; (3)若ABCDE是菜地:你怎样平分给两户农民? 老师给出的参考答案是:     

直线等分四边形面积的尺规作图

本文将从过四边形边上任意一点,作直线等分任意四边形面积的尺规作图予以阐述．为了叙述的方便,先介绍两个引例以作铺垫．     

授之以“鱼”不如授之以“渔”——谈在数学课堂上培养学生应用化归思想的能力

数学思想方法是将数学知识转化为数学能力的桥梁,加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键,而化归思想作为一种非常重要的数学思想方法,在分析、处理和解决初中数学教材中有着广泛的应用.如在研究多边形的问题时,先是研究三角形的性质,然后研究四边形、五边形、六边形等多边形性质时,都是通过添加辅助线将多边形问题转化为三角形问题来解决的,这是由特殊到一般,是一     

一个基本图形的应用

我们知道:三角形的中线将三角形的面积等分.即:如图1,AD是△ABC的边BC上的中线,则△ABD与△ACD的面积相等(我们将图1称为基本图形),据此,可以     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

也谈用向量法证明三角形的中线交于一点等问题

在《数学通报》(2004年第9期)的文[1]中给出了两种用向量法证明三角形的三条中线交于一点的例子现将其证明过程摘录如下:例2证明三角形的中线交于一点.证明如图(2)在△ABC中,图2设AB边上的中线为CD,取其上一点P1分CD为CP1:P1D=2:1,设BA=e1,BC=e2,那么BP1=BC CP1=e2 2312e1-e2=13(e1 e2).同理,可设BC边上的中线为AE,取其上一点P2分AE为AP2:P2E=2:1,也有BP2=13(e1 e2);设AC边上的中线为BF,取其上一点P3分BF为BP3:P3F=2:1,同样有BP3=13(e1 e2),因此,P1,P2,P3三点重合,故三中线交于同一点.例3用向量的线性关系证明三角形…     

用变换解题一例

<正>题目如图1,已知凸五边形ABCDE的边长均相等,且∠DBE=∠ABE+∠CBD,AC=1,求证:BD<2.这是一道容易猜出答案,但背后却有深度的的选择压轴题.画出的图形看起来△ABC是等边三角形,但条件并没有直接给出,只知道五边形各边相等(不含AC),再加一组角的     

平面图形的射影在立体几何中的应用

我们知道如果多边形Q与平面P成二面角为α,它在平面P内的射影为Q′,则S_(多边形Q′)=S(多边形Q)cosα。上式也可变化为: (1) cosα=S_(多边形Q′)/S_(多边形Q) (2) S_(多边形Q)=S_(多边形Q′)/cosα上面一组公式应用于求二平面所成的二面角以及求截面面积,往往比较简单。有时也可省去一些因作图而带来的麻烦。例1 已知:正方体AC′,过AA′的中点M和顶点B、C′作△MBC′。求△ABC′与□A′B′C′D′所成的二面角。象这类问题的一般解法是通过作图求出二平面的交角,而后再通过计算求出这二面角的平面角。解法如下:     

执果索因 抓住不变 有序作图

<正>1原题呈现(2023年南京市联合体数学第二次模拟试卷第24题改编)如图1,已知点P为∠ABC内一点,用两种不同的方法过点P作一条直线,分别交AB,BC于点E,F,使得BE=BF．(要求:用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,写出必要的文字说明)     

浅析面积等分线的作法

"等底等高的三角形面积相等",这个性质在作图形面积等分线时很有用,比如:三角形的中线把三角形分成等底等高的两个三角形,分得的两三角形面积相等,这条线就是三角形面积等分线.如图1,D为BC中点,AD就为△ABC的一条面积等分线.应用一、过三角形一边上任一点作三角形的面积等分线     

关于棱锥的一个猜想的证明

文[1]、文[2]对2005年湖南省高考数学试题(理10)进行了探究推广,分别给出了多边形面积三角形化定比分点、棱锥体积棱锥化定比分点的概念及有关性质.定义1设P是n边形A_1A_2…A_n(n≥3)内任意一点,S表示该n边形的面积,     

一个四边形面积等分问题的简解

<正>《中学生数学》2016年第5期(初中刊)刊登了文章《一个四边形面积等分问题的思考》,读罢受益匪浅.文章给出了三种方法通过作平行线把部分面积进行转化,过普通四边形边上一点作出该四边形边的面积等分线,接着作者说"每个方法中都要用到两次作平行线,考虑到新课标中尺规作图没有要求用‘过直线外一点作出已知直线的平行线.’这个知识点如何出现在中考复习中?于是想到把这个作图题     

纸条平结与正五边形

1纸条平结西北工业大学杨智春教授发问:"我发现,一根长矩形纸条打个平结,得到一正五边形,这个有证明吗?"2构图纸条平结产生五边形ABCDE的构图如下图.纸条的一侧是折线BCABE,另一侧是折线ADECD.图中的浅细线都是(从顶点到边延长线的)垂线,并且画出了相应的辅助直角三形,浅细线长度都等于纸条的宽度.我们将证明五边形ABCDE是正五边形.     

与等边三角形有关的定值问题

等边三角形是最特殊的三角形,其内部任一点到三边的距离和为定值,这个定值被人们熟悉和重视.其实,与等边三角形有关的定值问题还有很多.现举几例予以说明,仅供大家参考.例1 如图1,点P是等边三角形ABC内任意一点,AB =a,过点P作三边的平行线,分别交直线AB,BC,AC于点D,E,F.求证:PD+ PE+ PF=a.     

聚焦网格作图

<正>所谓网格作图,就是仅利用无刻度直尺,根据正方形网格的性质,利用格点来作图,其难点在于找到符合条件的格点,下面举例说明其方法.1确定三角形顶点例1如图1G1,在8×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上.在图中找一点E (点E在小正方形的顶点上),使tan∠AEB=2(AE 相似文献