定长弦的中点轨迹方程的探究

若弦长一定,当弦的两端点在曲线或面上运动变化时,其中点的轨迹图形是否存在?方程能否求出?这一问题很有趣,值得我们作一探究.本文将通过具体实例,对定长弦的两端点在直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线及空间中的线或者面上运动时,弦的中点轨迹及其方程加以探究.一、求定长弦中点的轨迹     

一道高考题的引申

20 0 3年高考全国卷第 1 6题 :下列五个正方体图形中 ,l是正方体的一条对角线 ,点M ,N ,P分别为其所在棱的中点 ,能得出l⊥面MNP的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号 )①　　　　　　　②　　　　　　　③④　　　　　　　　　⑤此题涉及知识面广 ,思维量大 ,解法灵活多样 .考虑到MN ,MP ,NP均为正方体各棱的中点的连线 ,由此引申出一个更一般的命题 :正方体每两条棱的中点的连线与正方体的一对角线l所成的角为多少度 ?为此我们讨论如下问题 :问题 1　正方体每两棱的中点连线有多少条 ?因正方体共有 1 2条棱 ,故它们的中点连…     

利用中点证明有关线段的一半或一倍问题

<正>在几何证明中,经常会遇到线段的一半或一倍的相关问题,这类问题往往与线段的中点相关,此时可以借助以下图形来解决此类问题.在以上三个图中,D均为BC中点.在图1-a中,利用倍长中线构造出线段的一倍,往往是延长AD至E使DE=AD连接BE,或过B作BE//AC交AD的延长线于点E,易证得△ADC■△EDB,也就是说,△ADC与△EDB关于点D成中心对称图形,即构造了以D为中点的线段AE,从而构造出了2AD=AE.     

又见“中点”——从基本图形出发寻找结论与条件的连接

<正>去年,老师带着同学们一同赏析了2022年北京中考数学的几何综合题,再看今年的相同板块,发现围绕不同的条件和基本图形,“中点”的变化都是巧妙且灵活的.为什么偏偏是“中点”呢?从宏观来讲,图形的轴对称性、中心对称性离不开中点;从微观看,特殊图形的性质中,总有与中点或中线有关的结论.所以,在几何的学习中,中点总是一个绕不开的“结”,它连接着所有我们熟悉的几何图形,也能变化出许多有趣的结论.     

数学诗一首——立体几何

一点二面三垂线 ,解决问题是关键 ;垂足平面与垂线 ,图中位置细分辨 .已知条件想性质 ,再推性质要精选 ;求证结论想判定 ,解题思路方可现 .言必有据书写简 ,说理计算序不变 ;概念定理熟记准 ,解题正确结果见 .说明　 1　点、平面、垂线是解立体几何题的关键 .点主要是指垂足 ,即线互相垂直或线垂直面的垂足 ,点在线上的射影 ,点在面内的射影 ;有时也指线段的端点或中点 ;也可以是三角形的垂心或多边形中有关的点 .平面主要是指线的垂面、互相垂直的面、二面角的面和已知条件较多的平面图形所在的平面 .垂线主要是指线的垂线、平面的垂线、平…     

与中点有关的直线形问题

<正>与中点有关的问题频繁出现.例如,2023年九年级上期末练习,西城、海淀等区都以中点为背景,通过利用等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线、倍长与中点有关的线段或构造中位线等方法构造新图形,解决几何问题.初三学生面临复习时间紧、知识点多等诸多学考压力,因此帮助同学们建立与中点有关知识体系是事半功倍的复习方法.我们需要知道如何添加适当的辅助线解决这一几何问题.     

三角形的一个向量性质及其在空间的拓广

本文将给出与三角形的中线有关的一个向量性质,并将其推广到空间.图1定理1如图1,G为给定△OAB的边AB的中点,D为中线OG上一定点(异于点O),过D点任作一直线,分别交OA、OB于M、N,设OM=x OA,ON=y OB,则1x 1y=定值.证明∵G是AB边的中点,∴OG=12(OA OB).∵D为中线OG上的一定点,∴OD、     

浅谈综合图形的作用

这里所说的综合图形是指:把几个有内在联系命题的图形统一在一个图形上的复杂图形。实践证明,它的作用在于:1.揭示证题规律;2.提供新的证法;3.探得新的命题。下面,仅就四组有内在联系的命题,研究综合图形的作用。第一组命题及其综合图形: 1.四边形ABCD中AB=DC,E、F是BC、AD的中点;M、N是AC、BD的中点,求证:EMFN是菱形。 2.四边形ABCD的AB=DC、E、F是BC、AD的中点;M、N是AC、BD的中点,求证:FE⊥NM。     

中点如何用?

<正>中点是几何证明题中常见的重要条件,有时用好中点条件是解决问题的关键,而随着数学知识的增长,背景图形的丰富,中点能涉及到的知识点越来越多,那么看到中点,同学们应该想到什么呢?怎么用好中点呢?     

由“中点”的联想与思考

<正>线段的中点是一个比较特殊的点,初中几何中的很多知识点都是以此为基础展开的,如三角形的中线、垂直平分线、中位线等等.因此,中点的应用十分广泛,解答与之有关的试题的灵活性也很强,同时,这也是深受命题者青睐的原因所在.所以,探究、分析和解决与线     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

线段中点公式及应用

<正>线段中点公式是指:线段上一点到线段中点的距离分式,可分以下两种情形.1.点在线段上公式1如图1,O是线段AB的中点,点P在线段AB上(P不与A、O、B重合),则PO=(PA-PB)/2.     

两个面积最小问题的推广

把两个有关平面图形的面积最小问题进行推广,得到较一般的情形,所求的点都是区间的中点.     

四面体的重心与垂心的性质

1 四面体的重心 由三角形的一个顶点与对边的中点为端点确定的线段称为三角形的中线,三角形的3条中线交于一点(此点称为三角形的重心),且这点是顶点与对边中点连线的3等分点(靠近对边的中点).类比三角形的中线与重心,遵循"点到棱、线到面、共点线到共点面"的类比原则,容易想到"由四面体的一条棱与对棱的中点确定的平面称为四面体的中面"这一新定义.     

从直径人手解题

<正>圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,直径所在直线是它的对称轴,直径的中点是对称中心.与弦垂直的直径,平分弦及弦所对的弧;直径对的圆周角是直角.可见直径是圆中最活跃的因素,它是沟通弦、角、弧关系的桥梁.解题中,若能从直径入手,可突破难点,化难为易.(1)在题设或结论中涉及弧的中点、弦的中点,解题时往往考虑构造"垂径".(2)在题设、结论中涉及直径或直角,解题时要关注直径对的圆周角.     

解答与三角形折心有关的一个问题

记△ABC中x边上的中点为Gx,x∈{a,b,c}(a≥b≥c),Fx为a、b、c三边中除x边外的另两边所成折线长的中点.称Fx为相对于x边的折中点,线段FxGx为x边的折中线.文[1]证明了三角形的三条折中线共点(此点称为三角形的折心)以及折心的一些性质,且文[1]末提出了如下问题　设Fx是△ABC的折中点,Ix是x边对角的平分线与x边的交点,证明或否定:FaIa、FbIb、FcIc三线共点.笔者对此问题研究的结果是:对不等边三角形而言,以上三线不共点.证明　当a=b=c时,FaIa、FbIb、FcIc显然共点.下面对a≥b≥c(等号不同时成立)进行讨论.如图1,设FaIa与FbIb相交于…     

借助《几何画板》迭代功能展示课本图形

高中数学课程提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容.教材中许多问题涉及的图形,与操作的次数有关,但学生只能从书本上看到静态图形.如若借助《几何画板》的迭代功能,则可展示图形的动态效果,这将使学生的理解与感受更为深刻.下面结合苏教版高中数学教材中的一些问题谈一谈具体的做法,供大家参考.问题1如图1(1),在边长为1的等边三角形ABC中,连结各边中点得△A1B1C1,再连结△A1B1C1各边中点得△A2B2C2,……如此继续下去,试证明S△ABC,……是等比数列.(必修5 P49练习4)作法 步骤1 在平面上作线段BC,以BC为边作正三角形ABC.取BC中点A1,AC中点B1,AB中点C1.     

学数学 揭开“八卦阵”骗局

在我们学习过的三角形、正方形、圆等图形中 ,不论怎样移动图形 ,它的大小和形状都是不改变的 ,这种几何学叫做“刚体几何学” .但是 ,有时候我们只需要研究点、线之间的相关位置或相互联结的情况 ,而不考虑尺寸大小 .这类几何学有人叫它“橡皮几何学” ,它的正式学名叫“拓扑学” .这是因为橡皮膜上的图形 ,随着橡皮膜的伸缩 ,其长短、角度、面积等都将随时发生变化 .不过 ,在橡皮几何学里也有一些图形的性质不变 :点变化后仍然是点 ;线变化后仍然是线 ,相交的线绝不因橡皮的伸缩和弯曲而变得不相交 .在橡皮几何学中 ,我们把一条首尾相连 ,…     

线段中点问题的探究

<正>线段是组成几何图形的重要元素,在七年级上数学的学习中,线段中点模型的探究为线段计算提供了非常明确的探究方向．下面我们立足课本,从定义出发,由具体计算到一般结论,探究线段中点问题的计算和线段间的数量关系．1线段中点的定义人教版教材P127,如图1,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点．     

截面的画法

一个多面体被一个平面所截 ,在多面体的表面得到的截痕形成的平面封闭图形 ,称为这个多面体的一个截面 .判断截面有三项指标 :一是这个图形是否是平面图形 ;二是这个图形是否封闭 ;三是这个封闭图形的各条边是否在多面体的表面 .例如 ,图 1中的三角形就是正方体的一个截面 .在这三项指标中 ,第一项是关键 .我们总是先满足这一指标后 ,再满足其它指标 .已知多面体的棱上的三点 ,怎样作出过这三点的截面呢 ?本文介绍如下几种常用的方法 .1　平行线法例 1　在正方体 A1B1C1D1- ABCD中 ,点 E是 A1B1的中点 ,如图 2 (a) ,求作过 D1、E、B三…