除數問題(Ⅱ)

<正> 設d_k(n)是n分解為k個因子的數目,設 R_k(x)=(a_(ko)+a_(k1) ln x +…+a_(k,k-1) ln~(k-1)x)x (x>0)是ζ~k(s)x~s/s在s=1的留数.定義△_k(x)=D_k(x)-R_k(x).本文目的在於證明下面的結果.     

除數問題(Ⅰ)

<正> 設dk(n)是n分解為k個因子的數目,設 R_k(x)=(a_(k,0)+a_(k,1)ln x +…+a_(k,k-1)ln~(k-1)x)x (x>0)是ζ~k(s)x~s/s在s=1的留数。定義 △_k(x)=D_k(x)-R_k(x). 當n=2時,下列的公式是大家熟悉的(參看[1]):     

甩瓦累-布然平均逼近连续函数

<正> §1.总说§1.1 设 f(x)∈C_(2π),f(x)～a_0/2+sum form n=1 to ∞ a_ncosnx+b_nsin nx≡sum form n=0 to ∞ A_n(x)记 S_n(f,x)=sum form v=0 to n A_v(x).称σ_(n,p)(f,x)=1/p+1 sum form v=n-p to n S_v(f,x)为 f(x)的瓦累-布然平均.记△_u~kf(x)=sum form v=0 to k (-1)~v(?)f[x+(k-2v)u].称函数ω_k(f,t)=(?)|△~u_kf(x)|为 f(x)的 k 阶连续模.简记ω(f,t)=ω_1(f,t).假如 f(x)的共轭函数     

一个递推公式及其应用

本文介绍一个递推公式及其在解题中的广泛应用。1 递推公式设F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥0,n∈Z),构造以x_1,x_2,…,x_k为根的方程: x~k+m_1x~(k-1)+m_2x~(k-2)+…+m_k=0 我们称这个方程为F(n)的特征方程,则F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥k,x∈Z)满足下列递推公式:     

正交多项式回归理论中一个递推关系的证明

令(?)_k(t)表示 k 阶多项式,对于一组首项系数为1的多项式{(?)_k(t),k≥0}在t=0,1,…,(N-1)处正交,即(?)本文证明了它们有递推关系(?)_(k+1)(t)=(?)(t)(?)_k(t)-a_(k-1)(?)_(k-1)(t),其中a_(k-1)=k~2(N~2-k~2)/4(4k~2-1).     

线性移存器序列的伪随机特性

<正> §1.引言 线性移存器序列是指满足下面递归关系的二元序列a=(a_o,a_1,a_2…)a_i∈GF(2). a_(n+k)=c_1a_(n+k-1)+c_2a_(n+k-2)+…+c_na_k,c_i∈GF(2),(k=0,1,2,…)称f(x)=x~n+c_1x~(n-1)+…+c_n为产生序列a的线性移存器的联接多项式.以f(x)为联接多项式的线性移存器所产生的二元序列全体,形成二元域GF(2)上的线性空间,记之为G(f).本文的目的是由联接多项式f(x)的特点来刻划G(f)中非零二元周期序列的伪随机特性.     

广义对角占优矩阵的判定

本文给出了广义严格对角占优矩阵的几个判定条件以及等价表征,这些结论分别推广了[3]与[4]的一些结果。作为约定本文总假设;A=(a_(ij))_n×n 表示复矩阵,∧_k=(?)|a_(kj)|当|a(kk)|≠0时,σ_k=(∧_k)/|α_(kk)|,θ_A={s||a_(ss)|≤∧_s,s∈N={1,2,…,n}},J_A={k||a_(kk)>∧_k,k∈N}     

關於k進表示法的一個問题

<正> §1.設k>1是一個固定的正整數,則每一個正整數x都可以唯一地表成 x=a_1k~n1+a_2k~n2+…+a_1k~nt,其中n_1>n_2>…>n_t≥0都是整數;a_1,…,a_t也都是正整數且≤k-1.我們令,並令.在k=2的情况,文[1]的作者們證明了     

I_(01)逼近和多项式计算中的系数舍入(续)

一、I_(01)逼近的不唯一性 [1]中我们证明了I_(01)逼近定理,指出:若有偶多项式P_(2n)(x)=sum from k-0 to n (a_(2k)x~(2k)),x∈[-1,1],其系数满足0≤a_(2k)<1,k=0,1,…,n,则存在一个次数至多为2n且只以0和1     

由谱数据数值稳定地构造实对称带状矩阵

§1.引言 设r,n是正整数并且0r有a_(ij)=0.     

关于积分∫f(x,{Nx})dx带准确余项的渐近展开式的一种新证明

本文对于积分from n=0 to 1 f(x,{Nx})dx带准确余项的渐近展开式from n=0 to 1 f(x,{Nx})dx=from n=0 to 1 from n=0 to 1f(x,y)dxdy+sum from k=1 to r 1/(k!) (1/N)~k from n=0 to 1[f~((k-1,0))(1,y)(?)_k(y-N)-f~((k-1,0))(O,y)B_k(y)]dy-1/(r|)(1/N)~r from n=0 to 1 from n=0 to 1 f~((r,O))(x,y)(?)_r(y-Nx)dxdy给出了一种简捷的推导,这种推导只需普通的分析知识,无需用到Euler-Maclaurin求和公式及Bernoulli多项式的Raabe乘积定理。     

华林问题中 g(ψ)的估值

<正> 假定 k 是一个整数≥12,(?)(x)=(?)_k(x)=x(x+1)…(x+k-1).记号g((?)_k)表示最小的整数 r 满足条件,使得每个整数 N≥1都能够表示成(?)这里的 x_i 是一个非负整数。Нечаев曾证明有(?)本文的目的是要改善这个不等式为     

k—full整数的分布（Ⅱ）

设k≥2是固定整数。自然数n称为k-full,如果对n的任一素因子p,均有p~k|n。以A_k(x)表示不超过x的k-full整数的个数,则可将A_k(x)写成如下形式: 这里γ_(i,k)(0≤i≤k-1)是非零常数,△_k(x)A_k(x)之误差项,本文在Riemann猜想成立的假设下证明了下结面论: 定理设。若Riemann猜想成立,则有:对k≥10成立。对2≤k≤9则得到了关于△_k(t)dt之渐近估计,其误差项为O(x_k~(a′+2))(ε>0)。     

牛顿公式的一个初等证明

设x_1,x_2,…,x_n是一元n次方程x~n-σ_1x~(n-1)+σ_2x~(n-2)-…+(-1)~nσ_n=0的n个根,并设S_k=x_1~k+x_2~k+…+x_n~k(k=1,2,…),那么 当k相似文献   

求幂级数和函数的部分分式法

<正> 设P_m(x)=a_0x~m+a_1x~(m-1)+…+a_(m-1)x+a_m。P_m(k)≠0,(k= 0,1,2,…,m)则有部分分式分解式     

关于Kumar和Mathur一文的注记

1°记T_n(x)=cosθ(x=cosθ)为多项式,x_k=cosθ_k=cos(2k-1/2n)π(k=1,…,n)是它的n个零点。以(1-x~2)T_n(x)的零点为节点的Lagrange插值多项式有如下形式:     

关于第二类Bernstein型插值过程

设f(x)∈c[-1,1],U_n(x)=sin(n+1)θ/sinθ(x=cosθ)为第二类多项式,x_k=cosθ_k=cos(kπ)/(n+1)(k=1,…,n)为其 n 个零点。又记 x_0=1,x_(n+1)=-1。文考虑了以{X_k}(k=0,1,…,n+1)为节点的第二类 Bernstein 型插值过程:     

一个不等式的改进及证明

文 [1 ]中四川师大的徐丹老师和杨露老师给出了如下定理及其证明 :定理　设a1 ,a2 ,… ,an ∈R+,且a1 +a2 +… +an =s,k∈N ,k≥ 2 ,则有ak1 s-a1+ ak2s-a2+… + akns-an≥sk- 1(n - 1 )nk- 2 .其中当且仅当a1 =a2 =… =an 时 ,不等式的等号成立 .笔者认为k∈R ,k>1时 ,定理是成立的 ,证明如下 :证明　设f(x) =xks -x,x ∈ ( 0 ,s) ,由于f′(x) =kxk- 1 (s -x) +xk(s-x) 2 ,f″(x) =k(k- 1 )xk- 2 (s-x) +kxk- 1(s- 2 ) 2 +kxk- 1 (s-x) 2 + 2xk(s-x)(s-x) 4所以 ,当x ∈ ( 0 ,s) ,k>1时 ,f′(x) >0 ,f″(x) >0 ,即f(x)为递增下凹的函数 .…     

限制零点个数的亚纯函数的正规定则

设k,n(≥k+1)是两个正整数,a(≠0),b是两个有穷复数,F为区域D内的一族亚纯函数.如果对于任意的f∈F,f的零点重级大于等于k+1,并且在D内满足f+a[L(f)]~n-b至多有n-k-1个判别的零点,那么F在D内正规·这里L(f)=f~((k))(z)+a_1f~((k-1))(z)+…+a_(k-1)f'(z)+a_kf(z),其中a_1(z),a_2(z),…,a_k(z)是区域D上的全纯函数.     

具有负指数系数的微分算子的谱

本文研究了形如∑_n~k=o~((α_k)(e~((α_k)x))D~k(a_k≤0)及∑_k~n=o((-1)~k)α_(2k)D~ke~(α_(2k)x)D~k+i/2∑_k~n=o(α_(2k+1))(D~ke~((α_(2k+1))x)D~(k+1)+D~(k+1)e~((α_(2k+1)x)D~k)(α_k≤0)的算式的谱问题,分别得到了它们的本质谱或本质谱所在的范围.