多元三角代换解题例说

三角代换是求解代数问题的一种重要转化方法 ,特别在涉及条件最值 (值域 )、条件不等式的证明时 ,巧用三角代换 ,常常可达到化繁为简、化难为易之功效 .这里用一组实例来说明多变元三角代换的应用 .例 1　设 p >0、q >0 ,且 p3 q3=2 .求证 :p q≤ 2 .证明　令 p q =s,因 p >0 ,q >0 ,故可设 p =s. cos2 θ、q =s. sin2 θ,代入 p3 q3= 2得s3=2cos6θ sin6θ= 2( cos2 θ sin2 θ) ( cos4 θ- cos2 θsin2 θ sin4 θ)= 2( cos2θ sin2θ) 2 - 3cos2θsin2θ= 21 - 34sin2 2θ≤ 21 - 34=8.∴　 s≤ 2 ,即　 p q≤ 2 .评注　本…     

用Bcklund变换确定神经传导反应扩散方程的显示精确行波解

文献[1]讨论了反应扩散方程的形如u(x_1,t)=q(x-ct)的行波解.令ξ=x-ct,给出该方程的BackIund变换为q_x=p(q),q_t=-cp(q).显然,p=p(q)∈C~1[0,1]∩C~2(0,1)应满足p((dp)/(dq) c)=-f(q).若c=0,则p=±(-2∫_0~(q(ξ))f(τ)dτ)~(1/2);若c≠0,则必须从方程(dp)/(dq)=-c-f(q)/p,p(0)=p(1)=0,p(q)>0,q∈(0,1)出发寻求传播较快的行波.如果p和f分别为次数m和n的多项式,那么n=2m-1.在m=1和2情形下求得的传播速度与生物物理学家用实验     

妙证一例

例题已知正数p、q满足p~3 q~3=2,求证：p q≤2．证明∵p,q＞0,∴p~3,q~3＞0．由均值不等式p~3 1 1≥3 p~3~(1/3)=3p,q~3 1 1≥3 q~3~(1/3)=3q．两式相加得p~3 q~3 4≥3(p q)．∴6≥3(p q),从而p q≤2．     

质因数的弃尾检验法

本文从理论上阐述弃尾检验法,主要是:证明质数p(p≠2,5)均可使用弃尾检验法;给出弃尾检验法进行的一般程序。§1.预备知识定理1.a是任意整数,b是任意非零整数,则有唯一的整数对q,r,使得 a=qb r,0≤r<∣b∣证明:①整数对a,r的存在性。先设b>0,此时∣b∣=b 下面的两端均无终点的序列均匀地“布满”整个数轴, …,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,…。对于a,必有qb,使得qb≤a<(q 1)b,记r=a-qb,则0≤r相似文献   

构造向量解题

文 [1 ]举例说明了平面向量在中学数学中的广泛应用 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再举几例 ,说明构造向量 ,利用向量的内积在中学数学其它一些方面的应用 .1　求值例 1　设 a,b,c,x,y,z均为实数 ,且a2 b2 c2 =2 5,x2 y2 z2 =3 6,ax by cz =3 0 .求 a b cx y z的值 .解　由题设条件 ,考虑构造向量 p=(6a,6b) ,q=(5x,5y) .由 (p.q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 90 0 (ax by) 2 ≤ 90 0 (a2 b2 ) (x2 y2 ) ,即　 (3 0 - cz) 2 ≤ (2 5- c2 ) (3 6- z2 ) ,变形整理得　 (5z - 6c) 2≤ 0 ,∴　 5z =6c.同理　 5x =6a,　 5y =6b.∴…     

GF(p)上B_n的次数

行列式 B_n=∑±b_(i_1)~(m_1)b_(i_2)~(m_2)…b_(i_n)~(m_n)中各项含因子 b 的个数的最大值称为 B_n 的次数,其中,1≤t_k≤n,m_f≥0,b_(i_k)∈GF(p).当 p=2时,这是0-1矩阵的行列式,文[3]已有结果.本文在任意 p 的情形下给出 B_n 的次数 L(n)的公式:对任意正整数 r,当 n_r≤n≤n_(r+1)时,L(n)=r,其中,n_r=(r_0+1)(p~(q+1)-1)/(p-1)-(1+qp~(q+1),q=[r/(p-1)],r=q(p-1)+r_0。     

一类上三角矩阵环$W_{n}(p, q)$的斜Armendariz性质

设α是环R的一个自同态,称环R是α-斜Armendariz环,如果在R[x;α]中,(∑_(i=0)~ma_ix~i)(∑_(j=0)~nb_jx~j)=0,那么a_ia~i(b_j)=0,其中0≤i≤m,0≤j≤n.设R是α-rigid环,则R上的上三角矩阵环的子环W_n(p,q)是α~—-斜Armendariz环.     

二次指派问题的一个新的限界方法

二次指派问题(QAP)的数学模型是:min{z(x)=sum from i=1 to n sum from =1 to n a_(ip)x_(ip)+sum from i=1 to n sum from p=1 to n sum from j=1 to n sum from q=1 to n c_(ipjq)x_(ip)x_(jq)|x∈},(1)这里∈(n~2维布尔集)是满足如下约束的集合:sum from i=1 to n x_(ip)=1,1≤p≤n,(2)sum from p=1 to n x_(ip)=1,1≤i≤n,(3)x_(ip)=0,1,1≤i,p≤n.(4)因为 x_(ip)~2=x_(ip)并且有约束(2)和(3),我们可以约定 c_(ipjq)=0,当 i=j 或 p=q.如果所有二次项的系数都可以写成     

On the diophantine equation x 2 − Dy 2 = n

We propose a method to determine the solvability of the diophantine equation x2-Dy2=n for the following two cases:(1) D = pq,where p,q ≡ 1 mod 4 are distinct primes with(q/p)=1 and(p/q)4(q/p)4=-1.(2) D=2p1p2 ··· pm,where pi ≡ 1 mod 8,1≤i≤m are distinct primes and D=r2+s2 with r,s ≡±3 mod 8.     

调和级数的增减性问题——Adamouic—Toskovic问题的彻底解决

一、引言本世纪中叶,Lucic和Djokovic给出不等式:设 Su(p,q)=1/pn 1 1/pu 2 … 1/qn 1/qn 1 (其中n,p,q∈N,p相似文献   

Sn+1(1)中的极小超曲面的等谱问题

设M为Sn 1(1)中紧致极小超面Mn1,n2= Sn1nn1×Sn2nn2 Sn 1(1)为Sn 1(1)中的Clifford极小超曲面如果Specp( M) =specp( Mn1,n2) ,Specq( M) =specq( Mn1,n2) ,其中0≤p 相似文献   

关于杨重骏之猜想

在文[1]中,杨重骏提出了下述两个猜想 猜想1 设p,q为两个非线性的多项式,若p=O q=0,p(z)=1 q’(z)=1, 则p≡q. 猜想2 设f,g为二超越整函数,且 f=0 g=0与 f=1 g=1.若f g,则必有fg≡1,且f≡e~x(z),共中x(z)为一非常数的整函数. 我们认为,猜想1和猜想2都不成立. 我们先来证明猜想1不成立.     

关于多项式的一条猜想

设C是常数,p(z)与q(z)为多项式,若p(a)=C也使q(a)=C,则记为p9或qp.[1]提出如下猜想: 设p,q为次数大于1的多项式,若p=0q=0 且 p′=1q′=1,则p=q,其中p′为p的导数。     

关于一个素数和一个素数的k次方和问题

设k≥2,Hk表示一个正整数n的集合,使对任意的正整数q,同余方程a+b2三n(modq)在模q的既约剩余系中有解a,b.Dk(N)表示n≤N,n∈Hk,但不能表成p1+p22=n的数的个数,其中p1,p2表示素数.则在GRH下,Dk(N)<<N1-1/k(h(k)+1)+ε,这里k=2,3;h(2)=2,h(3)=8.     

一个分数阶微分方程四点边值问题正解的存在性

本文研究下面的分数阶微分方程四点边值问题Dα0+u(t)+f(t,u(t))=0,0相似文献   

关于Littlewood的一个问题

本文证明了: (1)如果{a_n}_n~N=1是非负不减序列,p>0,q>0,0≤r≤1,且p(q+r)≥q+p,则sum from n=1 to N(a_n~pA_n~q)(sum from m=n to N(a_n~(1+p/q)~r≤1·sum from n=1 to N(a_n~pA_n~q)~(1+p/q),其中A_n=sum from m=n to n (a_m).上述不等式在0≤r≤1时完全解决了H.Alzer~([4])在1996年提出的一个问题,且1是最佳常数; (2)如果{a_n}_n~N=1是非负序列,p,p≥1,r>0,r(p-1)≤2(q-1),令α=((p-1)(q+r)+p~2+1)/(p+1) β=(2p+2r+p-1)/(q+1),σ=(q+r-1)/(p+q+r)则sum from n=1 to N (a_n~p)sum from i=1 to n (a_i~qA_i~r)≤2~σsum from n=1 to N(a_n~αA_n~β)(0.2)(0.2)式改进了G.Be(?)et~([2,3])在1987年对Littlewood一个问题的结果,常数因子的3/2降为2~(3/2)=1.2598…     

上期基础训练题答案或提示

提示:(5)总数是C(1/3) C(2/3) C(3/3)=7;故选A。(6) 设任一x-12m 8n,p=3m 2n,q=-(3m 2n),则x=12m 8n=4(3m 2n)=20(3m 2n)-16(3m 2n)=20p 16q,故x∈B,从而AB,同理可证BA,故A=B.选C。     

教材中一些不等式的向量证法

教材中某些含有乘积之和或者乘方之和的不等式 ,可根据向量数量积的坐标表达式的结构特征构造向量证明 ,下面试举几例 ,供同学们学习时参考 .例 1　如果a ,b∈R ,求证 :a2 +b2 ≥ 2ab(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .证明　构造向量 p =(a ,b) ,q =(b ,a)由 p·q≤ |p||q|有2ab≤a2 +b2 .当且仅当 p ,q同向时 ,取“ =”号 .注意到 |p|=|q|,由 p ,q同向有p =q ,即　a =b .故当且仅当a =b时 ,取“ =”号 .例 2　求证 :a +b22 ≤ a2 +b22 .证明　构造向量p =12 ,12 ,q =(a ,b) ,由 ( p ,q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有　 a +b22 ≤a2 +b22 .例 3　已知a …     

Cn中多圆柱上广义Bloch空间的点乘子

讨论了Cn(n>1)中多圆柱上广义Bloch空间βp上的点乘子,根据p、q的不同情况得到βp空间到βq空间所有的点乘子,得到(1)当p<1时M(βp)=βp;(2)当p≥1时M(βp)=c;(3)当p>q时M(βp,βq)={0};(4)当p<q<1时M(βp,βq)=βq;(5)当p<1≤q时M(βp,βq)=Jp,q∩βq;(6)当1≤p<q时M(βp,βq)=c.     

2004年高考数学模拟训练试题

选择题　本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求 .1.设集合M ={x|x =4k± 1,k∈Z} ,N ={x|x =2k +1,k∈Z} ,其中Z表示整数集 ,则下列各项错误的是 (　　 )(A)M∪ (CZN) =Z .　 (B) (CZM )∩N = .(C)M =N . (D)M∪N =Z .2 .已知a ,b是两个单位向量 ,下列命题中错误的是 (　　 )(A) |a|=|b|.(B)a·b =1.(C)a与b方向相反时 ,a +b =0 .(D)a与b方向相同时 ,a =b .3.设命题 p :3≤ 4 ,q :5 6∈ [6 5 ,+∞ ) ,则三个复合命题 :“p且q” ,“p或q” ,“非 p”中 ,真命题的个数为 (　　 …