一类线性errors－in－variables模型的参数强相合估计及其a．s．收敛速度

本文讨论了如下一类线性ｅｒｒｏｒｓ－ｉｎ－ｖａｒｉａｂｌｅｓ模型——多元线性结构关系模型β′ｘｋ＋α＝０，ξｋ＝ｘｋ＋εｋ．｛ｋ＝１，２，…，ｎ．其中，｛ｘｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝为一组ｉ．ｉ．ｄ．的ｍ维随机向量，｛εｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝是ｉ．ｉ．ｄ．的随机误差，Ｅ（ε１）＝０，Ｖａｒ（ε１）＝σ２Ｉｍ．且｛ｘｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝与｛εｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝相互独立．在一些条件下，我们证明了估计量β，α，σ２的强相合性、唯一性，并给出了估计量的收敛速度为ｏ（ｎ－１－１ｑ），这里ｑ∈［１，２）．对于Ｅ（ｘ１）ｕ１和Ｖａｒ（ｘ１）Ｖｘ的估计也得出了同样的结果     

贪婪t－相交有限序列族

设Ｆ为有限序列族，对ａ＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ）∈Ｆ，ａｉ为整数且０≤ａｉ≤ｓｉ（整数），记ｓ（ａ）＝｛ｊ｜１≤ｊ≤ｎ，ａｊ＞０｝，ｓ（Ｆ）＝｛ｓ（ａ）｜ａ∈Ｆ｝，及Ａ｛１，２，…，ｎ｝时Ｗ（Ａ）＝Пｉ∈Ａｓｉ．称Ｆ为贪婪ｔ－相交，如对任何ａ，ｂ∈Ｆ，至少有ｔ个ａｉ，ｂｉ＞０，且Ｗ（Ａ）≥Ｗ（（｛１，２，…，ｎ｝－Ａ）＋Ｂ）对任何Ａ∈Ｓ（Ｆ）及ＢＡ（｜Ｂ｜＝ｔ－１）成立．本文得到当ｓ１＞ｓ２＞…＞ｓｎ时的最大贪婪ｔ－相交有限序列族．     

大次和1—坚韧图中的最长圈

给一个图Ｇ，定义σ３（Ｇ）＝ｍｉｎ｛Σ＾３ｉ＝１ｄ（ｖｉ）│｛ｖ１，ｖ２，ｖ３｝｝是Ｇ的无关集｝，ｐ３（Ｇ）＝ｍｉｎ｛│Ｕ＾３ｉ＝１Ｎ（ｖｉ）‖｛ｖ１，ｖ２，ｖ３｝是Ｇ中使│ｎ＾３ｉ＝１Ｎ（ｖｉ）│≠０｝的无关集｝。本文证明了：设Ｇ是ｎ阶１－坚韧图，如果σ３（Ｇ）≥ｎ，则Ｇ包含长度至少为ｍｉｎ｛ｎ，２ｐ３（Ｇ）＋４｝的圈，为个结果推广了若干已知结果，也解决了Ｂｒｏｅｒｓｍａ－Ｈｅｕｖｅｌ－Ｖｅｌｄ     

NA样本下部分线性模型中估计的强相合性

考虑回归模型：ｙｉ＝ｘｉβ＋ｇ（ｔｉ）＋σｉｅｉ，１＜ｉ＜ｎ，其中σ_ｉ～２＝ｆ（ｕｉ），（ｘｉ，ｔｉ，ｕｉ）是固定非随机设计点列，ｆ（·）和ｇ（·）是未知函数，β是待估参数，误差｛ｅｉ｝为ＮＡ变量．我们对β的最小二乘估计βｎ和加权最小二乘估计Ｂｎ，在适当的条件下得到了它们的强相合性．     

部分线性模型中估计的收敛速度

考虑回归模型（Ⅰ）：其中（ｘ＿ｉ，ｔ＿ｉ）是固定非随机设计点列，ｘ＿ｉ＝（ｘ＿（ｉｌ），…，ｘ＿（ｉｐ））＇β＝（β＿１，…，β＿ｐ）＇（ｐ＞１），ｇ是定义在［０，１］上的未知函数，β是未知待估参数，０＜ｔ＿ｉ＜１，ｅ＿ｉ是ｉ．ｉ．ｄ．随机误差，且Ｅｅ＿ｉ＝０，Ｅｅ＝σ￣２＜∞。基于ｇ的估计取一类非参数权估计（包括常见的核估计和近邻估计），我们讨论了β的最小二乘估计及ｇ的估计的最优强弱收敛速度。     

向量自激门限自回归（VSETAR）序列的遍历性

本文主要考虑二维自激门限自回归模型：Ｘ（ｔ）＝Ｉ［Ｘ（ｔ－１）∈Ｒｉ］ＡｉＸ（ｔ－１）＋ε（ｔ），其中Ａｉ（ｉ＝１，２，３，４）为２×２系数矩阵，｛ε（ｔ）｝为二维ｉ．ｉ．ｄ序列。我们得到｛Ｘ（ｔ）｝为遍历的四个充分条件。     

完全与截尾样本时半参数回归模型估计的强相合性

对于固定设计下的半参数回归模型：ｙ_ｉ=ｘｉβ＋ｇ（ｔｉ）＋ｅｉ,ｉ＝１,…,ｎ．其中｛ｅｉ｝为独立随机误差序列（不必同分布）,且Ｅｅｉ＝０,Ｅｅｉ２＝σ_ｉ~２＞０．对完全和截尾样本,仿文献［２］给出了β、ｇ（·）的估计量,并证明了他们的强相合性．     

改进的R.Nevanlinna第二基本定理

设ｆ（ｚ）是超越亚纯函数，ｎ为任一非负整数，ε为任意正数，ａ＾（ｉ）ｒ＝（ｖ＝１，２，…，ｑｉ，ｉ＝０，１，…，ｎ）均为有穷非零复数，满足ｍｉｎ／１≤ｖ１＜ｖ２≤ｑｉ｜ａ＾（ｉ）ｖ１－ａ＾（ｉ）ｖ２｜≥δ＞０，ｉ＝０，１，…，ｎ。若ｆ（０）≠０，∞，П＾ｎｉ＝１ｆ（ｉ）（０）≠０，则对０＜ｒ＜＋∞有ｍ（ｒ，ｆ）＋ｍ（ｒ，１／ｆ）＋Σ＾ｕｉ＝０Σ＾ｑｉｒ＝１ｍ（ｒ，ａ＾（ｉ）ｖ，ｆ＾（ｉ）≤（２＋ε     

ERDS-RE''''NYI大数律下自正则的效用

｛Ｘ，Ｘｉ，ｉ≥１｝是ｉ．ｉ．ｄ．ｒ．ｖ′．ｓ．在矩母函数存在的条件下，由古典的Ｅｒｄｏｓ－Ｒéｎｙｉ大数律有ｌｉｍｎ→∞ｍａｘ０≤ｋ≤ｎ∑ｋ＋［ｃｌｏｇｎ］ｉ＝ｋ＋１Ｘｉ［ｃｌｏｇｎ］＝α（ｃ），α（ｃ）为某常数．自正则下ＭｉｋｌóｓＣｓｏｒｇｏ＆ＳｈａｏＱｉｍａｎ（１９９４）在仅要求一阶矩的条件下就得到了：ｌｉｍｎ→∞ｍａｘ０≤ｋ≤ｎ∑ｋ＋［ｃｌｏｇｎ］ｉ＝ｋ＋１Ｘｉ∑ｋ＋［ｃｌｏｇｎ］ｉ＝ｋ＋１（Ｘ２ｉ＋１）＝β（ｃ），β（ｃ）为某常数．众所周知，自正则下人们往往在较弱条件下取得相应结果是因为：分母中的Ｘ能有效抵销分子中Ｘ较大而引起整个分式极限行为的波动．因此，在什么样的条件下，式ｍａｘ０≤ｋ≤ｎ∑ｋ＋［ｃｌｏｇｎ］ｉ＝ｋ＋１Ｘｉ∑ｋ＋［ｃｌｏｇｎ］ｉ＝ｋ＋１Ｘ２ｉ１－β［ｃｌｏｇｎ］β→ｒ（ｃ）成为非常有意思的问题，因为它将依赖于β的大小．本文给出，当０＜β≤１２时，只要Ｅ（Ｘ）≥０，上式就有有限极限．当１２＜β＜１时，则必须在矩母函数存在下，上式才有有限极限．并都求出了其极限表达式．     

子集的交叉t－相交定理

设Ｘ为一个ｎ元集合，Ｃｎｋ为Ｘ的所有ｋ元子集全体，若Ａ∈Ａ，Ｂ∈Ｂ有｜Ａ∩Ｂ｜≥ｔ，则称（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族．本文得到最大交叉ｔ－相交子集族和最大非空交叉２－相交子集族．证明如下两个结论．（１）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族，且ａ≤ｂ及ａ＋ｂ≤ｎ＋ｔ－１，则｜Ａ＋Ｂ｜≤ｍａｘ｛（ｂｎ），（ａｎ）｝，且当（Ａ；Ｂ）＝（φ，Ｃｎｂ）或（Ｃｎａ，φ）时达到上界．（２）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉２－相交子集族，且ａ＜ｂ，ａ＋ｂ≤ｎ－１及（ｎ，ａ，ｂ）≠（２ｉ，ｉ－１，ｉ）（ｉ为任意正整数），又Ａ，Ｂ均非空，则｜Ａ＋Ｂ｜≤１＋（ｂｎ）－（ｂ（ｎ－ａ））－ａ（（ｂ－１）（ｎ－ａ））且当（Ａ，Ｂ）＝（｛Ａ｝，Ｃｎｂ－｛Ｂ｜｜Ｂ｜＝ｂ，｜Ａ∩Ｂ｜≤１｝）时达到上界．     

一个新颖不等式的加强

本刊“数学问题解答”栏第１１２９题给出了函数组ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ的新颖不等式ｍａｘ１≤ｉ≤ｎ｛ｘｉ｝（ｘ１＋２ｘ２＋…＋ｎｘｎ）≥１２（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）２（１）本文给出式（１）的一个加强,得到定理　设０≤ｄ≤２,ｘｉ＞０,１≤ｉ≤ｎ,则ｍａｘ１≤ｉ≤ｎ｛ｘｉ｝（ｘ１＋（１＋ｄ）ｘ２＋…＋（１＋（ｎ－１）ｄ）ｘｎ）≥（ｎ－１）ｄ＋２２ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）２（２）等号成立当仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ．证　视（２）式左边减去右边所得的差为ｄ的函数,记作ｇ（ｄ）;显见ｇ（ｄ）是一个线性函数;…     

代数综合测试题

一、选择题１．设集合Ｍ＝｛ｘ｜２２－ｘ≥１｝,集合Ｎ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３＜０｝,集合Ｍ∩Ｎ＝（）（Ａ）｛ｘ｜０≤ｘ＜１｝（Ｂ）｛ｘ｜０≤ｘ＜２｝（Ｃ）｛ｘ｜０≤ｘ≤１｝（Ｄ）｛ｘ｜０≤ｘ≤２｝２．已知函数ｆ（ｘ）＝２ｘ,则函数ｙ＝｜ｆ－１（ｘ－１...     

截断和的弱大数律

投｛Ｘｎ，ｎ≥１｝ｉ．ｉ．ｄ．，Ｘｎ，１≤Ｘｎ，２≤…≤Ｘｎ，ｎ是Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ的次序统计量．对非负整数ｋ，ｒ，ｋ＋ｒ≤ｎ，令．本文研究当ｋ＝ｋｎ，ｒ＝ｒｎ满足ｍｉｎ（ｋ，ｒ）→∞，ｍａｘ（ｋ，ｒ）→０时截断和Ｓｎ（ｋ，ｒ）的弱大数律．设βｎ＞０，Ｃｎ∈Ｒ，文中给出了依概率收敛的充要条件．     

半参数回归估计的相合条件

设有半参数回归模型ｙｉ＝ｘ’，β＋ｆ（ｔｉ）＋ｅｉ，ｉ＝１，．．．ｎ，其中｛ｔｉ｝为常数列，本文对｛ｘｉ｝为设计点列的情形，给出了β、ｆ（ｔ）有相合估计的条件；在｛ｘｉ｝为随机的情形，建立了ｆ（ｔ）估计的相合性。     

强相关平稳Gauss过程高水平穿过和最大值的弱收敛

设｛ξ（ｔ），ｔ≥０｝是强相关不可微Ｇａｕｓ过程，即其相关函数Ｒ（ｔ）满足：Ｒ（ｔ）ｌｏｇｔ→γ＞０（ｔ→∞）和Ｒ（ｔ）＝１－Ｃ｜ｔ｜^α＋ｏ（｜ｔ｜^α）（ｔ→０），且０＜α≤２，Ｃ＞０．本文建立了｛ξ（ｔ），ｔ≥０｝对一个和多个高水平的ε-上穿点过程的极限定理，并给出了最大值的极限分布和局部ε-最大值的联合渐近分布．     

一类n阶拟线性奇异摄动边值问题的一致有效渐近展开

本文研究一类ｎ阶拟线性奇异摄动边值问题：εｙ（ｎ）＝ｆ（ｔ，ε，ｙ，…，ｙ（ｎ－２）ｙ（ｎ－１）＋ｇ（ｔ，ε，ｙ，…，ｙ（ｎ－２），ｐｊ（ε）ｙ（ｊ）（０，ε）－ｑｊ（ε）ｙ（ｊ＋１）（０，ε）＝αｊ（ε）（０≤ｊ≤ｎ－２），ｂ１（ε）ｙ（ｎ－２）（１，ε）＋ｂ２（ε）ｙ（ｎ－１）（１，ε）＝β（ε），其中ε＞０为小参数．在较一般的条件之下，应用Ｂａｎａｃｈ／Ｐｉｃａｒｄ不动点定理证明了摄动解的存在性及局部唯一性，并给出了摄动解直到ｎ阶导函数的一致有效渐近展开式，推广和改进了已有的结果［１－５］．     

空间R~m上分布的中性卷积

取定具下述性质的函数ｒ（ｘ）∈Ｃ∞（Ｒ）：（ｉ），τ（ｘ）＝τ（－ｘ），（ｉｉ）０≤τ（ｘ）≤１，（ｉｉｉ）τ（ｘ）＝１，当｜ｘ｜≤１／２，（ｉｖ）τ（ｘ）＝０，当｜ｘ｜≥１．单位序列｛τｎ（ｘ）｝，ｘ∈Ｒｍ和ｎ∈Ｉｍ，定义作τｍ（ｘ）＝τ（ｘ１／ｎ１）…τ（ｘｍ／ｎｍ），ｎ１，…，ｎｍ＝１，２，…．空间Ｄ’（Ｒｍ）中分布ｆ和ｇ的中性卷积ｆｇ定义作序列｛ｆｎ＊ｇ｝的极限，其中ｆｎ＝ｆ·τｎ．作者给出了一些新的卷积．     

污染数据半参数回归模型估计的渐近正态性

考虑半参数回归模型：ｙｉ＝ ｘｉβ＋ ｇ（ｔｉ）＋ ｅｉ,ｉ＝ １,２,…,ｎ．其中 Ｅｅｉ＝ ０, Ｅｅ２ｉ＝ σ２１ ＞ ０．假定ｙ１,ｙ２,…,ｙｎ 受到另一独立同分布随机变量序列 μ１,μ２,…,μｎ 的污染,｛μｉ｝与｛ｙｉ｝独立,且仅能观察到污染数据．文［１］对由污染数据作出的参数 β的估计 βｎ,证明了它的强相合性,而本文则证明了它的渐近正态性     

一个部份自回归模型的渐近有效性

本文考虑部分自回归模型Ｘｔ＝ｘｔ－１β＋ｇ（Ｕｔ）＋εｔ，ｔ≥１。这里ｇ是一未知函数，β是和待估参数，εｊ是具有０均值和方差σ＾２的ｉ．ｉ．ｄ．误差，Ｕｔｉ．ｉ．ｄ．服从［０，１］上均匀分布。     

星形函数族的一个子族的极值点与支撑点

设Ｆ（｛ｎ｝）＝｛ｆ（ｚ）：ｆ（ｚ）在｜ｚ｜＜１内解析，ｆ（ｚ）＝ｚ－∞ｎ＝１ａｎｚｎ，ａｎ≥０，＋∞ｎ＝２ｎａｎ≤１｝，则Ｆ（｛ｎ｝）是星形函数族的一个子族．许多学者研究了这个函数族．设Ｍ＝｛ｆ（ｚ）：ｆ（ｚ）在｜ｚ｜＜１内解析，ｆ（ｚ）＝ｚ－∞ｎ＝１ａｎｚｎ，ａｎ≥ａｎ＋１≥０，＋∞ｎ＝２ｎａｎ≤１｝．在本文中我们找出了函数族Ｍ的极值点与支撑点．