求0~0型极限在弱条件下的简便方法

利用洛必达法则与等价无穷小代换对抽象函数的00型极限可得结论:设当x→x0时f(x)与g(x)为无穷小,g(x)～(x-x0)β,取k为正实数,使得fk(x)=A(x-x0)α+o[(x-x0)α],其中A0,α≥2,β0为实数,则有limx→x0f(x)g(x)=1.该方法对求常见的00型极限都适用.当使用洛必达法则求li mx→x0f(x)g(x)很复杂时,使用该方法可简化计算.     

关于L′Hospital法则的一个注记

在微积分这门课程当中 ,常常碰到求 00 型、∞∞ 型的极限问题 ,解决这类问题的一种简单而有效的方法是 L′Hospital法则。过去 ,在不少有关的书籍中 [1,2 ,3] ,∞∞ 的 L′Hospital法则的表述是 :若 (1 )函数 f (x)和 g(x)在 (a,a δ)有定义 (δ>0 ) ,limx→ a 0 f (x) =∞ ,limx→ a 0 g(x) =∞(2 ) f(x)和 g(x)在 (a,a δ)都可导 ,g′(x)≠ 0 ,并且 limx→ a 0f′(x)g′(x) =A　 (包括 A=∞的情形 )则limx→ a 0f (x)g(x) =limx→ a 0f′(x)g′(x) =A　　最近 ,我们在 [4,5,6 ]中看到 ,去掉条件 (1 )中的 limx→ a 0 f (x) =∞…     

从一道用洛必达法则求极限的题目谈起

同济大学应用数学系编《高等数学习题集》 (高等教育出版社 ,1 998年第 3版 ) 3 .2 .2 3题 ,求A =limx→ 0sin2 x -x2 cosxx2 sin2 x (1 )　　 (1 )为 00 型不定式 ,连续 4次使用洛必达法则得A =limx→ 0sin2 x -2 xcosx x2 sinx2 xsin2 x x2 sin2 x =(2 )limx→ 02 cos2 x -2 cosx 4xsinx x2 cosx2 sin2 x 4xsin2 x 2 x2 cos2 x =(3 )limx→ 0-4 sin2 x 6sinx 6xcosx -x2 sinx6sin2 x 1 2 xcos2 x -4 x2 sin2 x =(4)limx→ 0-8cos2 x 1 2 cosx -8xsinx -x2 cosx2 4cos2 x -3 2 xsin2 x -8x2 cos2 x =16其计算繁杂且易…     

考点40 函数的极限与连续

1.(辽宁卷,2)极限limx→x0f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的().(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件2.(广东卷,3)limx→-3x+3x2-9=().(A)-16(B)0(C)61(D)313.(全国卷,5)limx→1(x2-31x+2-2x2-4x+3)=().(A)-21(B)21(C)-61(D)614.(湖北卷,8)若limx→1(1-a x-1-b x2)=1,则常数a,b的值为().(A)a=-2,b=4(B)a=2,b=-4(C)a=-2,b=-4(D)a=2,b=45.(江西卷,8)若limx→1f(x-1)x-1=1,则limx→1x-1f(2-2x)=().(A)-1(B)1(C)-21(D)21考点40函数的极限与连续1.f(x)在x=x0处连续,必有limx→x0f(x)存在,…     

函数单调性在证明不等式中的应用

利用函数的某些性质解决不等式的证明问题 ,在高等数学中是经常使用的方法 ,本文结合实例 ,利用函数的单调性来处理不等式的证明问题 .例 1　当 0 f (x) >limx→ π2 - 0f (x) ,而 limx→ 0 f (x) =1 ,limx→ π2 - 0f (x) =2π ,故 1 >sinxx >2π.例 2　当 x>0时 ,证明 :x -x22 相似文献   

一道高等数学竞赛题的一题多解

陕西省第四次高等数学竞赛 (初赛 ) ( 2 0 0 1年 9月 )有这样一道选择题 :已知limx→ 0x2 f ( x) +cosx-1x4 =0 ,则limx→ 02 f ( x) -12 x2 =(　　 )( A) 0　　 ( B) -12 4　　 ( C)不存在　　 ( D) 11 2下面给出这道题的三种解法 ,希望对读者能有所启发。解 1　选 ( B)。由cosx=1 -12 x2 +x44!+0 ( x4 )得0 =limx→ 0x2 f ( x) +cosx -1x4 =limx→ 0x2 f ( x) -12 x2 +x44!+0 ( x4 )x4 =limx→ 0 (f ( x) -12x2 +14 !+0 ( x4 )x4 ) =limx→ 0f ( x) -12x2 +12 4所以　　　　　　　 limx→ 02 f ( x) -12 x2 =-12 4评注　利用 cosx的带 …     

一道课本例题的探究

人民教育出版社出版的高中数学第三册 (选修Ⅱ )《函数的极限》一节有这样一道例题 :limx→ 1x2 - 1x - 1=2 .此例很好地说明了函数f(x) 在点x =x0 处的极限是a ,仅与函数f(x) 在点x0 附近的函数值的变化有关而与函数f(x) 在点x0 的值无关 .笔者认为 ,它不仅对此类不连续函数求     

等价无穷小代换在求极限过程中的应用

等价无穷小代换是一种很灵活的求极限方法。如果用来替换的无穷小选择恰当的话 ,可以使计算简化。但替换中要严格遵守无穷小替换法则 ,即定理 1　在自变量同一变化过程中 ,设 α～ α′,β～ β′,且 limβ′α′存在 ,则 lim βα=limβ′α′证明见 [1 ]。定理 1说明 ,无穷小替换只能在积商运算中使用。其实不然 ,等价无穷小代换也能在多项式无穷小之比时使用。例 1　求 limx→ 0x-sin2 xx+sin2 x解　原式 =limx→ 0x-2 xx+2 x=-13例 2　求 limx→ 0tanx-sinxx3解　原式 =limx→ 0x-xx3=0例 1正确 ,但例 2错误。事实上 ,limx→ 0tanx -sin…     

试证广义积分的一组命题

探讨无穷积分收敛时被积函数极限为零的条件.对于[a, ∞)上的连续函数,若 ∫∞af(x)dx收敛,则limx→ ∞f(x)=0的充分必要条件是f(x)在[a, ∞)上一致连续.     

三个极限公式的注记

设limx-x0f（x）=0,ak〉0,k=1,2,…,n.则三个极限公式limx→0∑k=1^nak^f（x）-n/f（x）=1n（∏k=1^nak）,limx→x-x0[∑k=1^nak^f（x）-（n-x）]^1/f（x）=∏k=1^nak和limx→x0（1/n∑k=1^nak^f（x））^1/f（x）-^n√∏ k=1^nak中的无穷小量f（x）均可用其等价无穷小fk（x）（k=1，2,…，n）代替，以扩大公式的使用范围．实例说明推广后极限公式的一些应用．     

偶函数的一个性质

1性质的引入我们知道奇函数f(x)如果在x=0处有定义,那么就有f(0)=0.其实偶函数也有一个对偶形式的性质:若偶函数f(x)在x=0处有定义且可导,则f′(0)=0.2性质的证明因为偶函数f(x)在x=0处可导,所以limx→0 f(x)-f(0)x=limx→0-f(x)-f(0)x.又∵f(x)=f(-x),x→0-即-x→0 ,∴lim-x→     

∫f(x)dx(x∈(a, ∞))收敛与limf(x)=0(x→ ∞)

讨论了当广义积分∫ ∞a f (x) dx收敛时 ,极限 limx→ ∞ f (x) =0的各种条件 .     

跳跃非线性项依赖于导数的二阶微分方程周期解的存在性

本文研究二阶微分方程x"+ax+-bx-+f(x)g(x')=p(t)周期解的存在性,这里x+=max{x,0},x-=max{-x,0},a,b是正常数并且点(a,b)位于某一条Fucik谱曲线上.当g(x)的极限limx→∞(x)=g(+∞),limx→∞g(x)=g(-∞)和f(x)的极限limx→∞f(z)=f(+∞),limx→∞f(z)=f(-∞)都存在且有限时,给出了此方程存在周期解的充分条件.     

方程ax=x根的再讨论

文 [1]、[2 ]就方程 ax =x根的分布情况作了讨论 ,但很繁琐又不清晰 ,实际上 ,只要讨论函数 y =x1 x 的性质 ,方程 ax =x根的分布就显得十分清楚了 ,为此 ,特介绍如下方法 .定理　函数 f(x) =x1 x(x >0 ) ,(1)在 x =e处 ,f (x)取最大值 e1 e;(2 ) 0 e时 ,f(x)递减 ;(3) limx→ ∞f(x) =1,limx→ 0 f(x) =0 .证明　设 g(x) =ln xx =ln f(x)(x >0 ) ,在点 (e,1)处 ,y =ln x的切线 :y - 1=1e(x - e)过原点 ,取 P1 (x1 ,ln x1 )、P2 (x2 ,ln x2 ) ,其中 x2 >x1 >0 ,直线 OP1 、OP2的倾角分别为α1 、α2 ,如 e相似文献   

二重极限的一致收敛性判别法

本文将复杂的二元函数的极限问题转化为较简单的一元函数极限是否一致收敛的问题考察之。定理　设 f( x,y)在 ( 0 ,0 )点的某去心邻域内有定义 ,则 limx→ 0y→ 0f ( x,y) =A的充分必要条件是 :当r趋于 0时 ,f ( rcost,rsint)在 [0 ,2π]上一致收敛于常数 A。证明　必要性　由 limx→ 0y→ 0f( x,y) =A,知对任意 ε>0 ,存在 δ>0 ,当 0 相似文献   

西安建筑科技大学·高等数学期末试题(2005.1.3)

一、填空与单项选择题(每小题3分,共30分)1.已知当x→0时,无穷小1-cosx与asin2x2等价,则a=2.limx∞x-sinxx+sinx=3.12∫-12cosxln1+x1-xdx4.设f(x)的一个原函数是sinx,则xf∫′(x)dx=5.曲线y=e-x+2x上与直线x-y+2=0平行的切线方程是6.函数y=∫x0t(t-1)dt的极小值是()(A)0(B)-16(C)16(D)567.若连续曲线y=1f(x)与y=f2(x)在[a,b]上关于x轴对称,则b∫af1(x)dx+b∫af2(x)dx的值为()(A)2∫baf1(x)dx(B)2∫ba2f(x)dx(C)0(D)2∫ba[f(x)-f2(x)]dx8.设y=exsinx,则dy=()dex(A)sinx-cosx(B)sinx+cosx(C)ex(sinx-cos(x)D)ex(sinx+cosx)9.下列函数中(…     

电子科技大学高等数学期末试题(附答案)

(2 0 0 2 .6 )一、填空题 ( 1 0分 ,每小题 2分 )1 . limx→ 0 ( 1 +3 x) 2sinx =　　 [e6 ]　　 .　　 2 .设 y =x +lnx,则 dxdy=　　 [xx +1 ]　　 .3 .设 f ( x)可导 ,y =f ( ex) ,则 y′=　　 [f′( ex) ex]　　 .4.∫1- 1x|x|dx =　　 [0 ]　　 .　　 5.∫π20 sin5xdx =　　 [c]　　 .二、选择题 ( 1 5分 ,每小题 3分 )1 .设 f ( x) =1 -2 e1x1 +e1x,则 x =0是 f ( x)的 ( B) .( A)可去间断点 ;( B)跳跃间断点 ;( C)无穷间断点 ;( D)振荡间断点 .2 .设 f ( x)在 x =a处可导 ,则 limx→ 0f ( a +h) -f ( a -h)h =( B) .( A) f′( a)…     

关于函数及其导数相互关系的几个结论

讨论由f(x)和f^(n 1)(x)的性质来决定f‘(x),f‘‘(x)……f(n)(x)的相应性质,得到几个结论璧如：设f（x)在区间(a, ∞)有直到(n 1)阶的导数,那么当limx→ ∞f(x)=0且limx→ ∞f^(n 1)(x)=0时,必有limx→ ∞f(x)=0……limx→ ∞f^(n)(x)=0     

剖析命题修正结论完善简解

文[1]给出了如下命题:命题如果x＞0时,f(x),g(x)连续可导,且limx→0f(x)=limx→0g(x),则当x≥0(或x＞0)时,若f(x)≥g(x)恒成立,那么f′(x)≥g′(x)恒成立.并利用该命题简解了一类高考压轴题:“对(A)x≥0,f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立,其中f(x)或g(x)含参数a,试确定参数a的取值范围.”简解的思路是:对(A)x≥0,只要对f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)两边取导数,再从f′(x)≥g′(x)或f′(x)≤g'(x)中分离出参数a,转化为最值问题.     

两函数之比极限存在时确定常数的一种方法

处理这一类题型的基本方法之一是洛必达法则与下述引理.引理 设(?)f(x)/g(x)=l(有限数),(i)若分母g(x)→0,则分子f(x)→0;(ii)若分子f(x)→0,且l≠0时,则分母g(x)→0.证:只证(ii),不妨考虑过程x→a,易知