由x_0x+y_0y=R~2所想到的

我们知道,经过圆的x~2+y~2=R~2上任意一点P(x_0,y_0)的切线方程为:x_0x+y_0y=R~2记住并直接利用这个公式,能加快解题速度,收到事半功倍的效果,它的证明较易,本文从略。下面举一例说明。例:求过点(3,4)且到原点距离为5的直线方程。解;依题意知:所求直线到原点距离为5,因此,此直线可看成是过圆x~2+y~2=25上一点P(3,4)的一条切线,故此直线方程为: 3x+4y=25 细心的同学会发问:如果这点P(x_0,y_0)不在圆上,那么方程:x_0x+y_0y=R~2的几何意义又是什么呢? 下面着重谈谈这个问题: 首先,我们设P(x_0,y_0)在定圆x~2+y~2     

方程x_0x=p(y+y_0)的几何意义

1方程x_0x=P(y+y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)在点P(x_0,y_0)处的切线方程在现行高中数学教材中,利用导数的意义,证明了如下性质:性质1 P(x_0,y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)上一点,则抛物线过点P的切线方程为x_0x= p(y_0+y).     

当M(x_0,y_0)在x轴上时

高中课本《平面解析几何》(甲种本)P74例3的解法欠妥。题目是:已知圆的方程x~2 y~2=r~2,求经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线方程。教科书上的解法可简述为:设所求切线的斜率为k,根据切线垂直于过切点的半径求出k_0,从而得到所求切线方程为xx_0 yy_0=r~2。笔者认为,这种求解过程中忽视了一个特殊的情况,即M(x_0,y_0)是圆上任意一点,既然是任意的,试问,若点M(x_0,y_0)在x轴上时,能设所求切线的斜率吗? 要对一般情况进行讨论,得出一般性结论,就必须对特殊情况加以讨论,这是在解数学题中不能忽视的一个环节。因此,对例3的正确解法应分两个步骤处理: 1 若点M(x_0,y_0)不在x轴和y轴上时,可按教科书上的方法求解。     

关于椭圆、双曲线切线方程的一个结论

<正>题目若点M (x_0,y_0)在圆x²+y2+y²=1上,则过点M的圆的切线方程是____.解(1)当x_0y_0≠0时,设过点M的圆的切线l的斜率为k,因为OM⊥l,所以有k·k_(OM)=-1,又因为k_(OM)=y_0/x_0,x所以x_0/y_0.     

平面曲线上奇异点的性态

本文讨论了平面曲线x=x(t),y=y(t)上奇异点的性态,由此得出若[x~(k)(t_0)]~2+[y~(k)(t_0)]~2=0,k=1,2,…,n-1,而[x~(n)(t_0)]~2+[y~(n)(t_0)]~2≠0,则当n 是奇数时,曲线在点M_0(x_0,y_0)是光滑的,当n 是偶数时,点M_0(x_0,y_0)是曲线上尖点这一结论。     

从两圆的交点弦到等幂线

这是教材上的一道习题: 求经过两条曲线x~2 y~2 3x-y=0①和3x~2 3y~2 2x y=0②交点的直线方程。启蒙阶段,可先解交点,后求直线方程: 由①×3-②,可得7x-4y=0③又由①、②联立解之得:x_1=0,y_1=0;x_2=-4/13,y=-7/13。由此得所求的直线方程:7x-4y=0 ④比较③、④,发现由③到④是条回路,于是回头研究式③为所求的道理;若(x_1、y_1)、(x_2、y_2)是两曲线的交点,则应同时满足①、②两式,从而满足③式。即方程③表示的直线过两曲线的交点,又因这样的直线只有一条,故直线③为所求。     

用伸缩变换动态解决椭圆问题

题目如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2．从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′,求线段PP′中点M的轨迹．解设点M的坐标为(x,y,),点P的坐标为(x_0,y_0),则x=x_0,y=((y_0)/2)．因为P(x_0,y_0)在圆x~2     

关于椭圆内接四边形和三角形的最大面积

(一) 椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(n>b>0)内接四边形的最大面积为2ab。 (一) 内接平行四边形的最大面积为2ab [证明一] 设ABGD是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接平行四边形(图1).由于对角线AC、BD互相平分,即有共同的中点.则以椭圆内定点(非中心)为中点的弦(简称中点弦)是唯一的。(设定点为M(x_0,y_0),则中点弦方程为x_0x/a~2 y_0y/b~2=x_0~2/a~2 y_0~2/b~2).因而,AC,BD相交于椭圆的中心(即为椭圆的两     

我为高考设计题目

题1已知函数y=kx与.y=x~2+2 (x≥0)的图象相交于不同两点A(x_1,y_1), B(x_2,y_2),l_1,l_2分别是y=x~2+2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l_1,l_2与x轴的交点,P为l_1与l_2的交点. (1)求证:直线l_1、y=kx、l_2的斜率成等差数列;     

代换法则的一些应用

众所周知,要求经过一般二次曲线C: Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0上一点p(x_1,y_1)的切线方程,可以应用如下的代换法则: (1) 用x_1x和y_1y分别代换方程中的x~2和y~2:     

转移法求轨迹方程

所谓转移法,就是在给出的问题中若出现二个动点,其中一个动点M(x_1,y_1)在已知曲线C:F(x,y)=0上运动,所要求的轨迹的动点P(x,y)与点M(x_1,y_1)有一定的联系,这种联系可以用某一关系式表示,把关系式代入F(x,y)=0中即可得点P的轨迹方程,此方法谓之为“转移”,即根据P点与M点的联系,利用点M在已知曲线上运动,而将P点转移给M点,从而求得P点的轨迹方程。如:“已知P为圆x~2+y~2=4上一个动点,又点Q的坐标为(4,0),试求线段PQ的中点轨迹方程”。     

二次曲线切线方程的进一步讨论

众所周知: 二次曲线过M(x_0,y_0)的切线方程为:a_(11)x_0x+a_(12)((x_0y+y_0x)+a_(22)y_0y+a_(13)(x+x_0)+a_(23)(y_0+y)+a_(33)=0 (2)若已知(1)的切点,解有关的切线问题,应用(2)是较方便的。 但在许多情况下,需求出不在(1)上的点(x_0,y_0)向(1)作的切线方程。这时切线是否存在?如存在可     

f(x_0,y_0)的几何意义及应用

设曲线L的方程为f(x,y)=Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0,与点P(x_0,y_0)不在曲线L上时,有f(x_0,y_0)=m≠0。本文研究m的几何意义,然后指出其在解题中的应用。 1 f(x,y)=Dx+Ey+F 定理l 设点P(x_0,y_0)到直线L:f(x,y)=0的距离为d,则|f(x_0,y_0)|=d·(D~2+E~2)~(1/2)。此定理的正确性明显,证明从略。     

直线参数方程的应用

设直线l过点P_0(x_0y_0),且它的倾角为a(0≤a<π)则它的参数方程可表为x=x_0+tcosα y=y_0+tsinα(1),其中t为参数,此时t的几何意义表示点P(x_0,y_0)到直线上任意一点P(x,y)的有向线段P_0P的数量。若p点在P_0的上方t取正值;若P点在P_0的下方t取负值;若P与P_0重合t的值为零。直线的参数方程还可以这     

巧求直线方程一例

例题已知抛物线x~2=2py上的不同两点A、B的横坐标恰好是关于x的方程x~2 6x 4q =0(q为常数)的两个实根,求直线AB的方程．解设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则x_1~2=2py_1,x_2~2=2py2．∵A,B的横坐标是方程x~2 6x 4q=0的两个实根,     

有关圆锥曲线的选择题

1.不论a取任何实数,方程x~2+2y~2sina=1所表示的曲线必不是__。 (A)直线;(B)圆;(C)抛物线;(D)双曲线。 2.曲线C与抛物线y~2=4x-3关于直线y=x对称,则C的方程是__。 (A)x~2=4y-3;(B)y=4x~2-3; (C)x=3y~3-3;(D)x=1/4(y~2+3)。 3.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y~2=2x的焦点,P点在抛物线上移动,若|PA|+|PF|取最小值,则点P的坐标是 (A)(0,0);(B)(1/2,1); (C)(1,1);(D)(2,2)。 4.方程y=|1-x~2|~1/2的图象是__。     

中点弦所在的直线方程

已知平面上一点M(x_0,y_0)以及二次曲线C: Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)简记为G(x,y)=0。又方程Ax_o+B(y_0+x_0y)/2+Cy_0+D(x+x_0)/2+E(y+y_0)/2+F=0简记为 G＇_(x_0,y_0)(x,y)=0 (2)显然有① G＇_(x_0,y_0)(x,y)=G＇_(x,y)(x_0,y_0) ② G＇_(x_0,y_0)(x_0,y_0)=G(x_0,y_0)我们有如下众所周知的结论1)当M(x_0,y_0)在曲线(1)上时,方程(2)表     

由一点向圆锥曲线引切线

众所周知,圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0上一点P(x_0,y_0)的切线是f＇=Ax_0x+By_0x+Bx_0+Cy_0+D(x_0+x)+E(y_0+y)+F=0,利用公式f＇=0,可以求得曲线上一点的切线方程。但点P(x_0,y_0)不在曲线f=0上时,过点P所作的切线是用判别式法,方法麻烦。本文欲介绍一个定理,可得求切线的一般简易方法。定理由一点P(x_0,y_0)向非退化圆锥曲线f(x,y)=0所引的切线是 f＇~2-f_0f＇=0 这里f_0=Ax_0~2+2Bx_0y_0+Cy_0~2+2Dx_0     

用解析法解三角题

在三角中,某些问题如我们能充分注意到它们的几何背景,并藉助于解析几何的有关知识,往往可以得到较为简洁的解法。本文列举数例,以资说明。例1 已知 cosa-cosβ=1/2,sina-sinβ=-1/3,求cos(a+β)。解:设x_1=cosa,y_1=sina;x_2=cosβ,y_2=sinβ。则可知点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)在单位圆x~2+y~2=1上。(图一) 又由(y_2-ly_1)/(x_2+x_1)=(sinβ-sina)/(cosβ-cosa)=(1/3)/(-1/2)=-2/3玄j 故直线AB的斜率为-2/3。设直线AB的方程为y=-2/3x+b,将此代入x~2+y~2=1并整理得13x~2-12bx+9(b~3-1)     

一道解析几何试题的来龙去脉

2005年北京春考理科第18题是一道解析几何综合题,我们做一些分析,会有所启示。试题如图1,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a＞0,b≠0),且交抛物线y~2=2px(p＞0)于M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)两点。 (Ⅰ)写出直线l的截距式方程； (Ⅱ)证明：1/y_1 1/y_2=1/b； (Ⅲ)当a=2p时,求∠MON的大小。试题叙述简洁明快,形式新颖。试题第(Ⅱ)问最初来源于对下面习题的改造：习题如图2,设抛物线y=ax~2与直线y=bx c有两个交点,其横坐标分别为x_1,x_2,且a≠0,b≠0,b~2 4ac＞0,x_3是直线y=0与y=bx c