以静窥动 动中求静

我们在解决某些几何题时,可以把某一儿何图形看成是另一图形运动的结果。从这一思想出发,常能获得较为新颖或较好的解法。例1 证明:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接三角形的面积的最大值为3 3~(1/2)ab/4。证:我们把椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1看成是由圆:X~2 Y~2=a~2经均匀压缩变换 x=X y=bY/a 运动而得到的。设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)一是椭圆内接三角形三个顶点,它们在圆X~2 Y~2=α~2上的对应点为A′     

“圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质”再探

文[1]中给出如下定理:定理1椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),A(a,0),直线l与椭圆交于C,D两点,则AC⊥AD(?)直线l过定点((a(a~2-b~2)/(a~2 b~2)),0).笔者受其启发,给出以下几个定理.定理2点P(x_0,y_0)在椭圆b~2x~2 a~2y~2= a~2b~2(a>b>0)上直线l交椭圆于C,D两点(C,D异于P),则:PC⊥PD(?)直线l过定点     

椭圆一些问题的另一种解法

本刊87年第3期刊登了《关于椭圆内接四边形和三角形的最大面积》(以下简称《面积》)一文,作者证明了椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0,以下一般的椭圆均指此)内接四边形、三角形的最大面积分别为2ab、3 3~(1/2)/4 ab.因证明的思路局限于椭圆,故(?)过程显得冗长.若问题改为椭圆     

一类解析几何问题(续)——“圆锥曲线上一定点引出两弦”的有关性质研究综述

3关于椭圆有关问题的综合处理问题设M(x_0,y_0)为椭圆b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2上一定点,MA与MB为椭圆任意两弦,其倾斜角分别为α_1,α_2,试证(1)当tanα_1·tanα_2=t(常数),则直线AB过定点或有定向; (2)当tanα_1+tanα_2=t(常数),则直线AB过定     

相似椭圆的一组性质

文[1],文[2]介绍和研究了相似曲线的概念和判定方法,由文[2]得椭圆(x~2)/(a~2) y~2/b~2=λ~2(0＜λ＜1)与椭圆(x~2)/(a~2) y~2/b~2=1相似(相似比为λ),本文将给出有关椭圆(x~2)/(a~2) y~2/b~2=λ~2(0＜λ＜1)与(x~2)/(a~2) y~2/b~2=1的一组性质．引理1如图1,设点P(aλcosθ,bλsinθ)为椭圆     

从一高考题谈圆锥曲线的一个命题及应用

一九九二年全国高考试题第二十八题是:已知椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于P(x_0,0),证:-(a~2-b~2)/a相似文献   

谈椭圆内接等边或等腰三角形

有两道关于椭圆对称性的应用流行甚广但以偏概全的题: 题一:作椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接正三角形,使其一个顶点是(0,b),求此三角形的边长。(a>b>0) 题二:椭圆4x~2 y~2=4的左顶点为A,求以A为顶点的内接等腰△ABC的最大面积。     

x_1 x_2>0与X_1 x_2<0同时成立

抛物线y~2=2px(p>0)与椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)恒交于两相异点P_1和P_2(如图)。设这两点的横坐标是x_1和x_2,显然x_1、     

二次曲线直径方程新的推导方法

二次曲线平行弦中点的轨迹叫做这二次曲线的直径。关于二次曲线直径方程有传统的推导方法。这种方法是将动弦的参数方程代入二次曲线的方程,得到关于x的二次方程,由根与系数的关系,消去参数,得到二次曲线直径的方程。本文介绍一种新的推导方法,此方法比传统方法有更多的优越性。先从一个简单的例子谈起。求椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1的斜率为k的弦的中点轨迹。设椭圆斜率为k的弦的中点为P(x,y),端点为A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2),于是有方程组     

KOM·KPQ=-b~2/a~2及其应用

性质:若PQ是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的不平行于对称轴的弦,M为PQ的中点,则 K_(OM)·K_(PQ)=-b~2/a~2成立。其中K_(OM)、K_(PQ)分别为OM、PQ的斜率。略证:如图所示。     

椭圆焦半径的性质

椭圆=1(a>b>0)或ρ=ep/(1-cosθ)(P为焦参数,(相似文献   

小议圆锥曲线的另一极坐标方程

在六年制重点中学课本《解析几何》(平面)中,介绍了三种圆锥曲线的统一的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)。这里,谈谈中心在极点(抛物线的顶点在极点)、焦点(右)在极轴上的椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程与应用。 (一) 定理1 中心在极点、右焦点在极轴上的椭圆x~2/a~2+y~2/p~2=1(a>b>0)的极坐标方程为ρ~2=b~2/(1-e~2cosθ)(e为离心率) 证明:将x=ρcosθ、y=ρsinθ代入椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1得b~2ρ~2cos~2θ+a~2ρ~2sin~2θ=a~2b~2, ∴ρ~2=a~2b~2/(b~2cos~2θ+a~2sin~2θ)     

推导椭圆标准方程的几点体会

在推导椭圆的标准方程的教学中,如果教师引导学生探索其中的数量关系,可以得出许多有趣的规律。教材中关于椭圆标准方程推导如下: |MF_1|+|MF_2|=2a((x+c)~2+2)~(1/2)((x-c)~2+y~2)~(1/2)=2a((x-c)~2+y~2)~(1/2)=a~2-cx(*)b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2x~2/a~2+y~2/b~2=1(b~2=a~2-c~2)。从这个推导中我们可以算出下列几个结论。 (一)由(*)式((x-c)~2+y~2)~(1/2)/(a~2/c-x)=c/c     

椭圆和双曲线中两个统一的定值及其应用

本文介绍椭圆和双曲线中几个统一的定值及其应用.定理1如果直线l与离心率为e的双曲线C:x~2/a~2-y~2/b~2=1(或椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0)交于A、B两点,P为线段AB的中点,且l与双曲线C(或椭圆)的对称轴不平行,则k_(OP)·k_(AB)=e~2-1.本文仅证明双曲线中的公式,椭圆中的公式留给读者自证.     

第九章 圆锥曲线

§1 椭圆一、选择题 1.动点M(x,y)到定点,F_1(-4,0)和,F_2(4,0)的距离的和为8,则点M的轨迹是( ) (A)x~2=8 (B)y=0(-4≤x≤4) (C)x=0(-4≤y≤4) (D)y~2=8 2.椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>>0)与曲线x~2/(a~2-k~2) y~2/(b~2-k~2)=1(a>b>0)有( ) (A)相等的短轴 (B)相等的焦距 (C)相等的离心率 (D)有相同的准线 3.如果椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)两准线间的距离     

解析几何题的剖析

<正>我发现下面的一道解析几何题值得研究和思考,它能使我们挖掘出一些相似题目的知识链接,使我们进一步看到一些高考模拟题和真高考题目的命题的源头.题已知椭圆C:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的焦距为2(3~(1/2)),且长轴长与短轴长之比为槡2~(1/2)∶1,点R(x_0,y_0)是椭圆上任意一点,从原点O引圆R:(x-x_0)~2+(y-y_0)~2=2(x_0~2≠2)的两     

椭圆中一类三角形面积的最大值

给定一椭圆和它的一条定长的动弦,探求以动弦为一边,另一个顶点为椭圆中心的三角形面积的最大值是一个有意义的问题,本文给出这类问题的一种浅显的解法.首先给出下面的引理.引理AB是椭圆b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)的一条弦,c为半焦距,d为椭圆中心到弦AB所在直线的距离,若弦AB的倾斜角为θ,记,f(θ)=a~2-c~2cos~2θ,则     

数学基础练习(三)

练习21 1.双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1上的任一点P(x_0,y_0)到焦点(c,0)的距离和到准线x=(a~2)/c的距离之比是多少?     

直线与圆锥曲线相切的充要条件的应用

直线y=kx+m与抛物线y~2=2px、椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1、双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1相切的充要条件分别为 k=p/2m,k~2a~2+b~2=m~2,k~2a~2-b~2=m~2。这几个命题在十年制统编教材中是作为习题出现的(见第二册155页和171页)。根据一元二次方程根的判别式很容易对它们作出证明,这里不再赘述。将它们作为定理直接应用,常能使一些复杂问题的解答过程得到简化,举例于下: 例1。抛物线y~2=4(2~(1/2))x与椭圆x~2/4+y~2/2     

椭圆的长点与长线

<正>命题已知A、B分别为椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左、右顶点,点M (m,0)(异于椭圆中心和长轴的端点),直线l:x=a~2/m.(1)若过点M的直线交椭圆于C、D两点,直线AC与直线BD交于点P,则点P在定直线l上;(2)若点P直线l上,直线PA、PB分别交椭圆于点C、D,则直线CD过定点M.