关于凸n边形的两个不等式

设P为凸n边形A1A2 …An内一点 ,ri为P至边AiAi+1的距离 ,wi是∠AiPAi+1=2αi的角平分线 ,Ri=PAi,ti=RiRi+1cosαi,i= 1,2 ,… ,n ,An+1=A1.1953年 ,L .FejesT幃ｔｈ曾猜测有不等式　　 ∑ni=1Ri≥secπn· ∑ni=1ri (1)对n =3 ,(1)式化为Erd¨os-Mordell不等式 .1961年 ,H .C .Lenhard对每个自然数n≥ 3证明 (1)式 ,并推出较强的不等式∑ni=1Ri ≥secπn· ∑ni=1wi (2 )对n =3 ,(2 )式化为Barrow不等式 .其实文献 [1]中 ,H .C .Lenhard建立了更强的不等式　　　∑ni=1Ri ≥sec πn· ∑ni=1ti (3 )显然ti≥wi≥ri,所以 (3 )强…     

对一道奥赛题的再探索

第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题为:求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.文[1]将该题推广如下:设ai>0(i=1,2,…,n,n≥2),∑ni=1ai=1,B>0,A Bn>0,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥Ai∑=n1ai2 B恒成立.本文将对该题作进一步的探索.引理(幂平均值不等式)若α≥β>0,ai>0(i=1,2,…,n),则∑ni=1aiαn1α≥∑ni=1aiβn1β(1)特别地,当β=1,α≥1时有∑ni=1aiαn≥∑ni=1ainα(2)证略.探究1设α>β≥1,A>0,B>0,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1aiα≥Ai∑=n1αiβ B(n≥2,n∈N)(3)对…     

关于圆外切闭折线周长的一个不等式

设△ ABC的三边长为 a,b,c,其内切圆半径为 r,则有下面熟知的不等式 :　　 a b c≥ 6 3r ( 1 )当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .本文将推广这个不等式 ,证明关于圆外切闭折线周长的一个不等式 .定理 1　设闭折线 A1A2 A3 … An A1有内切圆⊙ ( I,r) ,闭折线的环数为 t,各边长为| Ai Ai 1| =ai( i=1 ,2 ,… ,n,且 An 1为 A1) ,则有　 ∑ni=1ai ≥ 2 nrtan tnπ ( 2 )当且仅当闭折线为正星形时取等号 .图 1证明　如图 1 ,设边Ai Ai 1与圆 I相切于 Bi,连Ai I,Bi I,Ai 1I,则ai =| Ai Bi| | Bi Ai 1|=r( cot Ai2 co…     

一个不等式的推广

不等式1n∑i=n1aim≥(1n∑i=n1ai)m,其中m∈N ,ai>0,(i=1,2,…,n)可推广为:∑ni=1piaim≥(∑ni=1piai)m.(1)其中m≥1,ai>0,pi>0,(i=1,2,…,n)且∑ni=1pi=1,不等式1n∑i=n1aim≤(1n∑i=n1ai)m,其中00,(i=1,2,…,n)可推广为:∑ni=1piaim≤(∑ni=1piai)m.(2)其中0相似文献   

圆内接闭折线垂心的一个性质

众所周知 ,三角形的垂心有如下性质[1] :定理 1　设△ ABC的外接圆半径为 R,垂心为 H ,则 ( AB2 BC2 CA2 ) ( H A2 H B2 H C2 ) =1 2 R2 .将这个定理推广到一般圆内接闭折线中 ,可得定理 2　设闭折线 A1A2 A3 … An A1内接于⊙ ( O,R) ,其垂心为 H ,则　 ∑ni=1Ai A2i 1 ∑ni=1H A2i =n( n 1 ) R2 ,( * )其中 An 1为 A1.证明　以圆心 O为原点建立直角坐标系x Oy(图略 ) ,设顶点 Ai 的坐标为 ( xi,yi) ( i =1 ,2 ,… ,n) ,垂心 H的坐标为 ( x H,y H) ,则有[2 ]x H =∑ni=1xi,　 y H =∑ni=1yi. 1由两点间的距…     

几个不等式的简证

《数学通讯》(教师版)2006年上年度刊登了一组关于不等式研究的专题文章,笔者拜读之后受益匪浅,笔者探究发现其中的几个不等式更加简捷的证明方法,现写出来,供读者参考.例1[1]设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1n∑i=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai(1)这是文[1]对文[2]证明的如下一个不等式的逆向不等式:设ai>0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1.则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi(2)文[1]通过构造函数,考察函数的凸性,然后用数学归纳法证明了(1)式.其实,有了(2)式,(1)式的证明便唾手可得,不必绕道而行.事实上,由(2)式∑ni=1piai=∑ni=…     

一道东南数学奥林匹克试题的推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题):求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1(1)对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.本文给出此题的一个推广.推广设ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(2)恒成立.注:在推广中取n=3,A=6,B=1即得上述东南竞赛题.解ai=1n,i=1,2,…,n,得m≥An Bn2.下面证明,当ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn时,有(An Bn2)∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(3)下面证明(3)式成立.不妨设a1≥a2≥…≥an,则a12≥a22≥…≥an2,由切比雪夫不…     

多面体重心的两个性质

本文首先应用解析法 ,建立“点到平面的有向距离”概念 ,然后给出多面体重心的两个有趣性质 .定义 1　在空间直角坐标系内 ,设点P的坐标为 (x0 ,y0 ,z0 ) ,平面π的方程为Ax +By +Cz +D=0 .令d =Ax0 +By0 +Cz0 +DA2 +B2 +C2 (1)则d称为点P到平面π的有向距离 .多面体的重心定义如下 :定义 2　在空间直角坐标系内 ,设多面体A1A2…An 的顶点Ai 的坐标 (xi,yi,zi) (i =1,2 ,… ,n) .令　x′ =1n ∑ni=1xi,y′ =1n ∑ni=1yi,z′ =1n ∑ni=1zi (2 )则点G(x′ ,y′z′)称为顶点系的重心 .由定义 1,2 ,我们获得了下述性质 .定理 1　在空间…     

正多边形上的最大点

设有正n(n≥3)边形A1…An,其中Ai的坐标为(xi,yi),i=1,…,n,对正n边形上任一点X(x,y),记f(X)=n∑i=1XAi=n∑i=1√(x-xi)2 (y-yi)2=f(x,y) (1)     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ABC的边长为a ,b,c,其内切圆为⊙ (I,r)即“圆心为I,半径为r” ,则有下面的不等式成立 (证略 ) :AI2 +BI2 +CI2 ≥ 14(a2 +b2 +c2 ) + 3r2( 1 )文献 [1 ]中还有以下不等式 :AI+BI+CI≥ 6r ( 2 )( 1 )、( 2 )中等号成立当且仅当a=b=c.本文将推广这两个不等式 ,证明关于圆外切闭折线的几个不等式 .定理 1　设平面闭折线A1 A2 A3…AnA1 的内切圆为⊙ (I,r) ,其边长为 ｜AiAi+1 ｜=ai(i=1 ,2 ,… ,n ,且An+1 为A1 ) ,则有∑ni=1AiI2 ≥ 14∑ni=1a2 i+nr2 ( 3)当且仅当a1 =a2 =… =an 时取等号 .证明　设已知闭折线的边AiAi- 1 …     

一道竞赛试题解法探究

例 1　 ( 1995年数学冬令营第五题 )设xi >0 ,∑ni =1xi=1(i =1,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni =1xi1+ (x1+x2 +… +xi- 1)xi+xi+ 1+… +xn≤ π2 .证　令sinθi=∑ik =1xk ,θ0 =0 (i =1,2 ,… ,n) ( 0<θi≤ π2 ) ,则∑ni=1xi1+ (x1+x2 +… +xi - 1)xi+xi + 1+… +xn=∑ni =1sinθi-sinθi- 11+sinθi - 11-sinθi- 1=∑ni =12sin θi-θi - 12 cosθi+θi- 12cosθi - 1≤∑ni =12sinθi-θi - 12<∑ni =1(θi-θi - 1)=θn -θ0 =π2 .例 1的命制及解法均含有高等数学中的思想方法 ,为了说明问题 ,我们给出如下两个结论 .定理 1　设 f(x) 是区…     

不等式研究成果集锦(17)

20 2　设 xi >0 ,i =1,2 ,… ,n,n≥ 2 ,∑ni= 1xi =1,记 Ek(x) =Ek(x1 ,x2 ,… ,xn) =∑1≤ i1 <… 0 )时 ,有Ek(1x1 - m,… ,1xn - m)≥ Ckn(n - m) k.(续铁权 .2 0 0 1,1)2 0 3　设 Ai >0 ,λk>0　 (i =1,2 ,… ,n;k = 1,2 ,… ,n) ,∑ni=1Ai ≤π,n∈ N.(1)若 0≤λ≤ 1,有C2n(1-λ21 λ2 ) 2 (λπ) 2 ≤ (n - 1 cosλπ) .∑nk= 1cos2 λAk - cosλπ(∑ni=1cosλAi) 2 ≤ C2n(λπ) 2 ,等号同时成立当且仅当λ=0 .(2 )若 0≤λ≤ 1,有4λ2 C2ncos2 λ2 π≤ (n - 1 cosλ…     

一个不等式的逆向

文[1]证明了文[2]提出的一个猜想:说ai≥0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1,则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi.本文将给出上述不等式的一个逆向不等式,从而得出一个不等式组.命题设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1∑ni=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai.证为了使命题证明     

正多边形的一个向量性质及推广

笔者发现正多边形的一个向量性质加以推广后 ,可以将文 [1 ],[2 ],[3]的结论统一起来 ,进一步体现了数学的和谐 .性质 1　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,则∑ni=1OAi=0 .此性质证明略去 ,下面给出它的推广 .性质 2　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,半径为R ,P是平面上的任一点 ,则∑ni=1PA2i =nPO2 +nR2 .证　∑ni=1PA2i =∑ni=1PA2i =∑ni=1(PO +OAi) 2 =∑ni=1PO2 + 2PO ∑ni=1OAi +∑ni=1OA2i =nPO2 +nR2 .性质 3　已知中心对称的多边形A1A2…A2n的外接圆O的半径为R ,P是圆O上的任一点 ,Mi 与Mi+n为…     

重要不等式的一个证明

下面的不等式称为算术平均———几何平均不等式 :Gn =na1 a2 …an ≤An=1n∑ni=1ai　 (ai>0 ,i=1 ,2 ,… ,n)本文通过添加一个零项ln Gnna1 a2 …an =0给出证明可设a1 ≤a2 ≤… ≤an,显然a1 ≤Gn ≤an　存在k,使得　ak ≤Gn ≤ak+1 .AnGn - 1 =1n ∑ni=1aiGn-n=1n ln Gnna1 a2 …an + ∑ni=1aiGn-n=1n ∑ni=1lnGnai + ∑ni=1aiGn-n=1n∑ki=1lnGnai - 1Gn(Gn-ai) +1n∑ni=k+ 1lnGnai - 1Gn(Gn-ai)=1n ∑ki=1 ∫Gnai1t -1Gn dt +1n ∑ni=k+ 1 ∫Gnai1t -1Gn dt=1n ∑ki=1 ∫Gnai1t -1Gn dt +1n ∑ni=k+ 1 ∫aiGn1Gn-1t dt以上每…     

一类二次方程组的一个定理及其运用

定理　在方程组∑ni=1xi=A∑ni=1x2i=B中 ,A、B是实数 ,记Δ=n B-A2 .若 xi∈ R( i=1,2 ,… ,n) ,则Δ≥ 0 ,当且仅当x1 =x2 =… =xn=An时 Δ=0 .证明　 ∑1≤ i相似文献   

一个不等式的推广

文[1],[2]给出了一个不等式:设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1,则1∑ni=1piai≤∏ni=1aipi≤∑ni=1piai.本文再给出上述不等式一个推广情形:命题设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且各pi不全为0.则:∑ni=1pi∑ni=1piai≤(∏ni=1aipi)1∑ni=1pi≤∑ni=1piai∑ni=1pi.为了证明该     

涉及单形内一点和内外径的一类不等式

设 n维 Euclid空间 En(n≥ 2 )中单形 Ω(A)的顶点集为 A={ A0 ,A1,… ,An} .,Ω(A)内任一点 P至侧面 { A0 ,A1,… ,An} \{ Ai}的距离为 di(i=0 ,1,… ,n) ,Ω(A)的外接超球半径和内切超球半径分别为 R、r,记C( n,α) =(2 (n+ 1　 2 ) + (n+ 1) 2α- (n+ 1) α) / 4 (n+ 12 ) ) α(α≥ 1) ,本文建立了涉及Ω (A)内一点的不等式∑0≤ i相似文献   

不等式〔∑from i=1 to n (a_i~3)〕〔∑from i=1 to n (b_i~3)〕〔∑from i=1 to n (c_i~3)〕≥〔∑ from i=1 to n (a_ib_ic_i)〕~3的恒等式构造

文[1]为证明2001年第42届IMO第2题而通过独特的思路给出了一个恒等式:设实数ai,bi∈R,A3=n∑i=1ai3,B3=n∑i=1bi3,且AB≠0,则有恒等式n∑i=1ai3 2/3n∑i=1bi3 1/3=n∑i=1ai2bi 13A2Bn∑i=12aiA biBaiA-biB2(1)根据恒等式(1),我们自然会考虑更一般形式的3×N维形式的不等式n∑i=1ai3n∑i=1bi3n∑i=1ci3≥n∑i=1aibici3(2)通过对(2)的研究,本文通过构造方法给出了式(2)的一个新的恒等式.定理设实数ai,bi∈R,A=3∑ni=1ai3,B=3∑ni=1bi3,C=3∑ni=1ci3,且ABC≠0,则有恒等式3(n∑i=1ai3)(n∑i=1bi3)n∑i=1ci3=n∑i=1aibici ABC6Ω(3)其…     

n元三次多项式不等式猜想的证明

猜想 [1]　设 x1,x2 ,… ,xn∈ R+ ,n为正整数 ,证明或否定 :n( n - 1 ) ∑ni=1x3 i + ( ∑ni=1xi) 3　≥ ( 2 n - 1 ) ∑ni=1xi∑ni=1x2i ( 1 )这是杨学枝老师近日提出的一个猜想 .经探讨发现 ,此猜想成立 .为证明 ( 1 )式成立 ,先给出如下引理 .引理 1　 x1,x2 ,… ,xn∈ R,n为正整数 ,则( ∑ni=1xi) 3 =∑ni=1x3 i + 3∑i≠ jx2ixj+ 6 ∑1≤ i相似文献