一道东南数学奥林匹克试题的推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题):求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1(1)对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.本文给出此题的一个推广.推广设ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(2)恒成立.注:在推广中取n=3,A=6,B=1即得上述东南竞赛题.解ai=1n,i=1,2,…,n,得m≥An Bn2.下面证明,当ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn时,有(An Bn2)∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(3)下面证明(3)式成立.不妨设a1≥a2≥…≥an,则a12≥a22≥…≥an2,由切比雪夫不…     

一个不等式的推广

不等式1n∑i=n1aim≥(1n∑i=n1ai)m,其中m∈N ,ai>0,(i=1,2,…,n)可推广为:∑ni=1piaim≥(∑ni=1piai)m.(1)其中m≥1,ai>0,pi>0,(i=1,2,…,n)且∑ni=1pi=1,不等式1n∑i=n1aim≤(1n∑i=n1ai)m,其中00,(i=1,2,…,n)可推广为:∑ni=1piaim≤(∑ni=1piai)m.(2)其中0相似文献   

一道美国奥林匹克题的进一步推广

美国第33届数学奥林匹克第5题是:设a,b,c为正实数,证明:(a5-a2 3)(b5-b2 3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.这是一道被广泛关注的问题.文[1]将此题推广为:推广1设ai>0(i=1,2,3,…,3k,k∈N ),证明:∏3ki=1(ai5k-ai2k 3k)≥(i∑3=k1ai)3k.文[2]将此题再推广为:推广2设ai>0(i=1,2,3,…,n,n∈N ),αβ>0,则∏ni=1(aiα β-aiβ n)≥(i∑=n1ainα)n.事实上推广2可进一步推广为:推广3设ai>0(i=1,2,3,…,n,n∈N ),αβ>0,0≤λ≤1,则∏ni=1(aiα β-λαiβ μ)≥(α βα-λβi∑=n1aiαn)n,其中μ=n λ nαβ-nαλβ-1.为了证明推广3,我们先引进著名的加…     

一个不等式的推广

文[1]对人教版教材高中教学第二册(上)第30页的一道习题:已知a>b>c,求证:1a-b b1-c c-1a>0,引导学生进行了探究.将此不等式加强为a1-b b-1c c-4a≥0.进一步当a>b>c>d时,则有a-1b b-1c c-1a d9-a≥0将上述二不等式推广.便有下面的结论已知a1>a2>……>an-1>an,k∈N*,则有(a1-1a2)2k-1 (a2-1a3)2k-1 …… (n-1)2k(an-a1)2k-1≥0为证明本结论,先给出下面的引理(见文[2]).引理设ai,bi∈R ,i=1,2,…,n,α>0,则有∑ni=1biα 1aiα≥∑ni=1biα 1∑ni=1aiα,当且仅当baii=∑ni=1ai∑ni=1bi时等号成立.结论的证明:原不等式等价于不等式.∑n-1i=11(ai…     

一个分式型不等式定理及其应用

引理　若xi∈R ,i=1,2,…,n,则1)　1nΣni=1xαi≥1nΣni=1xiα(α≥1或α<0)2)　1nΣni=1xαi≤1nΣni=1xiα(0<α<1)注　此引理可由琴生(Jensen)不等式推出.因篇幅有限,这里不再赘述,读者可参阅参考文献〔1〕和〔2〕.定理1　若ai、bi∈R ,i=1,2,…,n,γ≥2或γ<0,β>0,则Σni=1aribβi≥n1-r β.Σni=1airΣni=1biβ证明　由已知和柯西不等式,得Σni=1bβiΣni=1aribβi=Σni=1bβi2Σni=1aγibβi2≥Σni=1bβi.aγibβi2=Σni=1aγ2i2(1)由引理1)和2),得Σni=1aγ2i2≥n2-γΣni=1aiγ及Σni=1bβi-1≥n-1 βΣni=1bi-β(β≥1或0<β<…     

一道美国数学奥赛题的再思考

第33届美国数学奥林匹克第5题为:设a,b,c均为正实数,证明:(a5-a2 3)(b5-b2 3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.文[1]推广了上述不等式,得到如下结果:设ai>0,i=1,2,…,3k,k为自然数,则∏3ki=1(ai5k-ai2k 3k)≥(∑3ki=1ai)3k.文[2]将[1]的结论再推广为:设ai>0,i=1,2,…,n,α,β为正实数,则∏     

第42届IMO第2题隔离的推广

第42届IMO(2001年)第二题为:对所有正实数a、b、c,证明aa2 8bc bb2 8ca cc2 8ab≥1(1)文[1]将其推广为:设a,b,c∈R ,λ≥8,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥31 λ(2)文[2]给出了(2)的一个中间隔离:设a,b,c∈R ,λ≥8,∑a3=a3 b3 c3,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥(a b c)32∑a3 3λabc≥31 λ(3)并把(3)推广到n个字母的情形:设ai∈R (i=1,2,…,n),λ≥n2-1,则n∑i=1ani-2 1ani-1 λa1a2…anai≥(∑ni=1ai3n)32∑ni=1ain λna1a2…an≥n1 λ(4)本文给出(4)的推广,得到命题设ai∈R (i=1,2,…,n),n≥2,k∈R,0<α≤n-1,λ≥n1α-1,n则∑i=1k…     

一个不等式的推广

文[1],[2]给出了一个不等式:设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1,则1∑ni=1piai≤∏ni=1aipi≤∑ni=1piai.本文再给出上述不等式一个推广情形:命题设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且各pi不全为0.则:∑ni=1pi∑ni=1piai≤(∏ni=1aipi)1∑ni=1pi≤∑ni=1piai∑ni=1pi.为了证明该     

Radon不等式的推广及其应用

Radon不等式[1]设ai≥0,bi>0(i=1,2,…,n),l∈N,则∑ni=1ail 1bil≥(∑ni=1ai)l 1(∑ni=1bi)l(1)本文将(1)式推广如下:设ai≥0,bi>0(i=1,2,…,n),l∈N,k∈N ,则∑ni=1ail kbil≥(∑ni=1ai)l k(∑ni=1bi)lnk-1(2)证记(2)式左端为A,B=∑ni=1bi.由均值不等式,得以下n个不等式:a1l kb1lA bB1 bB1 … bB1l个 1n 1n … 1nk-1个≥(l k)a1l kABlnk-1.同理a2l kb2lA bB2 … bB2 1n … 1n≥l( lk k)a2.……anl kbnlA bBn … bBn 1n … 1n≥l (kl k)anABlnkq-1.将以上n个不等式的两边分别相加,得AA lBB (k-1)≥(l lk AkB)lni∑=nk1-a1i.约去…     

柯西不等式一个推论的应用

对实数ai,bi(i=1,2,…,n),有下面的不等式:(∑ni=1aibi)2≤(∑ni=1ai2)(∑ni=1bi2),这就是著名的柯西不等式.若令ai=xiyi,bi=yi(i=1,2,…,n),yi>0,代入得到以下推论:x12y1 xy222 … xynn2≥(xy11 xy22 …… xynn)2.这个推论在处理分式之和问题时很有用,下面举例说明.例1设a>0,b>0,求证:ab ba≥a b.证明∵a>0,b>0,由柯西不等式的推论得,ab ba≥(aa bb)2=a b.例2(1998年江苏省数学夏令营)设a>0,b>0,c>0,求证:a2b c cb 2a ac 2b≥21(a b c).证明∵a>0,b>0,c>0,由柯西不等式的推论得:a2b c cb 2a ac 2b≥2((aa bb c)c)2=21(a b c).例3(第2…     

一个不等式的逆向

文[1]证明了文[2]提出的一个猜想:说ai≥0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1,则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi.本文将给出上述不等式的一个逆向不等式,从而得出一个不等式组.命题设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1∑ni=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai.证为了使命题证明     

用不等式sum from i=1 to n ((a_i)~2)≥2/(n-1)≤∑a_ia_j(1≤i

朱纯刚 《数学通讯》2006,(3)

关于一对不等式的推广

文[1]证明了一对有趣的不等式:设a,b,c为正数,且a b c=1,则有(b1 c-a)(c 1a-b)(a1 b-c)≥(67)3,(b1 c a)(c 1a b)(a1 b c)≥(161)3.为了推广这两个不等式,文[1]提出下面四个命题,要求证明或否定之.设a1,a2,…,an为正数且其和为1.命题1∏ni=1(ai 1ai 1-ai 2)≥(2n-1n)n.命题2∏ni=1(ai 1ai 1 ai 2)≥(2n 1n)n.命题3∏n-1i=0(∑K1j=1ai j-∑nj=k 1ai j)≥(kn nk-1)n.命题4∏n-1i=0(∑K1j=1ai j ∑nj=k 1ai j)≥(kn-nk 1)n.其中an i=ai(i=1,2,…,n-1),k为小于n的正整数.本文先证明命题3为真,然后对其余三个命题给出反例.令f(x)=ln(1-1x-x),0相似文献   

一个不等式的推广

若 a、b、c为正数 ,则ab c bc a ca b>2 .宋庆先生在文 [1]中给出了上述不等式的一个简洁的“可读证明”,本文我们将它进一步推广为 :若 ai >0 ,i =1,2 ,… ,n,∑ni=1ai =λ,则　　　 ∑ni=1aiλ- ai >2 . (1)证明　令 aiλ- ai=bi　 (bi >0 ) ,则　　 aiλ=b2i1 b2i,故原不等     

一类三角形面积不等式的改进与推广

文[1]建立了一类三角形面积不等式,本文改进并推广其结果.引理　设△AiBiCi的三边及面积分别为ai、bi、ci及△i,且λi∈R (i=1,2,…,n),记a0=∑ni=1λiai,b0=∑ni=1λibi,c0=∑ni=1λici,则以a0、b0、c0为三边可作三角形,且其面积　　　△0≥(∑ni=1λi△i)2,(1)仅当△A1B1C1∽△A2B2C2∽…∽△AnBnCn时取等号.证明　由ai bi>ci(i=1,2,…,n)有　a0 b0=∑ni=1λiai ∑ni=1λibi=∑ni=1λi(ai bi)>∑ni=1λici=c0;等等,故以a0、b0、c0为三边可作三角形.记其半周长pi=12(ai bi ci)　(i=0,1,2,…,n),易知p0=∑ni=1λipi及p0-a0=∑ni=1λi(…     

一个不等式的推广及应用

1999年河南省高中数学竞赛有这样一道不等式试题:设x1,x2,y1,y2∈R*,a=x1x2 y1y2,b=(x1 x2)(y1 y2),试判断a,b的大小.不难证得结论为b≥a.本文给出这一不等式的推广,然后举例说明其应用.1推广及推论命题设aij>0(i=1,2,…,m;j=1,2,…n),则(∑mi=1ai1∑mi=1ai2…∑mi=1ain)1n≥∑     

不等式〔∑from i=1 to n (a_i~3)〕〔∑from i=1 to n (b_i~3)〕〔∑from i=1 to n (c_i~3)〕≥〔∑ from i=1 to n (a_ib_ic_i)〕~3的恒等式构造

文[1]为证明2001年第42届IMO第2题而通过独特的思路给出了一个恒等式:设实数ai,bi∈R,A3=n∑i=1ai3,B3=n∑i=1bi3,且AB≠0,则有恒等式n∑i=1ai3 2/3n∑i=1bi3 1/3=n∑i=1ai2bi 13A2Bn∑i=12aiA biBaiA-biB2(1)根据恒等式(1),我们自然会考虑更一般形式的3×N维形式的不等式n∑i=1ai3n∑i=1bi3n∑i=1ci3≥n∑i=1aibici3(2)通过对(2)的研究,本文通过构造方法给出了式(2)的一个新的恒等式.定理设实数ai,bi∈R,A=3∑ni=1ai3,B=3∑ni=1bi3,C=3∑ni=1ci3,且ABC≠0,则有恒等式3(n∑i=1ai3)(n∑i=1bi3)n∑i=1ci3=n∑i=1aibici ABC6Ω(3)其…     

一道数学竞赛题的推广

设 a1,a2 ,… ,an和 b1,b2 ,… ,bn都是非负实数 ,则　 [( a1+ b1) ( a2 + b2 )… ( an + bn) ]1n ≥　 ( a1a2 … an) 1n + ( b1b2 … bn) 1n.这是第 6 4届普特兰数学竞赛中的一道题目 .本文给出该不等式的一个推广 .推广　设 aij >0 ( i =1 ,2 ,… ,m;j=1 ,2 ,… ,n) ,则( ∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ain) 1n ≥ ∑mi=1( ai1ai2 … ain) 1n,等号当且仅当 as1at1=as2at2=… =asnatn( s,t=1 ,2 ,… ,m;s≠ t)时成立 .证明　由平均不等式知 :1na11∑mi=1ai1+ a12∑mi=1ai2+… + a1n∑mi=1ain≥　a11a12 … a1n∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ai…     

关于圆外切闭折线周长的一个不等式

设△ ABC的三边长为 a,b,c,其内切圆半径为 r,则有下面熟知的不等式 :　　 a b c≥ 6 3r ( 1 )当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .本文将推广这个不等式 ,证明关于圆外切闭折线周长的一个不等式 .定理 1　设闭折线 A1A2 A3 … An A1有内切圆⊙ ( I,r) ,闭折线的环数为 t,各边长为| Ai Ai 1| =ai( i=1 ,2 ,… ,n,且 An 1为 A1) ,则有　 ∑ni=1ai ≥ 2 nrtan tnπ ( 2 )当且仅当闭折线为正星形时取等号 .图 1证明　如图 1 ,设边Ai Ai 1与圆 I相切于 Bi,连Ai I,Bi I,Ai 1I,则ai =| Ai Bi| | Bi Ai 1|=r( cot Ai2 co…     

一个含参数根式不等式链

文[1]给出了如下含参数根式不等式:定理1设ai∈R ,i=1,2,…,n,且∑ni=1ai=k,λ>0,μ≥0,则λk μ (n-1)μ0,μ≥0,则λk μn2≤n∑i=1λkai2 μ<λk μ (