椭圆两条平行弦的性质的推论及应用

椭圆两条平行弦的性质的推论及应用玉邴图（云南广南一中６６３３００）文［１］介绍椭圆两条平行弦有如下两个性质．图１性质１如图１，经过椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞０）长轴顶点Ａ的弦ＡＱ交ｙ轴于Ｒ，过椭圆中心Ｏ的半弦ＯＰ∥ＡＱ，则｜ＯＰ｜２＝...     

一类具有双重奇性的抛物型方程的整体解和有限熄灭

本文讨论具有双重奇性的抛物型方程ｕｔ＝ ｄｉｖ（｜△ｕ~ａ｜ｐ~－２△ｕ~ａ）,（ｘ,ｔ） ∈ Ｒ~ｎ ×（０,∞）,其中Ｐ＞ １,ａ＞ ０,ｎ≤ ２．证明当１＜ Ｐ＜ｎ（ａ＋１）／（ａｎ＋１）时,存在整体自相似解ｕｇｓ（·,ｔ） ∈ Ｌ~ｑ（Ｒ~ｎ）（ｑ＞ｓ＝~△ｎ［１－ａ（ｐ－１）］／ｐ）,但是ｕｇｓ∈~／Ｌ~ｓ（Ｒ~ｎ）（定理２．１）;同时存在有限熄灭的自相似解ｕｌｓ满足相同的积分条件（定理 ３．１）．     

带粗糙核的多线性振荡奇异积分

本文考虑多线性算子ＴＡｆ（ｘ）＝∫ＲｎｅｉＰ（ｘ，ｙ）Ω（ｘ－ｙ）｜ｘ－ｙ｜ｎ＋ｍＲｍ＋１（Ａ；ｘ，ｙ）ｆ（ｙ）ｄｙ，ｎ２，其中Ｐ（ｘ，ｙ）是Ｒｎ×Ｒｎ中的实值多项式，Ω是零次齐次函数且满足ｍ阶消失性条件，Ｒｍ＋１（Ａ；ｘ，ｙ）＝Ａ（ｘ）－｜α｜ｍＤαＡ（ｙ）（ｘ－ｙ）α，对任何｜α｜＝ｍ，ＤαＡ∈ＢＭＯ（Ｒｎ）．证明了Ω∈Ｌｑ（Ｓｎ－１）且ｑ＞１时，对任何１＜ｐ＜∞，‖ＴＡｆ‖ｐＣ（ｎ，ｍ，ｐ，ｄｅｇＰ）｜α｜＝ｍ‖ＤαＡ‖ＢＭＯ‖ｆ‖ｐ     

一类超椭圆方程的整数解

设ｍ，ｎ∈Ｎ；ｍ≥２，ｎ≥２，ｍｎ≥６，ｆ（ｘ）＝ｘｍ＋ａ１ｘｍ－１＋…＋ａｍ∈Ｚ［ｘ］，Ｈ＝ｍａｘ（｜ａ１｜，…，｜ａｍ｜）．本文运用组合分析方法证明了：当ｍ≡０（ｍｏｄｎ），ａ１，…，ａｍ不全为零，而且其中第一个非零系数ａｓ与ｎ互素时，方程ｆ（ｘ）＝ｙｎ，ｘ，ｙ∈Ｚ，仅有有限多组解（ｘ，ｙ），而且这些解都满足｜ｘ｜＜（４ｍＨ）２ｍ／ｎ＋１以及｜ｙ｜＜（４ｍＨ）４ｍ２／ｎ２＋ｍ／ｎ＋１     

奇阶中立型时滞微分方程解的振动性

１．引言考虑奇阶非线性泛函微分方程［ｘ（ｔ）－ｃｘ（ｔ—(）］（ｎ）＋ｐ（ｔ）ｆ（ｘ（ｔ－σ））＝０（１）对方程（１）我们作如下假设（Ｈ）：（Ｈ１）ｎ＞１是奇整数,ｐ∈Ｃ（（ｔ０,∞）,（ｔ０,∞））;（Ｈ２）τ＞０,σ＞０且０≤ｃ≤１;（Ｈ３）ｆ∈Ｃ（Ｒ,Ｒ）是单调增加,ｘｆ（ｘ）＞０,Ｘ≠０且当｜ｘ｜→∞时有｜ｆ（ｔ）｜→∞．设δ＝ｍａｘ｛τ,σ｝,∈Ｃ（［Ｔ－δ,Ｔ］,Ｒ）．方程（１）在［Ｔ,∞）上的解是指函数ｘ∈Ｃ（［Ｔ,∞）,Ｒ）,使得ｘ（ｔ）＝(（ｔ）,Ｔ－δ≤ｔ≤Ｔ,［ｘ（ｔ）－ｃｘ…     

半无穷直线上的非线性薛定谔方程

本文研究非线性薛定鄂方程的初始值和边界值问题 ｉｕ_ｔ＝ｕ_（ｘｘ）－ｇ｜ｕ｜~（ｐ－１）ｕ。０＜ｘ,ｔ＜∞,这里 ｇ＞ ０, ｐ＞ ３; ｕ（ｘ,０）＝ ｈ（ｘ）．假设 ｈ（ｘ）∈ Ｈ（ＩＲ~＋）, Ｑ（ｔ）,Ｒ（ｔ） Ｅ Ｃ（ＩＲ~＋）．对于二类不同的边界值（狄里克莱型ｕ（０,ｔ）＝Ｑ（ｔ）和鲁宾型ｕ_ｘ（０,ｔ）＋ａｕ（０,ｔ）＝Ｒ（ｔ）;这里ａ是实数）本文证明古典解。 ｕ∈ Ｃ~１（Ｌ~２）∩ Ｌ~２（Ｈ~２）的存在性,唯一性和全局性．     

巧用直线和圆的位置关系解题

命题　设直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ,Ｂ不同时为零）,⊙Ｏ：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝Ｒ２,则ｌ与⊙Ｏ有交点｜Ａａ＋Ｂｂ＋Ｃ｜Ａ２＋Ｂ２≤Ｒ．本文举例说明这一命题在解题中的巧用．一、用于求最值（或值域）例１　如果实数ｘ,ｙ满足等式（ｘ－２）２＋ｙ２＝３,求ｕ＝ｙｘ的最大值．（１９９０年高考试题）解　由ｕ＝ｙｘ得ｕｘ－ｙ＝０,点（ｘ,ｙ）在直线ｕｘ－ｙ＝０以及圆（ｘ－２）２＋ｙ２＝３上．∴２ｕ－０１＋ｕ２≤１－３≤ｕ≤３,∴ｕｍａｘ＝３．例２　求函数ｕ＝２ｘ－１＋５－２ｘ的最大值．解　点（…     

区间上平顶单峰扩张自映射的周期轨道

设ｔ（０＜ｔ＜１）是一个常数，ｎ≥３是奇数，ｍ≥０及ｋ≥１是整数，Ｐ０（ｘ）＝ｘ－１，Ｐｉ（ｘ）＝（ｘ２ｉ－１－１）Ｐｉ－１（ｘ）（ｉ≥１），ｒｍｎ（ｔ）及ｒｋ（ｔ）分别是方程Ｐｍ（ｘ）（ｘ２ｍｎ－２ｘ２ｍ（ｎ－２）－１）－ｔ（ｘ２ｍｎ－１）（ｘ２ｍ＋１）＝０及Ｐｋ－１（ｘ）－ｔ（ｘ２ｋ－１＋１）＝０在（１，＋∞）上的唯一实根，ｆ是闭区间Ｉ＝［０，１］上的峰顶区间长度为ｔ的平顶单峰扩张自映射．本文证明了，若ｆ的扩张常数λ≥ｒｍｎ（ｔ）（或＞ｒｋ（ｔ）），，则ｆ有２ｍｎ（或２ｋ）周期点．此外，本文还指出，当１＜λ＜ｒｍｎ（ｔ）（或≤ｒｋ（ｔ）时，在Ｉ上存在着具有扩张常数λ及峰顶区间长度ｔ却无２ｍｎ（或２ｋ）周期点的平顶单峰扩张自映射     

一道不等式题的简捷证明

题　已知二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ,当－１≤ｘ≤１时,有－１≤ｆ（ｘ）≤１．求证：当－２≤ｘ≤２时,有　－７≤ｆ（ｘ）≤７．这是文［１］例３,原给出的证明较繁,现简证如下．证明　∵　ｆ（１）＝ａ＋ｂ＋ｃ,ｆ（０）＝ｃ,ｆ（－１）＝ａ－ｂ＋ｃ,∴　２ａ＝ｆ（１）＋ｆ（－１）－２ｆ（０）,∴　｜２ａ｜≤｜ｆ（１）｜＋｜ｆ（－１）｜＋２｜ｆ（０）｜≤１＋１＋２＝４,且　｜ｃ｜＝｜ｆ（０）｜≤１．若ｘ∈［－２,２］,则　ｘ′＝ｘ２∈［－１,１］,于是可得　｜ｆ（ｘ）｜＝｜ｆ（２ｘ′）｜＝｜２ｆ（…     

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦青海孔繁秋在拙文［１］中，我们证明了如下的定理．定理设有心圆锥曲线Ａｘ２＋Ｂｙ２＝１（Ａ＞０，Ｂ＞０或ＡＢ＜０）和直线ｍｘ＋ｎｙ＝１相交于Ｐ、Ｑ两点（Ａｎ２＋Ｂｍ２≠０，Ａｎ２＋Ｂｍ２—ＡＢ＞０），Ｏ为原点，则ＯＰ⊥Ｏ...     

有理数目标检测题(二)

一、填空１．ａ－１（ａ－１≠０）的相反数是,倒数是．２．如果ｎ为自然数,那么ｎ,１ｎ,－ｎ的大小关系．（从大到小）３．大于或等于－１０且小于１１的所有整数的和是．４．若｜ｘ＋３｜与（ｙ－３）２互为相反数,则３ｘ＋５ｙ＝．５．计算（－４）５×（１４）５＝．６．若３９２０００００＝３．９２×１０ｍ,近似数０．６０８０有ｎ个有效数字,则５ｍ＋２ｎ＝．７．若｜ｘ｜＝３,｜ｙ｜＝４,且ｘ＞ｙ,则３ｘ－２ｙ的值是．８．计算－３２＋（－２）３÷（－１）５＝．９．计算８×（－０．７５）２－２４×（－１６）３÷（…     

一个变形的启发

在推导椭圆、双曲线的标准方程时,我们知道,当２ａ＞２ｃ时,（ｘ－ｃ）２＋ｙ２＋（ｘ＋ｃ）２＋ｙ２２ａ等价于ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２１（其中ｂ２＝ａ２－ｃ２）;当２ａ＜２ｃ时,｜（ｘ－ｃ）２＋ｙ２－（ｘ＋ｃ）２＋ｙ２｜２ａ等价于ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２１（其中ｂ２＝ｃ２－ａ２）．因而类似一些根式方程与不等式的求解问题就可以考虑用椭圆或双曲线的方程来处理．首先给出下列两个命题：命题１　对（ｘ－ｃ１）２＋ｎ２＋（ｘ－ｃ２）２＋ｎ２ｍ（ｃ１＜ｃ２,ｎ≠０）（１）当ｍ＞ｃ２－ｃ１时,①与（ｘ－ｃ）２ａ２＋ｎ…     

新题征展(3)

题组新编１．（１）设Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝０｝、Ｎ＝｛ｘ｜ｇ（ｘ）＝０｝,则｛ｘ｜ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝０｝为（　　）;（Ａ）Ｍ　（Ｂ）Ｎ　（Ｃ）Ｍ∪Ｎ　（Ｄ）以上都不对（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ＋３,ｇ（ｘ）＝ｘ＋３ｘ－１,则集合｛ｘ｜ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝０｝＝　　;（３）设函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）的定义域依次是Ｆ、Ｇ,且Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝０｝、Ｎ＝｛ｘ｜ｇ（ｘ）＝０｝,则｛ｘ｜ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝０｝＝　　．２．（１）设ｍ、ｋ∈Ｎ,则Ｃｎｎ＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋２＋…＋Ｃｎｎ＋ｋ＝　　;（２）求…     

关于两处错误的剖析与纠正

本刊１９９７年第３期《利用一次函数的保号性解题》一文给出，一次函数ｆ（ｘ）＝ｋｘ＋ｂ具有如下一条性质（Ａ≥０）：如果｜ｆ（ｍ）｜＞Ａ，｜ｆ（ｎ）｜＞Ａ，则ｘ∈［ｍ，ｎ］时，有｜ｆ（ｘ）｜＞Ａ．我们指出，这一结论是错误的．例如，取ｆ（ｘ）＝ｘ，有｜ｆ（...     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

关于Thue方程的解数

设ｍ是正整数，ｆ（Ｘ，Ｙ）＝ａ０Ｘｎ＋ａ１Ｘ（ｎ－１）Ｙ＋．．．＋ａｎＹｎ∈Ｚ［Ｘ，Ｙ］是Ｑ上不可约化的叫ｎ（ｎ≥３）次齐次多项式。本文证明了：当ｇｃｄ（ｍ，ａ０）＝１，ｎ≥４００且ｍ≥１０（３５）时，方程｜ｆ（ｘ，ｙ）｜＝ｍ，ｘ，ｙ∈ｚ，ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１，至多有６ｎｖ（ｍ）组解（ｘ，ｙ），其中ｖ（ｍ）是同余式Ｆ（ｚ）＝ｆ（ｚ，１）≡０（ｍｏｄｍ）的解数。特别是当ｇｃｄ（ｍ，ＤＦ）＝１时，该方程至多有６ｎ（ω（ｍ）＋１）组解（ｘ，ｙ），其中ＤＦ是多项式Ｆ的判别式，ω（ｍ）是ｍ的不同素因数的个数．     

求双曲线的渐近线的策略和公式

求双曲线的渐近线的策略和公式罗万才（湖南湘潭师范４１１２０４）双曲线ｍ２ｘｗ—ｎ２ｙ２＝ｋ（ｋ≠０）与其渐近线。ｍ２ｘ２—ｎ２ｙ２＝０的方程结构相近，仅是常数项不同（＊）．由此联想问题：（１）双曲线Ｌ：ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋ＤＸ＋Ｅｙ...     

ON THE NON-EXISTENCE OF LIMIT CYCLES OF CERTAIN QUADRATIC SYSTEMS

§１．Ｆｏｒｔｈｅｓｙｓｔｅｍｘ＝－ｙ＋δｘ＋ｌｘ２＋ｎｙ２＝Ｐ（ｘ，ｙ），ｙ＝ｘ（１＋ａｘ－ｙ）＝Ｑ（ｘ，ｙ），｛（１．１）ｗｅｃａｎｆｉｎｄｉｎ［１］ｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇ：ＣｏｎｊｅｃｔｕｒｅＩ．Ａｓｓｕｍｅ１ａ＜０，ｎ＞１，ｎ＋ｌ＞０，ｎａ２...     

SINGULARITY AND QUADRATURE REGULARITY OF（0，1，．．．，m－2，m）─INTERPOLATION ON THE ZEROS OF（1－x）P_（n－1）~（αβ）（x）

ＳＩＮＧＵＬＡＲＩＴＹＡＮＤＱＵＡＤＲＡＴＵＲＥＲＥＧＵＬＡＲＩＴＹＯＦ（０，１，．．．，ｍ－２，ｍ）─ＩＮＴＥＲＰＯＬＡＴＩＯＮＯＮＴＨＥＺＥＲＯＳＯＦ（１－ｘ）Ｐ_（ｎ－１）~（αβ）（ｘ）ＳｈｉＹｉｎｇｇｕａｎｇ（史应光）（ＣｏｍｐｕｔｉｎｇＣｅ...     

On the Decay of Solution of Some Nonlinear Hyperbolic Equation

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎａｎｄＲｅｓｕｌｔＩｎｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｗｅａｒｅｃｏｎｃｅｒｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｄｅｃａｙｏｆｇｌｏｂａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｕｔｔ＋Ａｕ＋｜ｕｔ｜αｕｔ＝ｆ（ｘ,ｔ）　　　　　ｉｎΩ×Ｒ＋,（１）ｕ（ｘ,０）＝ｕ０（ｘ）,ｕｔ（ｘ,０）＝ｕ１（ｘ）　　ｘ∈Ω,（２）ｕ（ｘ,ｔ）＝０　　　　　　　　　　　　（ｘ,ｔ…