一类二阶非线性泛函微分方程解的有界性

§1.引言本文讨论二阶非线性泛函微分方程(r(t)y′)′ f(t,y) g(t,y_t)=p(t) (1)解的有界性.我们将证明,当方程(r(t)x′)′ f(t,x)=0 (2)的一切解有界,加上某些补充条件,可以保证方程(1)亦有同样的性质.我们约定,f:I=[t_0,∞)×D((?)R)→R=(-∞, ∞)及 r:I→R~ =[0,∞)为连续函数,f_x(t,x)在 I×D 存在、连续.用 x(t)=x(t;s,x_0,x′_0)表示方程(2)满足初始条件 x(s)=x_0,r(s)x′(s)=x′_0的唯一解.此方程的每一有界解可以延拓到全区间(?),因此在 I~2×D~2上关于它的四个独立变量连续可微.从一阶常微分方程组解关于初值     

Mordell方程y~3=x~2+2p~4的正整数解

设p是奇素数.对于非负整数r,设U_(2r+1)=(α~(2r+1)+β~(2r+1))/2~(1/2),V_(2r+1)=(α~(2r+1)-β~(2r+1))/6~(1/2),其中α=(1+3~(1/2))/2~(1/2),β=(1-3~(1/2))/2~(1/2).运用初等数论方法证明了:方程y~3=x~2+2p~4有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的充要条件是p=U_(2m+1),其中m是正整数.当上述条件成立时,方程仅有正整数解(x,y)=(V(2m+1)(V_(2m+1)~2-6),V_(2m+1)~2+2)适合gcd(x,y)=1.由此可知:当p10000时,方程仅有正整数解(p,x,y)=(5,9,11),(19,1265,123),(71,68675,1683)和(3691,9677201305,4541163)适合gcd(x,y)=1.     

体上二次矩阵方程的解

本文得到了体上二次矩阵方程XAY= B有解的充要条件.并给出了当r(A)= r(B)时矩阵方程XAY= B的通解.     

一类带约束的二维弱奇异积分方程的一般解及其应用*

本文给出二维弱奇异积分方程作用着约束方程的比[1]为更一般的解P式中k和产是给出的连续函数;(s,φ)是原点在M(r,θ)的局部极坐标;(r,θ)是原点在O(0.0)的总体极坐标;F(r_*,θ)=c_*(常数)是研究域Q的边界围线?Q:g(ω)=F(r,θ)/[πkφ₀];g'=dg/dω,ω=N-r2sin2(θ+φ₀);φ₀,N为中值.[1]的(2.19)型的解仅为F(r,θ)=ω时上述解的特例.文中给出刚性圆锥和弹性半空间接触问题的解作为应用例子.此解较Love(1939)的解简明.     

非交换Lipschitz-φ算子代数

本文引入由紧距离空间(K,d)到给定Banach代数A中的Lipschitz-φ算子构成的非交换Banach代数L~φ(K,A)与l~φ(K,A),证明了它们都是由K到A的全体连续算子构成的非交换Banach代数C(K,A)的子代数,并且关于范数||f||φ=L_φ(f)+||f||∞是Banach代数,研究了不同 Lipschitz尺度函数φ对应的大(小)Lipschitz代数之间的关系。特别当φ(t)=t~α时,引入了极限代数lim_(α→0+)l~α(K,A),lim_(α→+∞)l~α(K,A),lim_(α→0+)L~α(K,A)与lim_(α→+∞)L~α(K,A)以及距离空间的Lipschitz连通性,得到了lim_(α→+∞)l~α(K,A)=A的充要条件,也给出了lim_(α→0+)L~α(K,A)=C(K,A)的条件。     

体上二次矩阵方程的解

要车得到了体上二次矩阵方程XAY=B有解的充要条件．并给出了当r(A)=r(B)对矩阵方程XAY=B的通解     

强迫一阶非线性时滞微分方程解的振动性与渐近性及其应用

本文研究强迫一阶非线性时滞微分方程x~·(t)+∑~m_(i=1)pi(t)fi〔x(t-Ti(t))〕=r(t),t≥t_o的解的振动性与渐近性，得到方程的任意解x(t)或者是振动的或者lim_(t→∞)x(t)=0的充要条件和振动的充分条件，发展和改进了文献[3]的结果，去掉文献［3］中一个条件．应用结果到市场价格的动态过程得到商品价格在某个数值附接波动的充分性判据．     

Diophantine方程(a-1)x~2+f(a)=4a~n的一点注记

设a是大于1的正整数,f(a)是a的非负整系数多项式,f(1)=2rp+4,其中r是大于1的正整数,p=2~l-1是Mersenne素数.本文讨论了方程(a-1)x~2+f(a)=4a~n的正整数解(x,n)的有限性,并且证明了:当f(a)=91a+9时,该方程仅当a=5,7和25时分别有解(x,n)=(3,3),(11,3)和(3,4).     

具有时滞的“食物有限”种群模型的全局吸引和振动

该文研究了非线性时滞微分方程N′(t)=r(t)N(t)((K(t)-N(t-mω)K(t)+λ(t)N(t-mω))) ,其中m是正整数, λ(t), K(t) 及r(t) 是周期为ω的正周期函数，得到了方程正周期解振动、存在和全局吸引的充分条件，一些已知的结果被改进和推广.     

三阶线性非齐次微分方程的Hyers-Ulam稳定性

讨论了三阶线性非齐次微分方程y′′′+p(x)y″+q(x)y′+r(x)y+f(x)=0的Hyers-Ulam稳定性,即若函数f是它的一个近似解,则该方程一定存在与f是任意接近的精确解,并给出了简单实例.     

一类非线性椭圆方程在环域上的正对径解的存在性与多解性

通过考察f(r,l)在有界区间上的性质建立了非线性椭圆方程Δu+f(r,u)=0在环域上的正对径解的存在性、非存在性与多解性.     

具奇异系数的反应扩散方程组Cauchy问题

该文讨论如下具有奇异系数的反应扩散方程组Cauchy问题非负局部解的存在性和不存 在性, 以及解在有限时间内的爆破问题(u_t-t^{-1}Δ u=α_1u^{q_1}+β_1v^\{p_1}+f_1(x),t>0,x∈R^N； v_t-t^\{-1}Δ v=α_2u^\{q_2}+β_2v^{p_2}+f_2(x),t>0,x∈R^ N；lim_{t→0+}u(t,x)=lim_{t→0+}v(t,x)=0,x∈R^N. 其中p_i>1, q_i>1 (i=1, 2) , α_1≥0, α_2>0, β_1>0, β_2≥0, f_ i(x) (i=1, 2)为连续非负有界函数, (f_1(x), f_2(x))(0, 0) . 文章给出了非负局部解存在的显式条件和非负局部解不存在的比较结果, 也得到解在有限时间爆破的一些结果.     

一类反应扩散方程的行波解

1　引　　言由于反应扩散方程涉及的大量问题来自物理学、化学、生物学和人口动力学中众多的数学模型,因而有广阔的实际背景.其行波解引起了人们的兴趣,行波解是某个常微分方程的解,对某些传播速度,利用几何方法可以建立其解的存在性(见[1][2][3]).在文[4]中J.Canosa讨论了Fisher方程ut=2u2x+u(1-u)(1)行波解的存在性、逼近解和误差估计.所谓方程(1)的行波解是指形为u(x,t)=u(x-ct)=u(z)的解.众所周知,行波解u(x,t)=u(x-ct)=u(z)是方程(1)的行波解的充要条件是d2udz2+cdudz+u(1-u)=0(2)若u(z)是单调有界且不恒为常数,则u(z)叫做(1)的波前…     

三阶非线性中立型方程的Philos型振动定理

研究三阶中立型分布时滞微分方程(r(t)[x(t)+p(t)x(r(t))]″)′+∫_a~b q(t,ξ)f(x[g(t,ξ)])dσ(ξ)=0的振动性.利用广义Riccati变换和积分平均技巧,建立了保证此方程一切解振动或者收敛到零的若干新的充分条件.     

轴对称Navier-Stokes方程改进的Liouville定理

本文研究不可压缩Navier-Stokes方程的古代解所具有的Liouville性质.在二维情形以及三维轴对称具平凡角向速度(v_θ=0)情形下,本文证明了光滑的温和古代解的"最优"Liouville定理,即当涡度满足一定条件且速度场v关于空间变量次线性增长时,v恒为常向量,并且在速度场线性增长条件下给出了非平凡古代解的反例.其中,在二维情形下,涡度w需要满足的条件为,对所有的t∈(-∞,0)一致成立lim_(|x|→+∞)|w(x,t)|=0;在三维轴对称具平凡角向速度情形下,涡度w需要满足的条件为,对所有的t∈(-∞,0)一致成立lim_(r→+∞)(|w(x,t)|)/r=0.在三维轴对称具非平凡角向速度(v_θ≠0)的情形下,本文证明了,若Γ=rv_θ∈L_t~∞L_x~p(R~3×(-∞,0)),其中1≤p∞,则有界的温和古代解必为常向量.     

时滞Logistic方程非振动解的存在性

本文获得了时滞Logistic方程 x'(t)=r(t)x(t)[1-a_1x(g_1(t))-a_2x(g_2(t))]~a,t≥0关于其正平衡状态x=1/(a_1+a_2)存在非振动解的充分条件与充要条件,改进并推广了Aiello中的结果.     

两类非线性微分系统的比较定理

研究了如下两类非线性微分系统(dx/dt)=h(y)-(x),(dy/dt)=-f_1(x)h(y)-g_1(x)；(Ⅰ) (dx/dt)=h(y)-(x),(dy/dt)=-g(x)；(Ⅱ)解的有界性与周期解的存在性．证明了几个比较定理,使(Ⅱ)解的有界性和周期解的存在性定理可用于判定(Ⅰ)解的有界性与周期解的存在性．所获结果可以用来判定Liénard方程(d~2x/dt~2) f(x)(dx/dt) g(x)=0(Ⅲ)解的有界件与周期解的存在性．扩展和推广了已有文献中的相应结果．     

一类偏差分方程的振动性

主要研究了偏差分方程pu_(m+2),n+u_(m,n+2)+qu_(m+1,n)-u_(m,n+1)+ru_(m,n)=0,解的振动性,其中参数p,q,r是实数,m,n为非负整数.     

广义Lienard方程周期解的存在唯一性

应用整体反函数理论证明了广义L ienard方程a(t)x" f(x,x′)x′ g(t,x)=e(t),x(0)-x(2π)=x(′0)-x′(2π)=0,周期解的存在唯一性,并由此得到它在几种特殊情况下周期解的存在唯一性定理.     

临界状态下的三项Diophantine方程

本文研究临界状态下三项Diophantine方程解的问题.运用无穷递降法证明了:设m,n,r是大于1的正整数,当1/m+1/n+1/r=1时,方程xm+yn=zn,min(x,y,z)>1,gcd(x,y)=1无正整数解(x,y,z).