Melnikov方法和圆型平面限制性三体问题的横截同宿研究*

本文对由两自由度近可积哈密顿系统经非正则变换而得到的,具有高阶不动点的非哈密顿系统给出了判别横截同宿轨和横截异宿轨存在性的两条判据。对原二体质量比很小时近可积圆型平面限制性三体问题,采用本文判据证明存在横截同宿轨,从而存在横截同宿穿插现象;还在一定假设下证明了存在横截异宿轨;并给出了全局定性相图。     

一类离散Hamilton系统的异宿轨与异宿链的存在性

本文利用变分方法研究了一类2阶离散Hamilton系统△~2q(t-1)+V′(q(t))=0的异宿轨和异宿链的存在性.证明了在一般条件下,对V的任一最大值点β,该系统存在多条连接β与V的其他最大值点的异宿轨,并且对V的任意两个最大值点,该系统存在连接这两个点的异宿链.     

非 Hamilton 系统的次谐分叉和马蹄

目前,浑沌理论引起了人们广泛的兴趣,已有一系列理论的结果.判断浑沌的发生通常是检验横截同宿点的存在.最近,严寅、钱敏证明了:对于异宿点,若具有横截 n-环,则同样存在 Smal 马蹄.对于二维的 Hamilton 系统受扰动后,Melnikov 给出了判定 Poincaré映射横截同宿点或异宿点存在的解析工具.本文讨论非 Hamilton 系统:=uv,(?)=1-u~2-v~2在适当的扰动下存在 Smal 马蹄,同时,用 Melnikov 方法讨论了次谐分叉及次谐分叉与马蹄的关系.     

指数二分性与退化情形下的异宿分支

利用指数型二分性理论,研究了较高退化程度下的异宿分支理论;给出了一个能确定系统在退化情形下横截同、异宿轨道存在性的Melnikov向量;提供了一个处理高维退化情形下横截同、异宿轨道存在性的泛函分析方法.     

带慢变角参数摄动平面非Hamilton可积系统的混沌

将Melinikov方法推广到带慢变角参数摄动平面可积系统。基于对未受摄动系统几何结构的分析,建立了横截同宿条件。借助常微分方程组解对参数的可微性定理,得到系统的广义Melnikov函数,其简单零点意味着系统可能出现混沌。     

微分系统的横截异宿轨道与Melnikov函数

文[2,9]讨论了非退化同宿轨道分支出横截同宿轨道。本文讨论了退化异宿轨道分支出横截异宿轨道,推广了文[1]的结果。     

Melnikov向量与退化情形下的横截异宿轨道

利用指数二分性和泛函分析方法,我们研究了当未扰动系统不具有异宿流形的退化异宿分支.我们利用Melnikov型向量给出了系统在退化情形下的横截异宿轨道存在的充分条件.     

带有交错扩散的Leslie-Gower型三种群系统的稳态模式

讨论了带有Neumann边界条件的一类Leslie-Gower型三种群系统,在一定的条件之下,虽然系统对应的扩散(没有交错扩散)系统的唯一正平衡解是稳定的,系统中的交错扩散可导致Turing不稳定性的产生.特别地,建立了该系统非常数共存解的存在性.结果表明,交错扩散可引起系统中出现非常数正稳态解(稳态模式).     

Melnikov向量与退化情形下的横截异宿轨道

利用指数二分性和泛函分析方法,我们研究了当未扰动系统不具有异宿流形的退化异宿分支.我们利用Melnikov型向量给出了系统在退化情形下的横截异宿轨道存在的充分条件.     

三点粗异宿环分支

本文研究高维系统连接三个鞍点的粗异宿环的分支问题.在一些横截性条件和非扭曲条件下,获得了Γ附近的1-异宿三点环, 1-异宿两点环、 1-同宿环和1-周期轨的存在性,唯一性和不共存性.同时给出了分支曲面和存在域.上述结果被进一步推广到连接l个鞍点的异宿环的情况,其中l≥2.     

与三阶特征值问题相联系的Hamiltonian系统

利用特征值问题的非线性化方法,讨论了与三阶特征值问题相联系的Hamiltonian系统,并根据Arnold定理与生成函数方法,证明其在Liouville意义下是完全可积的.然后,借助位势函数与特征函数之间的关系,给出发展方程族的对合解.     

指数二分性与奇异摄动系统的横戳异宿轨道

本文研究奇异摄动系统的横截异宿轨道的存在性,利用指数二分性理论和Liapunov－Schmidt方法,获得了判断奇异摄动系统存在横截异宿轨道的Melnikov型函数,因而推广了一些文献的结果．     

一类带有慢变参数的sine-Gordon方程的单脉冲异宿轨道

基于Fenichel的几何奇异摄动理论,结合Melnikov方法,该文研究一类带慢变参数的sine-Gordon方程单脉冲波前解的存在性.首先,基于几何奇异摄动理论进行快慢分离,获得层系统和退化系统及其动力学;接着,引入Melnikov函数度量慢流形的稳定和不稳定流形的横截相交性,获得Take-off和Touch-down曲线的解析式.控制Take-off和Touch-down曲线使之分别与两个慢流形上鞍点的不稳定和稳定流形横截相交,从而得到奇异异宿轨道的存在性.经摄动,在该奇异异宿轨附近可获得异宿于系统两个不同鞍点的异宿轨道的存在性,从而上述带慢变参数的sine-Gordon方程的单脉冲波前解的存在性可得.最后,考虑了一个具体的例子,验证理论结果的正确性.     

二次可积非哈密顿系统在三次扰动下的Hopf分支

研究含有中心的二次可积非哈密顿系统在三次扰动下的Hopf分支,证明了在中心附近可以出现且至多出现5个极限环.     

非交换微分及可积系统的统一零曲率表示

基于导数的微分在非交换几何、非交换规范理论和可积系统中都有十分重要的作用.本文从一类基于导数的微分出发给出了联络和曲率形式.利用这一理论,作者给出了连续、半离散和离散可积系统的统一零曲率表示.     

同宿流形中的奇异轨道

研究较一般的高维退化系统的同宿、异宿轨道分支问题．利用推广的Melnikov函数、横截性理论及奇摄动理论，对具有鞍—中心型奇点的带有角变量的奇摄动系统，在角变量频率产生共振的情况下，讨论其同宿、异缩轨道的扰动下保存和横截的条件．推广和改进了一些文献的结果。     

T2上的正交分离Hamilton系统

在给定度量的流形T²上得到Liouville可积的正交分离的 Hamilton系统的分类, 并证明在任何紧的能量面上解析Hamilton流具有零拓扑熵. 进一步地, 通过例子显示T²上的可积 Hamilton系统可以有复杂的动力学现象. 例如,它们有多族不变环面, 每一族都由同宿环状柱面和异宿环状柱面所包围. 据知, 这是第1个具体的例子来表现很多族环面在一个复杂的方式下同时出现.     

两点粗异宿环分支

研究了情形的两点粗异宿环的分支问题, 其中和为未扰系统在鞍点pi ( i= 1, 2)处的一对主特征值. 在非扭曲和横截性条件下获得了1条1-周期轨道, 1条1-周期轨道和1条1-同宿环, 2条1-周期轨道以及1条两重 1-周期轨道的存在性. 同时, 还得到了相应的分支曲面和存在域, 给出了相应的分支图.     

一个新的非等谱可积族和一些相关对称

利用李群$M_nC$的一个子群我们引入一个线性非等谱问题,该问题的相容性条件可导出演化方程的一个非等谱可积族,该可积族可约化成一个广义非等谱可积族.这个广义非等谱可积族可进一步约化成在物理学中具有重要应用的标准非线性薛定谔方程和KdV方程.基于此,我们讨论在广义非等谱可积族等谱条件下的一个广义AKNS族$u_t=K_m(u)$的$K$对称和$\tau$对称.此外,我们还考虑非等谱AKNS族$u_t=\tau_{N+1}^l$的$K$对称和$\tau$对称.最后,我们得到这两个可积族的对称李代数,并给出这些对称和李代数的一些应用,即生成了一些变换李群和约化方程的无穷小算子.     

新(2+1)-维超可积系统的生成

本文利用二项式残数表示方法生成(2+1)-维超可积系统. 由这些系统得到了一个新的(2+1)-维超孤子族,它能约化为(2+1)-维超非线性Schrodinger方程. 特别地,我们得到两个具有重要物理应用的结果,一个是(2+1)-维超可积耦合方程,另一个是(2+1)-维的扩散方程. 最后借助超迹恒等式给出了新(2+1)-维超可积系统的Hamilton结构.