具有细链双曲无穷远鞍点的二次系统

本文得到：具有细链双曲无穷远鞍点和一个细焦点的二次系统至多存在一个极限环,若有细无穷远分界线环S,则其内部不存在极限环,其稳定性与它包围的奇点的稳定性相反．     

关于平面二次系统的极限环

关于常微分方程二次系统的极限环及分布结构,本文得到下述定理: 设有一个三阶细焦点,并且无限远奇点是唯一的简单的奇点,则必存在另外一个粗焦点。在粗焦点外有奇数个极限环,无限远奇点为鞍点,全局结构已定。 在上述的基础上对方程作参数的微小变化,使三阶细焦点跳出三个极限环,则得二个粗焦点,每个外面有奇数个极限环,总极限环数为偶数个,并至少为4个,全局结构已定。     

二次系统极限环的分布与个数问题

本文证明了若二次系统的有限远奇点多于二个且构成凹四边形或三角形，则当它在发散量符号相反的二个焦点外围同时存在极限环时，必在其中一个焦．点外围有唯一极限环；又若该系统的无穷远奇点多于一个，则当它在二个焦点外围同时存在极限环时，必在其中一个焦点外围有唯一极限环，并在张平光1993年文的基础上得到；若二次系统的有限远奇点多于二个；或无穷远奇．点少于二个，则该系统之扳限环不可能出现(2i，2j)分布，     

分界线环的稳定性和分支极限环的唯一性

本文证明若在鞍点处发散量保持为零,则在分界线环L_0分支出极限环的过程中发散量积分是连续的,因而当发散量沿L_0的积分不为零时,L_0产生的极限环是唯一的。本文还证明,仅由细鞍点的阶数和鞍点量的符号并不能给出判定过细鞍点的单叶(双叶)同宿分界线环的内侧(内外侧)稳定性的普适准则。最后证明具有以细鞍点为重点的不可约三次代数曲线解的二次微分系统必可积;二次系统的同宿分界线环因改变稳定性而生成的极限环是唯一的。     

具有二个焦点的二次系统

本文证明了具有二个焦点的二次系统,若其无穷远奇点多于一个,则必在其中一个焦点外围至多有一个极限环,再由作者以前的文章得到：二次系统之极限环不可能出现（２ｉ,２ｊ）分布（ｉ,ｊ＝１,２,……）。     

关于平面二次系统的极限环

本文对只有两个焦点和一个无限远鞍点的二次系统,用全局分析的方法得出极限环大范围存在的二组新型条件.在此基础上,联合Баутин,秦元勋扰动细焦点产生极限环的方法,在参数空间中找到一个十二维和一个十一维的流形,使对应的二次系统至少有四个极限环.顺便指出:Баутин算错了V₇的符号,它直接影响一个极限环的存在性.     

二次系统极限环的相对位置与个数

<正> 中的P_2(x,y)与Q_2(x,y)为x,y的二次多项式.文[1].曾指出,系统(1)最多有三个指标为+1的奇点,且极限环只可能在两个指标为+1的奇点附近同时出现.如果方程(1)的极限环只可能分布在一个奇点外围,我们就说此系统的极限环是集中分布的.本文主要研究具非粗焦点的方程(1)的极限环的集中分布问题,和极限环的最多个数问题.文[2]-[5]曾证明,当方程(1)有非粗焦点与直线解或有两个非粗焦点或有非粗焦点与具特征根模相等的鞍点时。方程(1)无极限环.本文给出方程(1)具非粗焦点时,极限环集     

二次系统极限环线的(3,1)分布

<正> 文[1],[2]指出:在有限部分具有两个奇点,在无穷远只有一个简单奇点,而且是鞍点情况下,二次系统可以至少出现四个极限环,且呈(3,1)分布结构.文[1]举出二阶细焦点方程,文[2]举出三阶细焦点方程,都用[?]扰动方法使极限环产生(3,1)分布结果.     

二次微分系统的细焦点的一个重要性质

本文用Dulac函数方法证明:若二次微分系统有两个细焦点(即对应的线性系统在此奇点有一对纯虚根),则每一个细焦点的阶数都是一。同时我们也给L.A.Cherkas的一个已知的结果:“当二次系统有两个细焦点时,它必无极限环”以十分简单的证明。     

具有二个焦点的二次系统极限环的分布与个数

本文证明了具有二个焦点的二次系统必在其中一个焦点外围至多有一个极限环这一猜想．从而得到具有二个焦点的二次系统之极限环必是（Ｏ,ｉ）或（１,ｉ）分布（ｉ＝ ０, １, ２,）．     

一类具有二阶细焦点的二次系统

文[2]已经证明,具有三阶细焦点的二次系统(叶彦谦形式)当n=0时不存在极限环。本文继续运用文[2]的方法,得到了具有二阶细焦点的二次系统当n=0时在二阶细焦点外围存在极限环的条件和不存在极限环的条件,同时证明这种系统在其他奇点外围不存在极限环。     

二次系统的细鞍点与分界线环

类似于扰动法,P.Joyal引进了细鞍点的鞍点量概念,并讨论了鞍点量与经过该鞍点的同宿轨道(即只经过一个鞍点的分界线环,记为S~((1))产生极限环的个数之间的关系.本文给出二次系统的鞍点量用系数表示的公式,为研究二次系统的分界线环在何种条件下能扰动出极限环及其个数提供了重要的工具.     

二次系统二阶细焦点外围极限环的唯一性

本文证明了平面二次系统二阶细焦点外围至多存在一个极限环这一猜想,并证明了若第二、第三焦点量的乘积大于零,则在二阶细焦点外围不存在极限环．     

一类Leslie模型的定性分析

对一类Leslie模型进行定性分析，研究了其极限环的存在性，不存在性和唯一性．证明了该系统在细焦点外围至多有一个极限环，以及如果系统有奇数个极限环，则它恰有一个极限环．     

一类具细焦点的三次系统极限环的唯一性

继续相关文献的工作,给出与二次系统Ⅰ相伴的一类三次系统在奇点N(0,1/n)的焦点量公式,证明了系统在细焦点N外围至多有一个极限环,同时证明了当N或O为细焦点时,系统在另一个焦点外围无极限环,结合相关文献的结论,说明了具有细焦点的该系统在全平面至多有一个极限环.     

一类二次系统二点环S~((2))的稳定性

本文研究二次系统的二点环S(即过二个鞍点的分界线环,其内侧构成return map)。得到如下主要结果 1.若S过二个有限远奇点,则S的稳定性与它包围的奇点的稳定性相反。 2.有二个非双曲型无穷远奇点的二次系统至多有一个极限环.若有S,它的稳定性与其包围奇点的稳定性相反。 3.给出了一类过二个双曲型无穷远奇点的S之稳定(不稳定)的参数条件。     

一类四次系统极限环的个数与分布

本文研究一类四次系统的极限环,通过计算四次系统鞍点分界线之间的有向距离,计算一阶焦点量及二阶焦点量,判别同宿轨内外的稳定性,利用分支理论与定性分析技巧发现这类系统有六个极限环,并给出了它们的分布.     

一类四次系统极限环的个数与分布

本文研究一类四次系统的极限环,通过计算四次系统鞍点分界线之间的有向距离,计算一阶焦点量 及二阶焦点量,判别同宿轨内外的稳定性,利用分支理论与定性分析技巧发现这类系统有六个极限环, 并给出了它们的分布．     

一类具有中心的三次系统

本文证明了一类缺二次项的三次系统当原点为中心时,中心与细焦点不能共存。同时给出了原点为中心的情况下系统(1)具有多中心的充要条件,并证明此时系统(1)不存在极限环、焦点和结点。     

平面折射系统极限环的存在和唯一性

本文考虑平面折射系统的极限环个数问题.根据左、右子系统的动力学性态,可以将其分为如下6种类型:焦点-焦点、焦点-鞍点、焦点-结点、鞍点-鞍点、鞍点-结点和结点-结点.利用Poincaré映射,本文证明折射系统为焦点-结点情形时最多存在1个极限环.