改进的R.Nevanlinna第二基本定理

设ｆ（ｚ）是超越亚纯函数，ｎ为任一非负整数，ε为任意正数，ａ＾（ｉ）ｒ＝（ｖ＝１，２，…，ｑｉ，ｉ＝０，１，…，ｎ）均为有穷非零复数，满足ｍｉｎ／１≤ｖ１＜ｖ２≤ｑｉ｜ａ＾（ｉ）ｖ１－ａ＾（ｉ）ｖ２｜≥δ＞０，ｉ＝０，１，…，ｎ。若ｆ（０）≠０，∞，П＾ｎｉ＝１ｆ（ｉ）（０）≠０，则对０＜ｒ＜＋∞有ｍ（ｒ，ｆ）＋ｍ（ｒ，１／ｆ）＋Σ＾ｕｉ＝０Σ＾ｑｉｒ＝１ｍ（ｒ，ａ＾（ｉ）ｖ，ｆ＾（ｉ）≤（２＋ε     

贪婪t－相交有限序列族

设Ｆ为有限序列族，对ａ＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ）∈Ｆ，ａｉ为整数且０≤ａｉ≤ｓｉ（整数），记ｓ（ａ）＝｛ｊ｜１≤ｊ≤ｎ，ａｊ＞０｝，ｓ（Ｆ）＝｛ｓ（ａ）｜ａ∈Ｆ｝，及Ａ｛１，２，…，ｎ｝时Ｗ（Ａ）＝Пｉ∈Ａｓｉ．称Ｆ为贪婪ｔ－相交，如对任何ａ，ｂ∈Ｆ，至少有ｔ个ａｉ，ｂｉ＞０，且Ｗ（Ａ）≥Ｗ（（｛１，２，…，ｎ｝－Ａ）＋Ｂ）对任何Ａ∈Ｓ（Ｆ）及ＢＡ（｜Ｂ｜＝ｔ－１）成立．本文得到当ｓ１＞ｓ２＞…＞ｓｎ时的最大贪婪ｔ－相交有限序列族．     

第35届IMO试题和解答

第３５届ＩＭＯ试题和解答１（法国）设ｍ和ｎ是正整数，ａ１，ａ２……，ａｍ是集合｛１，２，…，ｎ｝中的不同元素，每当，就有某个ｋ，１≤ｋ≤ｍ，使得求证．证明不妨设ａ１＞ａ２＞……＞ａｍ．关键在于证明，对任意ｉ，当≤ｉ≤ｍ时，有用反证法。若存在某个ｉ，１...     

随机阵列最大部分和的矩不等式和概率不等式

设Ｘｉｊ，ｉ＝１，…，ｍｌｊ＝１…，ｎ是任决一个随机变量阵列，令Ｓ（ｉ１，ｊ１；ｉ２，ｊ２）∑ｉ＝１，∑ｊ＝１Ｘｉｊ，Ｍ（ｉ１，ｊ１；ｉ２，ｊ２）ｍａｘｉｊｚ≤ｉ≤ｉ２，ｊ１≤ｊ≤ｊ２‖Ｓ（ｉ１，ｊ１；ｉ，ｊ）‖１≤ｉ１≤ｉ２≤ｍ，１≤ｊ１≤ｊ２≤ｎ）本文根据所设Ｅ（ｅｘｐ（ｔ，／Ｓ（ｉ１，ｊ１；ｉ２ｊ２）／）），Ｅ／Ｓ（ｉ１，ｊ１；ｉ２，ｊ２）／和Ｐ（？Ｓ（ｉ１，ｊ１；ｉ２，ｊ２?／≥ ｉ）的界     

子集的交叉t－相交定理

设Ｘ为一个ｎ元集合，Ｃｎｋ为Ｘ的所有ｋ元子集全体，若Ａ∈Ａ，Ｂ∈Ｂ有｜Ａ∩Ｂ｜≥ｔ，则称（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族．本文得到最大交叉ｔ－相交子集族和最大非空交叉２－相交子集族．证明如下两个结论．（１）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族，且ａ≤ｂ及ａ＋ｂ≤ｎ＋ｔ－１，则｜Ａ＋Ｂ｜≤ｍａｘ｛（ｂｎ），（ａｎ）｝，且当（Ａ；Ｂ）＝（φ，Ｃｎｂ）或（Ｃｎａ，φ）时达到上界．（２）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉２－相交子集族，且ａ＜ｂ，ａ＋ｂ≤ｎ－１及（ｎ，ａ，ｂ）≠（２ｉ，ｉ－１，ｉ）（ｉ为任意正整数），又Ａ，Ｂ均非空，则｜Ａ＋Ｂ｜≤１＋（ｂｎ）－（ｂ（ｎ－ａ））－ａ（（ｂ－１）（ｎ－ａ））且当（Ａ，Ｂ）＝（｛Ａ｝，Ｃｎｂ－｛Ｂ｜｜Ｂ｜＝ｂ，｜Ａ∩Ｂ｜≤１｝）时达到上界．     

用初等变换进行矩阵的QR分解

引理引理１〔１〕设Ａ＝（α１，α２，…，αｎ）的列向量是Ｒｎ的一个基，可以用第三种列初等变换（Ｔｋ（ｉ）＋（ｊ），ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ，ｉ＜ｊ），求得可逆矩阵Ｐ，使得Ｂ＝ＡＰ＝（β１，β２，…，βｎ）的列向量为Ｒｎ的一个正交基，且βｊ可由α１，α２...     

空间闭折线与其内点闭折线周长间的一个关系

我们把依次连接折线各边内点所得的折线称之为内点折线．那么,任意一条封闭折线（不一定是平面的）,它的内点折线的周长与原折线的周长之间有什么样的关系呢？本文将探讨此问题． 为此,先给出如下引理： 引理 １ △ＡＢＣ中,ＡＢ＋ＡＣ≤ ＢＣ·ｃｓｃＡ／２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号． 证明 在△ＡＢＣ中,由余弦定理,得ＢＣ～２＝ＡＢ～２＋ ＡＣ～２—２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓ Ａ 引理２ 设Ｐ１＞０,ａ１＞０（ｉ＝１,２,…,ｎ）,则 引理２是加权幂平均不等式Ｍ１（ａ,ｐ）≤Ｍ２（ａ,ｐ）,在许多文献（例如文［１］…     

一个二维整数瓶颈问题及其算法

本文讨论了数学模型：ｍａｘ｛ｆ（ｘ）│ｆ（ｘ）＝ｍｉｎ（１≤ｊ≤ｎ）〔ｃ１ｊｘ１ｊ＋ｃ２ｊｘ２ｊ〕，ｘ∈Ｄ｝，其中Ｄ＝｛ｘ│ｘ＝｛ｘｉｊ｝，ｎΣ（ｊ＝１）ｘｉｊ＝ａ，ｉ＝１，２，ｘｉｊ≥０且为整数｝，并给出了一个拟多项式算法。     

一个不等式的推广及应用

定理１若ａｉ∈Ｒ（ｉ＝１，２，３，…，ｎ），则ａ１＋ａ２＋…＋ａｎｎ≤ａ２１＋ａ２２＋…＋ａ２ｎｎ．那么，不等式ａ１＋ａ２＋…＋ａｎｎ≤ｍａｍ１＋ａｍ２＋…＋ａｍｎｎ是否成立呢？我仔细查阅了《数学手册》等有关资料未发现这个不等式，经过研究发现这个不等...     

关于正项式a_（ik）~a的几个不等式

关于正项式ａ_（ｉｋ）~ａ的几个不等式贵州民族学院周如银众所周知，若，则有下面的加权平均值不等式等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立．利用这一结论，可导出下面的结果．引理设ａｉ、ｂｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），ａ＋１＞０，ａ＜０，则等号当且仅当ａ...     

自然数n的分拆数

自然数ｎ的分拆数陈皓（湖北邮电学校普通室）本文研究自然数ｎ的分拆数的计算方法．定义把自然数ｎ写成ｋ个不小于ｒ的非负整数ａ１，ａ２，…，ａｋ之和（假定ｒ≤ａ１≤ａ２≤…≤ａｋ）则称（ａ１，ａ２，…ａｋ）为ｎ的一个（ｋ，ｒ）分拆，把”的（ｋ，ｒ）分拆数记...     

对称本原有向图的广义本原指数集

本文证明了全体ｎ阶对称本原有向图的第ｋ个第一类（１≤ｋ＜ｎ－１）、第二类（１≤ｋ≤ｎ－１）和第三类（２≤ｋ≤ｎ－１）广义本原指数的指数集分别是｛１，２，…，ｎ－２＋ｋ｝和｛１，２，…，２（ｎ－ｋ）｝，其中「ａ］表不小于ａ的最小整数，［ｂ］表不大于ｂ的最大整数。     

数学奥林匹克讲与练(22)

例题讲解１６９．ｎ个不同的实数组成一个递增序列写在第１行．将此序列的各项重排后写在第１行的下面,使各项依次对齐,作为第２行．再将这两行的各项分别相加,得到的ｎ个和数写下作为第３行．结果发现第３行的数也排成了递增的序列．求证：第１行与第２行的序列完全一致．证明　设第１行为ａ１＜ａ２＜…＜ａｍ＜ａｍ＋１＜…＜ａｎ,第２行为ｂ１,ｂ２,…,ｂｎ,它是ａ１,…,ａｎ的重排,则第３行为ａ１＋ｂ１＜ａ２＋ｂ２＜…＜ａｎ＋ｂｎ．若ａ１≠ｂ１,则有ａ１＝ｂｍ（２≤ｍ≤ｎ）．于是对每个ｉ：１≤ｉ≤ｍ－１,ａ１＋ｂ…     

一组互相关联的不等式命题

大家知道，由ｎ元均值不等式可方便地得到如下一个不等式：设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），则∑ｎｉ＝１ａｉ∑ｎｉ＝１１ａｉ≥ｎ２；（１）不等式（１）相当有用，对它作适当代换，可引出一组互相关联的不等式命题；首先，对（１）作代换（Ｓ－ａ１，Ｓ－ａ２，…，Ｓ－ａｎ）→（ａ１，ａ２，…，ａｎ），其中Ｓ＝∑ｎｉ＝１ａｉ，得命题１　设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），∑ｎｉ＝１ａｉ＝Ｓ，则∑ｎｉ＝１１Ｓ－ａｉ≥ｎ２（ｎ－１）Ｓ　；（２）证明　由（１），∑ｎｉ＝１（Ｓ－ａｉ）∑ｎｉ＝１１Ｓ－…     

数学奥林匹克讲与练(19)

例题讲解１４５．给定实数ａ１，…，ａｍ；ｂ１，…，ｂｎ及正数ｐ１，…，ｐｍ；ｑ１，…，ｑｎ，组成一个ｍ×ｎ的数表，其位于第ｉ行、第ｊ列的一个数为ａｉ＋ｂｊｐｉ＋ｑｊ（ｉ＝１，２，…，ｍ；ｊ＝１，２，…，ｎ）．求证：在此数表中存在一个数，它不小于与其同行的任意一个数，又不大于与其同列的任意一个数．证法１　我们要在ｍ×ｎ的数表中找出一数ｘ＝ａｋ＋ｂｌｐｋ＋ｑｌ，满足条件ａｋ＋ｂｊｐｋ＋ｑｊ≤ｘ　（１≤ｊ≤ｎ）ａｉ＋ｂｌｐｉ＋ｂｌ≥ｘ　（１≤ｉ≤ｍ）（１）将两式变形为ｐｋｘ－ａｋ≥－ｑｊｘ＋…     

厄米特矩阵的迹的几点性质

应用矩阵Ａ＝（ａｉｊ）∈Ｃｎ×ｎ的弗罗伯尼范数ＡＦ和谱范数ＡＳ，研究厄米特矩阵的迹的性质，得到几个结论：Ｔｒ（ＡＢ）＝∑ｎｉ＝１λｉ∑ｎｊ＝１ｔｉｊμｊ（λｉ，μｊ分别为Ａ，Ｂ的特征值，０≤ｔｉｊ≤１，且∑ｎｉ＝１ｔｉｊ＝１，ｊ＝１，２，…，ｎ）；Ｔｒ（ＡＢ）≤Ｔｒ（Ａ）ＢＳ；Ｔｒ（ＡＢ）Ｈ（ＡＢ）］≤Ｔｒ（ＡＨＡ）［ｍａｘ１≤ｉ≤ｎλｉ］２（λｉ是Ｂ的特征值）等．     

两个不等式的简捷证法

下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明．本文给出直接简捷的证明．命题１　设ｘｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）且ｘ２１１＋ｘ２１＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ＝ａ（０＜ａ＜ｎ）,求证：ｘ１１＋ｘ２＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ≤ａ（ｎ－ａ）①证　由题设易知：１１＋ｘ２１＋１１＋ｘ２２＋…＋１１＋ｘ２ｎ＝ｎ－ａ．由于　１１＋ｘ２ｋ＋ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｘ２ｋ　　≥２１１＋ｘ２ｋ·ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｋ２ｋ　　＝２ｎ－ａａ·ｘｋ１＋ｘ２ｋ）（ｋ＝１,２,…,ｎ）,此ｎ式相…     

一个新颖不等式的加强

本刊“数学问题解答”栏第１１２９题给出了函数组ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ的新颖不等式ｍａｘ１≤ｉ≤ｎ｛ｘｉ｝（ｘ１＋２ｘ２＋…＋ｎｘｎ）≥１２（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）２（１）本文给出式（１）的一个加强,得到定理　设０≤ｄ≤２,ｘｉ＞０,１≤ｉ≤ｎ,则ｍａｘ１≤ｉ≤ｎ｛ｘｉ｝（ｘ１＋（１＋ｄ）ｘ２＋…＋（１＋（ｎ－１）ｄ）ｘｎ）≥（ｎ－１）ｄ＋２２ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）２（２）等号成立当仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ．证　视（２）式左边减去右边所得的差为ｄ的函数,记作ｇ（ｄ）;显见ｇ（ｄ）是一个线性函数;…     

巧构函数解一类三角问题

定理设ｆ（ｘ）＝ａ１ｓｉｎ（ｘ＋α１）＋ａ２ｓｉｎ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｓｉｎ（ｘ＋αｎ）（或ｆ（ｘ）＝ａ１ｃｏｓ（ｘ＋α１）＋ａ２ｃｏｓ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｃｏｓ（ｘ＋αｎ））（ａｉ,αｉ是常量,ｉ＝１,２,…,ｎ）．如果对ｘ１,ｘ２（ｘ１－ｘ２...     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法郭慧清（广东深圳市深圳中学５１８０２５）设ａｉ，ｂｉ∈Ｒ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有（ａ２１＋ａ２２＋…＋ａ２ｎ）（ｂ２１＋ｂ２２＋…＋ｂ２ｎ）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２这是众所周知的柯西不等式，若令ａｉ＝ｘｉｙｉ...