有关圆锥曲线的选择题

1.不论a取任何实数,方程x~2+2y~2sina=1所表示的曲线必不是__。 (A)直线;(B)圆;(C)抛物线;(D)双曲线。 2.曲线C与抛物线y~2=4x-3关于直线y=x对称,则C的方程是__。 (A)x~2=4y-3;(B)y=4x~2-3; (C)x=3y~3-3;(D)x=1/4(y~2+3)。 3.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y~2=2x的焦点,P点在抛物线上移动,若|PA|+|PF|取最小值,则点P的坐标是 (A)(0,0);(B)(1/2,1); (C)(1,1);(D)(2,2)。 4.方程y=|1-x~2|~1/2的图象是__。     

x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx的应用

“一般向特殊”的推理称作演绎推理,一个公式在特值(或部分特值)下的应用称作演绎应用。在教学过程中不失时机地向学生介绍公式的演绎应用,无论是丰富知识,还是培养能力,都是有益的事。对不等式 x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx(当且仅当x=y=z时取等式)作演绎变换,如取 z=c(常数),可得不等式 x~2+y~2+c~2≥xy+c(x+y) (当且仅当x=y=c时取等号)。这个“演绎不等式”有多种用途。例1 (解特殊的二元二次方程)解方程 9x~2+6xy+4y~2-3cx+2cy+c~2=0。解原方程化为 (3x)~2+(-2y)~2+c~2 =(3x)(-2y)+c(3x-2y)。由演译不等式可知,等号成立的条件是:3x=-2y=c。故原方程的解为     

换元法在证明代数等式中的应用

在证明代数恒等式时,适当地运用换元法进行变量置换,有时能使思路清晰过程简捷,现举例说明於下。一、通过换元,把多项式的项数减少或次数降低,可简化证明过程。例1,求证(1 x x~2 x~3)~2-x~3=(x~2 x 1)(x~4 x~3 x~2 x 1) (证明)设1 x x~2=y,则左边=(y x~3)~2-x~3=y~2 2x~3y x~6-x~3 =y~2 2x~3y x~3(x~3-1)=y~2 2x~3y x~3(x-1)(x~2 x 1) =y~2 2x~3y x~3(x-1)y =y(y 2x~3 x~4-x~3) =y(y x~3 x~4)=(1 x x~2)(1 x x~2 x~3 x~4) =右边。例2。求证x(x 1)(x 2)(x 3) 1 =(x~2 3x 1)~2     

从(x±1)(x~2±x+1)=x~3±1谈起

乘法公式中有 (x+1)(x~2-x+1)=x~3+1,(x-1)(x~2+x+1)=x~3-1。等式两边互换,就得到因式分解 x~3+1=(x+1)(x~2-x+1),x~3-1=(x-1)(x~2+x+1)。进而有 x~4+1=(x+1)(x~3-x~2+x-1),x~4-1=(x-1)(x~3+x~2+x+1)。推广这些公式,可以得到定理1 (1)对任意正整数n,有 x~n-1=(x-1)(x~(n-1)+x~(n-2)+…+x+1)     

1984年湖北省省市初中数学联赛试题答案

第一试(试题见本刊第5期) 一选择题 1.(B); 2.(C); 3.(D); 4.(B); 5.(A); 6.(C); 7.(B); 8.(D); 9.(A); 二解:y=|x-1|+|x-3|+(4x~2+4x+1)~(1/2)=|x-1|+|x-3|+|2x+1|=-4x+3 (x<-1/2)5 (-1/2≤x≤1)2x+3 (1≤x<3)4x-3 (x≥3) ∴当-1/2≤x≤1时y=|x-1|+|x-3|+(4x~2+4x+1)~(1/2)恒等于常数5。三、证明∵ABCD为圆外切四边形∴AB+CD=BC+DA(见下图) 两边平方:AB~2+2AB·CD+CD~2=BC~2+2BC·DA+DA~2 (1) 又∵AC⊥BD ∴AB~2-AB~2+BE~2,BC~2=BE~2+CE~2,     

我也把这个问题搞清楚了

原题函数y=x~3-3x~2+6x-7的图象是中心对称图形,其对称中心的坐标为____.分析配立方得,y=(x-1)~3+3(x-1)- 3,原函数图象是由奇函数y=x~3+3x的图象按向量(1,-3)平移而来.奇函数图象为中心对称图形,对称中心为坐标原点,所以原函数图象为中心对称图形,对称中心为(1,-3).     

2004年第二期初中数学问题解答

一、如果x+1x =3 ,求 x2x4+x2 +1 的值 .解 :x2x4+x2 +1 =x2(x2 +1 ) 2 -x2 =1(x+1x) 2 -1=13 2 -1 =18.答 :略 .二、设y=|x -1 |+|x -3 |+4x2 +4x +1 ,试求使y值恒等于常数时 ,x的取值范围 .解 :∵y =|x-1 |+|x-3 |+4x2 +4x +1=|x-1 |+|x-3 |+|2x+1 |.要使y的值恒等于常数 ,必需在去绝对值后式中不含x的项 ,所以得①x-1≤ 0 ,x-3≤ 0 ,2x+1≥ 0 ;　或　②x-1≥ 0 ,x-3≥ 0 ,2x+1≤ 0 .①解得 -12 ≤x≤ 1 ;②无解 .因此 ,当 -12 ≤x≤ 1时 ,y的值恒等于常数 :y=-(x -1 ) -(x -3 ) +( 2x +1 ) =5 .答 :略 .三、△ABC中 ,∠A是最小角 ,∠B…     

一类三次系统的极限环

本文讨论了一类三次系统 x=-y(1-αx~2)+δx-ιx~3,y=x(1-βx~2)和 x=-y(1-ax)(1-bx)+δx-ιx~3,y=x(1-cx)(1-bx)的极限环问题。     

对《巧求值》的指正和另解

<正>《中学生数学》2013年第6期(下)刊载的《智慧窗》第三题《巧求值》及"解答"如下:题目已知:x2-4x-3=0,y2-6y+2=0,求x2+2y2+4x-4y-2的值.参考答案将x2-4x-3=0化为(x+2)2-8(x+2)+9=0.将y2-6y+2=0化为(y+1)2-8(y+1)+9=0.因此,x+2,y+1是一元二次方程t2-8t+9=0的两个根.     

方程x_0x=p(y+y_0)的几何意义

1方程x_0x=P(y+y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)在点P(x_0,y_0)处的切线方程在现行高中数学教材中,利用导数的意义,证明了如下性质:性质1 P(x_0,y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)上一点,则抛物线过点P的切线方程为x_0x= p(y_0+y).     

判别式和曲线族的包络

“已知圆方程x~2+y~2-2(2m+1)x-2my+4m~2+4m+1=0(m∈R,),求所有圆的公切线方程。” 这是一道并不太难的解析几何题,有一位同学提出如下独特的解法: 解:把方程按m整理,得4m~2-(4x+2y-4)m+(x~2+y~2-2x+1)=0,由△m=(4x+2y-4)~2-4×4×(x~2+y~2-2x+1)=0化简得y(4x-3y-4)=0,     

直线方程x=my+a的重要功能

解析几何中关于直线过x轴上定点(a,0)的问题,一般同学都用常规的点斜式法设直线方程为y=k(x-a).这种设法会使运算较为繁琐,有时还会陷入僵局.例1　已知过定点P(2,0)的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值.图1解　设直线y=k(x-2)与抛物线方程y2=4x联立,　　y=k(x-2)y2=4x(1)(2)消去y得k2x2-4(k2 1)x 4k2=0.(3)因为　S△AOB=12|OC|.|AB|,而　|AB|=|x1-x2|k2 1=42k2 1k2k2 1,　　|OC|=|2k|k2 1,(这里运算量很大,中间过程已省略)所以　S△AOB=12.42k2 1k2k2 1.|2k|k2 1=42k2 1|k|=42 1k2→42.我们发现达不…     

问题与解答

一本期问题 1 已知一直角三角形的面积为S,周长为l,求以二直角边为二根的一元二次方程。 2 求证(π-3.1415926) (π-3.1415927)≥-2.5×10~(-15) 陕西富平美原中学八五级郭翔宇提供 3 若x、y为实数,且有 y=(1-x~2)~(1/2)+(x~2-1)~(1/4)/2x-3求log_(1/2)(x+y)的值. 4 已知2x+5y+4z=0.3x+y-7z=0,求证 x+y-z=0. 5 已知锐角△ABC中有cosA+cosB-cos(A+B)=3/2,求证△ABC为等边三角形。     

直线方程(选择题五道)

1.已知三点A(3,0)、B(12.-3),C(6,y)的坐标都适合方程x+By+C=0(B,C为常数),则y的值为 (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1 2.和直线3x+4y+5=0关于y轴对称的直线的方程是 (A)3x-4y=5=0 (B)3x-4y+5=0 (C)3x+4y-5=0 (D)4x+3y+5=0     

数学诡辩

解方程1/(x-10)+1/(x-6)=1/(x-7)+1/(x-9)。解:两边分别通分,得2x-16/(x~2-16x+60)=2x-16/(x~2-16x+63)因分子相等,则分母相等:x~2-16x+60=x~2-16x+63。60=63.不可能,所以原方程无解。另一方面,当x=8时,方程左边=1/(x-10)+1/(x-6)=-1/2+1/2=0方程右边=1/(x-7)+1/(x-9)=1-1=0可见x=8是原方程的一个根。那么这个根     

初中数学总复习(二)——(方程(组)与不等式(组))

一、填空题 1.(江西)若(x 2)~(1/2)=-x,那么x=_______. 2.(山西)已知x~2 y~2 4x-6y 13=0,x,y为实数,则x~y=_______. 3.(山西)若关于x的方程8x~2-(10-|m|)x m-7=0有二根互为相反数,则m=_____ 4.(呼和浩特)二次方程2x(kx-4)-x~2 b=0没     

浅谈解题中辅助方程的制作

有些练习题所要求解决的问题,表面上看并非属于某类方程。但是,如果在解题过程中,适当地制作辅助方程,可能使问题解决得更为方便一些。例如在实数范围内将二次多项式3x~2-5x-11分解为两个一次因式的乘积。我们引进一个辅助方程3x~2-5x-10=0,应用公式解得 X=5±(157~(1/2)),于是得到 3x~2-5x-11=3(x-(5+157~(1/2))/6 x-(5-(157~(1/2))/6 又如,解方程组x+y=a,xy=b.时,可制作一种方程u~2-au+b=0,求得u_1、u_2,从而方便地得到方程组的二解为x=u_1,y=u_2;及x=u_2,y=u_1。再如求函数y=ax~2+bx+c的极值时,我们     

一道题的错解分析

例题设P(x,y)在椭圆x~2/16+y~2/9=1上,试求f(x,y)=x+y的最值.分析本题是已知变量x和y,求f(x,y)=x+y的范围,于是思考两个变量的范围.错解一由于x~2/16+y~2/9=1,所以x~2/16≤1,y~2/9≤1,则-4≤x≤4,-3≤x≤3,     

代数替换证不等式

证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x     

拓宽思维领域 注重知识迁移——对2013年全国新课标卷Ⅱ文科第10题的探究与反思

一、问题提出 题目 (2013全国新课标卷Ⅱ文-10)设抛物线C∶y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF| =3|BF|,则l的方程为() A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√3/3(x-1)或y=-√3/3(x-1) C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1) D.y=√2/2(x-1)或y=-√2/2(x-1) 本题属中等难度题,主要考查直线与抛物线相交的问题.这类题型一直是高三复习的难点,也是近几年高考的热点,许多考生对这类题型怀有恐惧心理,认为计算繁琐,“死磕”这道题得不偿失.笔者开始也认为这道题常规解法的运算量较大,后来拓宽思维领域,并迁移其他知识进行整合探究,发现此题还有独特解法.