浅谈分式方程的增根与无解

增根与无解是分式方程中常见的两个概念,同学们常常会对这两个概念混淆不清,现举例说明它们之间的区别和联系.例1解方程6/x-1-x+5/x(x-1)+3x=0.解方程两边都乘以x(x-1),得6x-(x+5)+3(x-1)=0.解这个方程,得x=1.经检验,当x=1时,原方程无意义,所以x=1是原方程的增根.∴原方程无解.     

一元一次方程有两个根

题:解方程x+2x~(1/2)=1 解:原方程变形为2x~(1/2)=1-x, 两边平方得:2x~2=1-2x+x~2 即x~2+2x-1=0,解得x=-1±2~(1/2)。     

解分式方程常见错误点击

一、运用不正确的检验方法例1 解方程6/(x2-1)-3/(x-1)=2/(x 1)．错解去分母,得6-3(x 1)=2(x-1)．整理,得 -5x=-5, 即 x=1．检验把x=1代入原式去分母后所得方程6-3(x 1)=2(x-1)中, 左边=0,右边=0．所以,x=1是原方程的根．     

应用平均值换元巧解方程

本文通过举例说明平均值换元在解一类方程中的妙用。 例1 解方程 (x~2 2x-2)(x_2 4x 6)=3(x 4)~2 解 设t=1/a[(x~2 2x-2) (x~2 4x 6)]=x~2 3x 2,则原方程化为[(t-(x 4)]·[t (x-4)]-3(x 4)=0 t~2-4(x 4)~2=0,即[t 2(x 4)][t-2(x 4)]=0,     

几何级数及其某些应用

在几何级数1/(1-x)=1+x+x~2+…+x~(n-1)+…(-1相似文献   

运用“ab=0 a=0或b=0”时应注意之点

同学们常运用“ab=0a=0或b=0”原理解题,如解方程2x~2-5x 2=0(2x-1)(x-2)=02x-1=0或x-2=0方程的解为{1/2,2},即是两个“选择方程”解的并集。在这里,分别解两个“选择方程”时,似乎彼此不管,总是这样吗?试看下例: 解方程:①(2x~2-5x 2)(x-2)~0=0; ②(tgx 1)(arcsinx-π/3)=0, 解①由原方程得2x~2-5x 2=0或(x-2)~0=0。由第一个方程得x=1/2、2,第二个方程     

初中数学总复习(二)——(方程(组)与不等式(组))

一、填空题 1.(江西)若(x 2)~(1/2)=-x,那么x=_______. 2.(山西)已知x~2 y~2 4x-6y 13=0,x,y为实数,则x~y=_______. 3.(山西)若关于x的方程8x~2-(10-|m|)x m-7=0有二根互为相反数,则m=_____ 4.(呼和浩特)二次方程2x(kx-4)-x~2 b=0没     

分式方程的另类解法

例1(2011年辽宁·大连卷)解方程5x-2+1=x-12-x.一般解法方程两边同乘(x-2),得5+(x-2)=-(x-1).解得x=-1.检验x=-1时,x-2=-3≠0,x=-1是原分式方程的解.另类解法原方程可变为5x-2+1-x-12-x=0.即5x-2+x-2x-2+x-1x-2=0.即2x+2x-2=0.则有2x+2=0,且x-2≠0,故x=-1.点评第一种办法在去分母后变成整式方程,而整式方程与原分式方程可能不"同解"(即"整式方程的根"对于原分式方程可能是"增根(此时的根会让分母为0)"),因此必须"验根";     

根式方程的简捷解法

贵刊1984第8期刊出《根式方程解法集锦》文给出要式方程几种简捷解法读后很受启发。根据自己教学实践其给出如下二种解法作为对该文的补充。一、辅助等式法: 先看下面例子: 铡1:解方程 (2x~2-7x+1)~(1/2)-(2x~2-9x+4)~(1/2)=1 解:为解这个方程,引入恒等式; (2x~2-7x+1)~2)~(1/2)-(2x~2-9x~+4)~(1/2)=2x-3与原方程联立成方程组:     

借助于圓的二次方程的图解

1.假設已知化簡后的二次方程 x~2 px q=0配成完全平方: (x p/2)~2-(p~2/4-q)=0, -(x p/2)~2 (p~2/4-4)=0。用y~2表示方程的左端 y~2=(p~2/4-q)-(x p/2)~2,由此, (x p/2)~2 y~2=p~2/4-q,所得到的是一个圓的方程,其圓心为点(-p/2,0),半径为r=(p~2/4-q)~(1/p~2/4-q),此圓与Ox軸的交点的横坐标就是二次方程的根。例.图解方程 3x~2-8x-51=0,化簡后的方程是 x~2-2(2/3x)-17=0,或者 -(x-1(1/3))~2 18(7/9)=0。用y~2表示它的左端,得到一个圓的方程 (x-1(1/3)))~2 y~2=18(7/9)。圓心在点(1(1/3),0)半径等于当x=1(1/3)时的y的     

方程、不等式与复数

1 解方程(log_(0.04)x 1)~(1/2) (log(0.2) 3)~(1/2)=1。 2 求方程组x~(x-2y)=36 4(x-2y) log_6x=9。的整数解。 3 若(-i)~(1986) i~(1987) (1/2)~(2001)是方程x~3 px g=0的根,求实数p和g的值。 4 求方程簇x~2-(3k 2)x 3k~2-74=0(参数k∈Z)的所有实根之和。     

对《巧求值》的指正和另解

<正>《中学生数学》2013年第6期(下)刊载的《智慧窗》第三题《巧求值》及"解答"如下:题目已知:x2-4x-3=0,y2-6y+2=0,求x2+2y2+4x-4y-2的值.参考答案将x2-4x-3=0化为(x+2)2-8(x+2)+9=0.将y2-6y+2=0化为(y+1)2-8(y+1)+9=0.因此,x+2,y+1是一元二次方程t2-8t+9=0的两个根.     

混合幂的除数和（英文）

令S_k(x)=∑d(n_1~2+n_2~2+n_3~k),3≤k∈N.1≤n_1,n_2≤x~(1/2)1≤n_3≤x~(1/k)本文得到了渐近公式S_k(x)=A(k)x~(1+1/k)logx+B(k)x~(1+1/k)+O(x~(1+1/k-δ(k)+ε)),这里A(k),B(k)是只与k有关的常数,δ(3)=5/(42),δ(4)=1/(16),δ(5)=1/(40),并且当6≤k≤7时δ(k)=1/(k2~(k-1)),当k≥8时δ(k)=1/(2k~2(k-1)).     

一个定理的应用一、二例

多项式a_nx~n+a_(n-1)~x~(n-1)+…a_1x+a。能被x-1整除的充要条件是a_n+a_(n-1)+…+a_1+a_0=0。根据因式定理,便可得到如下推论: “一元方程a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0=0, x=1是它的一个根的充要条件是 a_n+a_(n-1)+…a_1+a_0=0”。在初中数学中,为了证明上述推论,可用以下方法:设x=1是方程的一个根,则得a_n+a_(n-1)+…+a_1+a_0=0,证明了条件是必要的。次设条件成立,则得a_n(x~n-1)+a_(n-1)(x~(n-1))+…+a_1(x-1)=0,可知此方程有一根是x=1,证明了条件充分。     

第三讲 构造法

解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程。而“构造法”则是实现这种转化的重要手段之一。它的策略思想是,对于一个较为复杂(甚至看来无从下手)的问题。先构造一个与之有关的辅助命题,也就是在已知与未知间搭一个桥,借以沟通“条件”和“结论”。例1 解方程 ((3x~2-5x-12)~(1/2))-(2x~2-11x 15)~(1/2)=x-3。解令((3x~2-5x-12)~(1/2))=u;(2x~2-11x 15)~(1/2)=υ;则 u-υ=x-3 ①当u=v时,x=3.代入原方程检验。知x_1=3是它的根。当u≠v时,u v=(u~2-v~2)/(u-v)=(x~2 6x-27)/(x-3)=x-9②由①和②得u=x 3.υ=6     

在多元式中选定主元

例1 解方程 x~4-10x~3-2(a-11)x~2 2(5a 6)x 2a a~2=0. 分析:这是关于x的四次方程,不易求解;但方程中a的最高次幂是2,看作关于a的二次方程来解就容易了。解把方程按a的降幂改写如下: a~2-2(x~2-5x-1)a (x~4-10x~3 22x~2 12x)=0. 解之得a=x~2-6x.或a=x~2-4x-2. 再反过来解关于x的方程,得: x_(1,2)=3±9 a~(1/2),x_(3,4)=2±6 a~(1/2). 所谓“主无法”:就是在处理含有多个变量的数学问题时,常选择其中一个变量为主元素,其余各量视为常量,使之出现我们所熟悉的结构形式。例2 设a,b,c为绝对值小于1的实数,求证:ab bc ac 1>0.     

两道初中数学竞赛最值问题的另解

<正>问题1(2014年全国初中数学联赛第10题)已知a、b为正整数,且b-a=2013,若关于x的方程x²-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x2-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x²-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x2-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x²+2013.因为x=1不是方程(*)的根,所以x-1≠0.从而     

数学问题解答

下面的问題,提供讀者解答,但解答不必寄来。本期間題的答案将在下期发表。欢迎讀者提出适合中学数学水平的間題。来信请寄至北京德胜门外北京师范大学数学系轉数学通报问題解答栏。第一期間題解答 (解答由提出人给出) 512.求方程 x+x/(x~2-1)~(1/2)=35/12的实数根。解、由原方程可知|x|>1,故可令x=secφ,則(x~2-1)~(1/2)=tgφ,而原方程化为 secφ+secφ/tgφ=35/12即 (sinφ+cosφ)/(sinφcosφ)=35/12两端平方 4(1+sin 2φ)/(sin~2 2φ)=1225/144即 1225sin~2 2φ-576sin 2φ-576=0。解得sin 2φ=24/25,那么cos 2φ=±7/25。所以     

从(x±1)(x~2±x+1)=x~3±1谈起

乘法公式中有 (x+1)(x~2-x+1)=x~3+1,(x-1)(x~2+x+1)=x~3-1。等式两边互换,就得到因式分解 x~3+1=(x+1)(x~2-x+1),x~3-1=(x-1)(x~2+x+1)。进而有 x~4+1=(x+1)(x~3-x~2+x-1),x~4-1=(x-1)(x~3+x~2+x+1)。推广这些公式,可以得到定理1 (1)对任意正整数n,有 x~n-1=(x-1)(x~(n-1)+x~(n-2)+…+x+1)     

分式方程中的常见错误分析

<正>分式方程是初中代数的主要内容.现将同学们与解分式方程有关的常见错误归纳如下,希望能引起同学们的警示.警示一:忘记验根例1解方程2/(x-1)-3/(x+1)=(x+3)/(x2-1).错解去分母,得2(x+1)-3(x-1)=x+3.解这个方程,得x=1.∴x=1是原方程的根.正解去分母,得