集合的$\varOmega$-凸性及其基础性质[英文]

作为集合凸性概念的一种推广以及统一凸性与近似（nearly）凸性等概念的一种尝试, 本文引入集合$\varOmega$-凸性的概念, 并对$\varOmega$-凸集合的性质进行初步的研究. 另外, 本文还研究了一些常见变换与集合运算的保$\varOmega$-凸性质.     

Ω-凸集的组合与结构性质（英文）

本文研究Ω-凸集的组合性质和结构性质.在一定条件下,证明关于Ω-凸集的Randon型定理,Helly型定理.Caratheodory型定理以及Minkowski型定理,并举例说明对一般的Ω-凸集这些定理不一定成立.文中所得结果是关于凸集的这些类型定理的推广,同时也为有关Ω-凸函数的研究提供了理论工具.     

$\mathbb{C}^n$中单位球上$\rho$次抛物星形映射的一些估计

主要研究了$\mathbb{C}^n$中单位球$B^{n}$上$\rho \ (\rho \in [0,1))$次抛物星形映射的一些几何性质, 给出了该映射类的增长定理和掩盖定理, 及其齐次展开式中二次项的一些估计.     

复值连续函数限制值域逼近的极限理论

本文研究了复值连续函数最佳限制值域逼近问题, 针对${\cal P}_{\Omega}$引入了使得逼近论中经典的特征定理或唯一性定理成立的若干性质, 并且在较弱的条件下, 证明了关于逼近集${\cal P}_\Omega$的这些性质分别等价于${\cal P}$是Haar子空间.     

强拟\alpha-预不变凸函数

研究了一类重要的广凸函数------强拟$\alpha$-预不变凸函数,讨论了它与拟\,$\alpha$-预不变凸函数、严格拟\,$\alpha$-预不变凸函数及半严格拟\,$\alpha$-预不变凸函数之间的关系,并在中间点的强拟\,$\alpha$-预不变凸性下得到了它的三个重要的性质定理,同时给出了强拟\,$\alpha$-预不变凸函 数在数学规划中的两个重要应用,这些结果在一定程度上完善了对强拟\,$\alpha$-预不变凸函数的研究.     

赋$\beta$-范空间中的最佳逼近问题

本文讨论赋$\beta$-范空间中的最佳逼近问题.以[1]引进的共轭锥为工具,借助[2]中关于$\beta$-次半范的Hahn-Banach延拓定理,第二节给出赋$\beta$-范空间的闭子空间中最佳逼近元的特征,第三节得到赋$\beta$-范空间中任何凸子集或子空间均为半Chebyshev集的充要条件是空间本身严格凸,文章最后证明了严格凸的赋$\beta$-范空间中任何有限维子空间都是Chebyshev集.     

集值映射$\epsilon$-超次梯度的性质及应用[英文]

本文讨论集值映射$\epsilon$-超次梯度的性质，建立$\epsilon$-超次梯度意义下的Moreau-Rockafellar定理.作为应用， 借助$\epsilon$-超次梯度分别得到集值优化取得$\epsilon$-超有效元的充分和必要条件.     

集值映射全局真有效次梯度下的Moreau-Rockafellar定理

本文研究了集值映射的Moreau-Rockafellar型定理的问题.利用集值映射弱次梯度的Moreau-Rockafellar定理,在内部(锥)-凸条件下,获得了集值映射关于全局真有效性的Moreau-Rockafellar型定理结果,推广了集值映射在锥-凸假设下的Moreau-Rockafellar型定理的结果,所得结论深化和丰富了最优化理论的内容.     

关于两两NQD随机序列的一个极限定理

设为两两NQD随机序列, 且, 是一列严格单调递增的凸序列. 本文将 Feller (1946)关于独立同分布期望不存在随机序列的极限定理推广到两两NQD随机 序列的情形.     

Orlicz空间内的M\"{u}ntz有理函数的逼近

本文研究了Orlicz空间内M\"{u}ntz有理函数逼近问题, 相比于前人对同类问题的研究, 本文改进了系指数$\{\lambda_{n}\}^\infty_{n=1}$所满足的条件, 利用H\"{o}lder不等式、Hardy-Littlewood极大函数、$K$-泛函、连续模、$N$函数的凸性等技巧, 得到逼近的Jackson型定理. 由于Orlicz空间的拓扑结构比连续函数空间和Lp空间复杂, 所以本文的结果具有一定的拓展意义.     

球面上$\ell_1$正则优化的随机临近梯度方法

本文研究球面上的$\ell_1$正则优化问题,其目标函数由一般光滑函数项和非光滑$\ell_1$正则项构成,且假设光滑函数的随机梯度可由随机一阶oracle估计.这类优化问题被广泛应用在机器学习,图像、信号处理和统计等领域.根据流形临近梯度法和随机梯度估计技术,提出一种球面随机临近梯度算法.基于非光滑函数的全局隐函数定理,分析了子问题解关于参数的Lipschtiz连续性,进而证明了算法的全局收敛性.在基于随机数据集和实际数据集的球面$\ell_1$正则二次规划问题、有限和SPCA问题和球面$\ell_1$正则逻辑回归问题上数值实验结果显示所提出的算法与流形临近梯度法、黎曼随机临近梯度法相比CPU时间上具有一定的优越性.     

以完全二部图作为星补的正则图的刻画

设$G$是一个$n$阶图, $\mu$是$G$的一个$(k\ge 1)$重邻接特征值. 图$G$中关于$\mu$的星补$H$是指$G$的不含特征值$\mu$的$n-k$阶诱导子图,且顶点集$X=V(G-H)$称为图$G$中关于$\mu$的星集.星补技术提供了利用部分子结构来重建满足特定性质的整个图的谱工具. 本文我们研究了关于特征值$\mu$的以$K_{t,s}~(s\ge t\ge 2)$作为是补的正则图, 特别地, 我们完全刻画了$t=3$的情形, 获得了当$t=s$时的一些性质, 并提出了有待进一步研究的问题.     

完备的$\nu$-广义度量空间上的不动点定理[英文]

本文对度量空间中$C$类函数的压缩映射进行推广. 在完备的$\nu$-广义度量空间上, 利用构造迭代序列的方法, 证明了关于($\psi$,$\phi$)-类型压缩映射的不动点定理. 并且证明了广义的$F$类型压缩和广义$\theta$类型压缩映射.     

$\alpha$-阶次预不变凸集值优化[英文]

给出$\alpha$-阶次预不变凸性概念,举例说明它是预不变凸性的真推广. 利用广义切上图导数的性质,得到集值优化取得Henig 真有效元的必要条件. 当目标函数为$\alpha$-阶次预不变凸时,建立了集值优化取得Henig有效元的充分条件,因而得到统一形式的充分和必要条件. 并给出两个例子解释本文的主要结果.     

具$w_0$-距离度量空间中$p$-逼近$\alpha$-$\eta$-$\beta$-拟压缩的最佳逼近点定理

本文提出了一类称为$p$-逼近$\alpha$-$\eta$-$\beta$-拟压缩的新的非自映射,并引进了关于$\eta$的$\alpha$-逼近可容许映射和关于$\eta$的$(\alpha,d)$正则映射的概念.基于这些新概念,在$w_0$-距离度量空间中研究了此类新压缩最佳逼近点的存在唯一性,并给出了一个新的定理,推广和补充了文[Ayari, M. I. et al. Fixed Point Theory Appl., 2017, 2017: 16]和[Ayari, M. I. et al. Fixed Point Theory Appl., 2019, 2019: 7]中的结果.给出了一个例子来说明主要结果的有效性.进一步地,作为推论得到关于两个映射的最佳逼近点和公共不动点定理.作为其中一个推论的应用,讨论了一类Volterra型积分方程组的求解问题.     

关于局部凸空间中向量Ekeland变分原理的等价性

基于各种Ekeland变分原理的等价形式, 主要研究局部凸空间中给定有界凸子集乘以距离函数为扰动的单调半连续映射的向量Ekeand变分原理的等价性问题. 首先利用局部凸空间中的向量Ekeland变分原理证明了向量Caristi-Kirk不动点定理,向量 Takahashi非凸极小化定理和向量Oettli-Th\'{e}ra定理. 进一步研究了向量Ekeland变分原理与向量Caristi-Kirk不动点定理,向量Takahashi非凸极小化定理和向量Oettli-Th\'{e}ra定理的等价性.     

拓扑线性空间中的Drop定理与Drop性质

给出了拓扑线性空间中的一个Drop定理.利用此Drop定理,证明了拓扑线性空间中的每个序列紧凸集具有Drop性质;每个可数紧闭凸集具有拟Drop性质.而且结出了拓扑线性空间中Drop性质和拟Drop性质的序列流特征.也讨论了Drop性质和拟Drop性质与泛函取极值之间的联系.     

具有H-凸截口的非紧集的交定理及其应用

在本文内,我们推广了Ma,Fan,Tarafdar,Lassonde和Shih-Tan等作者关于具有凸截口集的交定理到没有线性结构的H-空间和非紧设置.同时给出了我们的定理对Vou Neumann型极小极大定理的应用.     

凸集的一个新概念及其一些特征性质

本文研究了凸集的一些基本性质.给出了集合的边界点的支持方向的新概念.利用支持方向证明了凸集的一些特征性质. 获得了凸集分离定理及其它一些特征性质的新方法和途径.     

集值测度的延拓定理

讨论了集值测度的若干基本性质，在此基础上，研究了集值测度凸性，紧性及其靠拢定理，特别是到紧凸值集值测度的延拓定理。