证明某些不等式的一种方法

对于有些含有定积分的不等式的证明，常常可以把一常数变为参数而构造辅助函数，再利用函数的增减性等有效方法，给出了这样一类不等式的证明方法。下面我们通过几个简单例子来阐明这种方法。树三设f（）在［a，b】上具有二阶连续导数，且产（x）＞O，试证：分析只证明右边不等式，把不等式中常数b变为参数X，作出辅助函数则显然F（a）一0。若能证明函数F（x）是单调增的（广义增即可），就可得要证明的不等式。证明作辅助函数F＜夸＜x，（因为a＜x＜b）；由题设产（x）＞0，所以广（x）非减，从而知产（x》O，因此F（b）＞F（a）一0，…     

关于曲线,曲面积分对称性的应用初探

在一元函数定积分和多元函数重积分计算中，对称区间或对称区域上奇偶函数的良好性质将大大简化其运算，在曲线、曲面积分中，奇偶函数在对称曲线、曲面上也具有这些良好性质。命题一设分段光滑平面曲线L关于X轴对称，而人X，火是L上的连续函数，那么门）若f（x，－y）＝f（x，y），则，其中L1是L在上半平面的部分；（2）若f（x，－y）＝-f（x，y），则证设。。。…I，。，x。。。，。f。x，。。－，。。。。。。，…。。。－。l。ds－0命题二设分段光滑平面曲线L关于X轴对称，L在上半平面的走向与在下半平面的走向相反，而人工，／在L…     

积分不等式证明个例分析

本文以微积分学中一个求证不等式的问题为例,在分析过学员所遇到的困惑之后,利用分部积分法、分段积分法具体地给出了该例题的正确解答．例题设f（X）在[0,1]上有连续导数,f（0）＝f（1）＝0,在[0,1]上有最大值M证明：下面我们将就具体情况做出分析．据f（X）在[0,1]上有连续导数,知f（X）在[0,1]上是可积的,因此,不等式的各部分都是有意义的．下列前三种解法是部分学员给出的有问题解法．解法一观察不等式的两边,左边与f（X）在[0,1]上的定积分有关,而右边与f（X）的导数有关．要将此二者连系起来,采用分部积分法是一个…     

e~(kx)在解题过程中应用几例

在解题过程中如果能用上ekx，会使解法简单巧妙，下面的例2说明必须会用e－x构造辅助函数。例1设f（x）是定义在［0，］上的连续函数，且证二八x）在肝，音］上连续，八X）＞o，设在X。处取最大值，于是由于八x。）是最大值，人n＜八X。），这就有：用上面的方法可证出在同样可证fseo，以此类推，则有人X）三0。上面的例是我们学校的一次统考题，证法一是学生想起的。例2设人x）在「a，b］上存在n＋l阶导数，且满足广‘’（a）一月‘’（b）—0，足一0，1，2，…，n．（这里／”（a）一f（），f”’（b）一f（））．证明：目七（a，b）使…     

用非单调函数如何进行换元积分

<正> 四川大学数学系高等数学教研组所编写的高等数学(物理专业用)中,关于定积分的换元定理是如下叙述的:“定理:若f(x)是〔a,b〕上的连续函数,通过具有连续导数的单调函数x=(?)(t),使两个     

定积分计算的方法和技巧

定积分计算的方法和技巧宁荣健（合肥工业大学）定积分（包括广义积分，下同）的计算方法与技巧是非常丰富的。除用定积分性质、基本公式、换元法与分部积分法外，简单的还有用定积分的几何意义、函数奇偶性及查积分表等。本文列举其它一些常见的方法与技巧，供同学们参考...     

定积分估值的一些方法

本文介绍几种常用的定积分估值的方法：一、直接用定积分的性质①用估值性质：若M,m分别是连续函数f（x）在[a,b]上的最大值与最小值,则．这是我们常用的一种估值方法．例呈估计积分的值．解由于在单调减少,故：②放大或缩小积分区间：若［a,b」Th［c,d］,f（x）＞0,则f（x）dx＞f（x）dx二、用变形来估值若f（x）在[a,b]上可积,有时可以通过各种变形来对f（x）dx估计．例如,简单不等式,变量替换,分部积分等将积分变成易于估计的形式．三、利用Darboux和估计积分值若s一乙。凸J;S一乙从西J;表示积分I一D人S）ds的小和和…     

把高等数学变得更容易（续）

下面的定理肯定了一致连续函数的积分体系唯一性． 命题 5（一致连续函数的积分体系唯一性） 设f（x）在区间I的任一个闭子区间上一致连续，S（u,v）和R（u，v）都是f（x）在I上的积分体系，则恒有S（u，v）=R（u，v）．     

定积分的二种换元法及其应用

1．引言在定积分的计算中,运用变量替换可以大大简化计算过程,因此在计算定积分时常常需要考虑换元法．本文介绍了定积分的二种换元法：交换变换和减半变换,并列举了典型范例．2定积分的两种换无法定理亚若f（x）在闭区间[a,b]上,可积,则证明用换元法设u—a＋b—x,则dx—一du,当x一a时,u—b,当x一b时,u—a,Hx一a＋b—u6「a,hi,即f（＋b—u）在［a,hi上也是可积的,故我们把这种上、下限交换的换元法称为“交换变换”,特别地当a一O时有下列推论：推论1若f（x）在［a,hi上可积,则由定理1和推论1我们还可以得到两个十分重要…     

导数的极限与单侧导数

求函数在某些特殊点，比如分段函数的分界点、区间端点处的导数，通常应按导数的定义求出函数在这些点处的单侧导数。但也有人取函数的导数在这些点处的单侧极限作为单侧导数，这样做常常出错。例如：在x＜0时，但f（x）在x=0处的左导数不存在，因为f（x）在x=0处左间断。在x＞0时，不存在，但按导教的定义可求得f（x）在x=0处的右导数有时这种方法也能凑效，关键是函数必须满足一些条件。我们有下面的求单侧导数的所谓“导数极限法”。导技极限法设函数人X）在X。处连续，在X。的左（右）邻域（X。一点八）［或（X。，X。十的」内可导，…     

某些积分所确定的函数的导数

设重积分的积分区域依赖于变量t的值，且此重积分定义一个t的可微函数：其中积分区域G；依赖于t的值。如何求F’（t）呢？下面我们举例说明。解这类问题可直接利用变限积分的导数公式，只要把括号内的积分当作一个函数人y）对形如（1），（2）的函数F（t），在求导时，可首先利用变量代换，把F（t）转化成票次积分，再利用例1的方法求F’（t）。例2已知jfx，y）连续，F（t）一if（，y）dxds，求F’（t）。x2小y＼ti解利用极坐标变换，得例3已知人U）连续，F（O一解利用球面坐标变换得：例4设人X）连续，G：0＜X＜h，X’＋F’（t）。解…     

三角积分的特殊积分技巧

本文提出定积分的两个基本性质。这些性质普遍适用并且容易证明。利用这些性质可计算某些复杂积分,其中有些积分通常是用围道积分法来计算的。性质1:若f是闭区间[0,a]上的一个可积     

利用微积分学第一基本定理证明柯西─施瓦兹不等式

设f（x）连续则，这是一个十分重要的人式，今用它来证明柯西-施瓦兹不等式．设函数f（x）、g（x）都在[a，b]上连续，证明柯西一施瓦兹不等式证将b变为参数x，引进辅助函数显然F（a）=0，因此只要证明F（x）单调减少，从而只要证明F（X）≤0便可．这个证明，思路清晰颇富启发性，辅助函数的引进也十分自然，与此不等式的常见的其他证法比较，各有优点，故献给读者，以供参考．利用微积分学第一基本定理证明柯西─施瓦兹不等式@刘继合$淄博学院!山东淄博255013     

定积分换元公式的推广及举例

本文在被积函数f（x）仅为可积的条件下，将定积分换元公式作为上述推广公式的应用，计算一个有无穷多个间断点的函数人。）一（x“x“～“在区间卜，l」上的定积分。从该例的计算中，可以看到Euler常数LOH＝O的应用。为可积时，只要变量替换函数x一9（t）具备单调及连续性，则换元公式仍然成立。此时，换元法的完整叙述应为：定理王若函数人。）在［a，b】上可积，x一平（t），iE［a，利满足：（i）。t）在［a，用上单调且连续；（if）尸（a）一a，。卢）一b；（iii）～（t）在［a，用上连续。定理1的证明需要用到定积分的定义。当在肝…     

对称性在定积分计算中的应用

设f（x）和g（x）在[a,b]上连续,f（x）关于点（（a＋b）／2,c）对称,g（x）关于直线x=（a＋b）／2对称,根据定积分的性质,通过变量代换,可证∫a ^bf（x）g（x）dx=c∫a^bg（x）dx,,该结论及其推论可用以简化定积分计算,实例说明其应用．     

偏导数与偏微分方程

我们知道，n元函数关于某个自变量的偏导数可理解为：固定其余的x－1个自变量xl1…，xi－1，xi＋1，…，xn，即令这些自变量为常数，这样几x；，…，xn）就是关于xi的一元函数，天就是f关于xi的导数。这样我们将多元函数的偏导数概念和一元函数的导数之间建立了联系，然后可用求解常微分方程的方法求解一些简单的偏微分方程。以下树中均设未知函数是充分光滑的。例1已知u（0，y）＝y，未满足方程的函数y＝u（x，y）解：由于正可理解为固定y，即令y为常数时X关于X的导数，故方程两边对X积分可得C（C，…ZC＋C式中C为积分常数。由于y为常…     

关于分段函数及含绝对值函数的求导问题

本文讨论分段函数的求导问题，建立了求导时方法选取的一般程式。对于含绝对值的函数，给出了一个求导定理。一、分段函数的导数分段函数的求导，关键在于求分段点处的导数，常用方法有：①不连续则不可导；②导数或左右导数的定义；③导数单侧极限定理*：设f（x）在（a，b）内连续，x0∈（a，b），在（a，x0）及（x0，b）内可导且limf（x）、limf（x）都存在，则导数单侧极限定理用左右导数定义及微分中值定理可证，此处从略。下面仅作几点说明：1“定理中若厂十（X。）一片一（X。），则几X）在X。处可导，若不相等，则人X）在X。处不…     

定积分教学的新探索

学生在学习定积分时,都遇到了一个困难,那就是定积分的概念不好理解.因为定积分的概念作为极限,不同于通常的极限.然后,还要证明一些关于可积性的定理及有关性质,最后才能对一些初等积分进行计算.然而,我们可以试图先引进连续函数的定积分及其计算,从而再进一步推广定义一般函数的定积分,从特殊到一般.并且,还可把关于连续函数的定积分的内容分散到连续函数、函数的导数及不定积分等相关章节学习,并作为其直接的推论.这样,便于学生学习、分散理解及消化,最后再推广到一般的定积分的概念.     

用凑全微分法计算第二型曲线积分

对第二型曲线积分，若积分与路径无关，则有与定积分的公式相类似的计算公式，下边以定理的形式写出。定理设P（x，y），Q（x，y）在单连通闭区域D内有一阶连续偏导数，点A（x；，y；），B（yz，yz）ED，且，若存在一个可微函数y（y，y），使dy＝P（y，y）dy＋Q（y，y）dy而用此公式的关键在于求P（X，y）dX＋Q（X，y）dX的原函数，即凑全微分dX一＊dX＋Qdy。本文只强调用观察的方法来凑全微分。这就必须对下边几个简单而常用的全微分表达式要非常熟悉：例2计算I—l（e”siny＋y＋l）dx＋（e”cosy＋x）dy，其中C是下半圆周AB，A…     

巧用换元法求定积分

指出定积分换元积分法与不定积分换元积分法存在差异，总结并介绍定积分换元积分的几个常用公式，实例说明这些公式的使用方法及换元技巧．