第七届巴尔干国家中学生数学奥林匹克试题及解答

1.(希腊)设a_1=1,a_2=3,且对子所有的正整数n,a_(n 2)=(n 3)a_(n 1)-(n 2)a_n 。试求所有使a_n可被11整除的n的值。 2.(保加利亚)考虑下式定义的一个多项式:a_0 a_1x a_2x~2 …十a_((2)_n)x~(2n)=(x 2x~2 … nx~2)~2。求证: 3.(南斯拉夫)设A_1B_1C_1是不等边锐角△ABC的垂足三角形,A_2、B_2、c_2是内切于△A_1B_1C_1的圆与它的边的切点。求证:△A_2B_2c_2和△ABC的欧拉直线重合。注1.已知三角形的垂足三角形以原三角形高线的足为顶点。注2.已知三角形的欧拉直线由它的垂心(三条高的交点)和它的外接圆心确定。     

莫斯科大学数学力学系1994年入学考试试题与解答

莫斯科大学数学力学系１９９４年入学考试试题与解答预考试题丑数。满足条件吃２。—一子及Ｓｈ２。＞ｏ．’ｒ·‘一”’一４一问：在这些条件下，能确定表达式ＩＯｇｔ。（。／６）ｉｇ。的值吗？它等于什么？２解方程３ｔｈｅ７ｉ：ｖ＝５—ＺＩ。＋ＺＩ．３在半径为１...     

圆锥曲线的最值问题

学习解题的重要目的之一就是要学会解一类问题,触类旁通是学习解题的基本要求．近年来,圆锥曲线上任一点到两定点的距离和的最值问题越来越多,难度越来越大,在各类考试中经常出现．因此,研究一下这类问题的一般解法是必要的．按照曲线一般分类,本研究主要给出抛物线、椭圆、双曲线三类,曲线中的相关最值问题的一般结论并示例其直接应用．     

在没有台劳定理情形下的幂级数

在现代微积分教科书中,一般的写法是:在推导任何标准超越函数的幂级数展开式以前,就建立数列和无穷级数的完整理论。台劳多项式和台劳定理通常是对任意的函数给出的,只有在大量的展开后,学生们才看到,例如对计算数e至五位小数的应用。我们这里提出一种相     

直观性——概率论选修课的教学法基础

本文将叙述用几何方法定义随机事件的概念和证明概率论中一些定律盼教学经验。我们不追求所述的经验充满新奇,但这种方法将引起教师的兴趣。 用几何方法叙述概率论一系列选修课教学法的价值在于它的直观性。由于下列诸原因,直观性将促使选修课教学成功。第一,直观性     

第24届全苏中学生数学奥林匹克试题

本届数学奥林匹克于1990年9月18-25日在苏联阿什哈巴德市举行。以下各题题号有2个数字,第一个数字表示年级,第二个数字表示这个年级的试题的顺号,例如11.3表示十一年级第3题,竞赛分2天举行。第一天 9.1求证:对于任意的数t,下列不等式     

趣味速算法

1.数的加法在多位数相加时,这样做比较方便:先把每列的数的和写成单独的行,后再把这些行的数相加.     

第15届全俄中学生数学奥林匹克第3阶段试题及答案(1989年2月举行)

八年级 1.在数1,2,…,1989前添上符号《+》和《一》,并依次完成所示的运算,试问可以得到怎样的最小非负 一42一数? 答.例如l=l代2一3一4+5)+(6一7--8+9)+.二+(1 986一1987一1988+1989).2.是否存在这样一个可被11整除的十位数,使得在这个数的写法中乓个数字只出现一次? 答:例如2753964150=275xlo阵396xlo4科一sx一。二l一x(25 x 10,+36x一了+3sx一。). 3.设方程组+bx+c二0+cx+a”0厂+ax+b=02,︸2 工工X 口.办C 产..|.‘!‘1尹有解,求系数a,b,。之间的关苏,答:时吞十亡=0,x二1. 4.把一个平行四边形用两对与它的边平行的直线分成9个平形四边形…     

第四届“友谊杯”国际数学竞赛题

第四届“友谊杯”国际数学竞赛于1990年5月26～31日在波兰列格尼察市举行。保加利亚、波兰、苏联和罗马尼亚等国家8—11年级65名学生参加了竞赛。现在选译部分试题如下。 1(8年级)。点M是正方形ABCD一边的中点,P是从顶点C向直线BM所作垂线的垂足。求证:DP=DC。 2(8年级)。三个数a,b,c是互质的整数,并且1/a 1/b=1/c。求证a-b、a-c、b-c是整数的平方。 3(8年级)。求证:不存在这样的自然数x、     

柯西不等式

证明不等式的能力是一种技能.和任何一种技能一样,这里也有自己的技术方法,这些方法是极广泛的,要掌握所有这些方法是很复杂的,但是,每个数学教师应该力求在他的知识蕴积中扩大现有的数学方法。依我们看来,用不同方法解一个有趣问题,在教学法上被证明是正确的。在关于算术平均