数学问题解答

数学问题解答１９９４年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）８９６设ｘ＞１，试比较ｌｏｇｘ（ｘ＋１）和ｌｏｇ（ｘ＋１）（ｘ＋２）的大小．解上式中由ｘ＞１知ｌｇｘ＞０，ｌｇ（ｘ＋１）＞０，ｌｏｇｘ（ｘ＋１）－ｌｏｇ（ｘ＋１）－ｌｏｇｘ＋１（ｘ＋２）＞０...     

THE PERIODIC SOLUTIONS OF CERTAIN EQUATIONS WITH PERIODIC COEFFICIENTS

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｐｅｒｉｏｄｉｃｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔｓｘ＝Ａ（ｔ）ｘ２＋Ｂ（ｔ）ｘ＋Ｃ（ｔ），（１．１）ｘ＝－Ａ（ｔ）ｘ２＋Ｂ（ｔ）ｘ＋Ｃ（ｔ），（１...     

数学问题解答

数学问题解答１９９５年９月号问题解答（解答由问题提供人给出）９７１已知ｘｌ，Ｘ２，ｘ３，ｘ４，Ｘ５是正数，求证：（ｘｌ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５）２≥４（ｘ１ｘ２十ｘ２ｘ３＋ｘ３ｘ４十ｘ４ｘ５十ｘ５ｘ１）证明（１）当ｘ２＞ｘｌ时，有（ｘｌ十ｘ２＋ｘ３十...     

被开方数高于一次的函数极值的几何求法

１９９９年第３期《中学数学》刊登了陈宽国老师的文章“函数ｆ（ｘ）＝Ａａ１ｘ＋ｂ１＋Ｂａ２ｘ＋ｂ２的值域的几何求法”，读后颇有启发．并且马上产生了写作此文的想法，聊以助兴．例１　求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋４＋ｘ２－１０ｘ＋３４的最小值．解析１　用立体几何知识．函数可化为ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２２＋（５－ｘ）２＋３２．构造如图１所示的长方体，其三度长分别为２、３、５，设ＢＥ＝ｘ，则　ＡＥ＝ｘ２＋２２，ＥＣ′＝（５－ｘ）２＋３２，∴　ｆ（ｘ）＝ＡＥ＋ＥＣ′．这样，原题就化归为在棱ＢＢ′上找一点Ｅ′，使折线ＡＥ′…     

一道《数学通报》问题的应用

一道《数学通报》问题的应用毛晓峰（兰州铁路一中７３００００）杨晋（安徽芜湖市第十三中学２４１００２）问题１０２３设ｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘｎ为实数，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ为正数，则有ｘ２１ｙ１＋ｘ２２ｙ２＋…＋ｘ２ｎｙｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）２ｙ１...     

1997年高考24题的深刻背景

文［１］介绍了１９９７年高考（理科）２４题的命题思想，其最初形式为给定二次多项式ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，ａ＞０，设０＜ｘ１＜ｘ２＜１ａ，满足ｆ（ｘｉ）＝ｘｉ，ｉ＝１，２，证明：当０＜ｘ＜ｘ１时，（１）ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ１；（２）存在０＜ｑ＜１，使得...     

单元目标测试答案

单元目标测试答案因式分解单元目标测试答案一、填空：１、略；２、略；３、（１）２５，（２）（３ａ＋１）（９ａ２－３ａ＋１），（３）（ｘ＋３ｙ）（７ｘ２＋６ｘｙ＋３ｙ２），（４）ｂ２４，ａｂ，（５）－１４ｘｙ，７ｘ，（６）（２ｘ－３ｙ）（ｘ＋５ｙ），４、...     

再论一元二次方程

再论一元二次方程四川师大翁凯庆一、一元二次方程根的特征１、根与系数的符号特征设一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）二根为ｘ１，ｘ２，且ｘ１≤ｘ２。（１）两根为正△≥０，ｘ１＋ｘ２＞０，ｘ１ｘ２＞０，（２）两根为负△≥０，ｘ１＋ｘ２＜０，ｘ１...     

两类产生增根的分式方程的判定

判定（一）（ｉ）命题：若ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，且ａ≠０，ｂ≠－１分式方程：ｃｘ－ａ＋ｂ＝ｂ－ｘｘ－ａ当ｂ＝ａ＋ｃ时，必有ｘ＝ａ为分式方程的增根。（ｉ）例举：（１）１ｘ－１＋２＝２－ｘｘ－１，（ｂ＝ａ＋ｃ即２＝１＋１），ｘ＝１是方程的增根。（２）３ｘ＋２＋１...     

一题、一法、一类

一题、一法、一类蒋涛（江苏滨海县中学２２４５００）例１设ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋，且ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝１，求证：ｘ１２１－ｘ１＋ｘ２２１－ｘ２＋…＋ｘｎ２１－ｘｎ≥１ｎ－１．（《数学通报》１９９３年７月号问题８４５）我们通过引入参数，给出一种新...     

n阶时滞差分方程的边值问题

本文研究ｎ阶时滞差分方程的边值问题：ｘ（ｋ＋ｎ）＝ｆ（ｋ，ｘｋ（），ｘ（ｋ），ｘ（ｋ＋１），…，ｘ（ｋ＋ｎ－１）），ｋ∈ＩＴ，ｘ（ｍ）＝φ（ｍ），ｍ∈Ｉ－ｒ，ｘ（１）＝ａ１，ｘ（２）＝ａ２，…，ｘ（ｎ－２）＝ａｎ－２，ｘ（Ｔ）＝Ａ，｛得到了解的存在性和唯一性的结果．     

错题·错解两例

错题·错解两例万兴灿（湖北省宜昌市第一中学４４３０００）１错题贵刊１９９７．１．Ｐ２５例３［１］中给出：若正数ｘ，ｙ满足ｘ＋ｙ＝ｍ（定值），则函数ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ＋１ｘ）（ｙ＋１ｙ）取得最小值（ｍ２＋２ｍ）２（当ｘ＝ｙ＝ｍ２时）此题最小值是不对的．...     

巧构函数解一类三角问题

定理设ｆ（ｘ）＝ａ１ｓｉｎ（ｘ＋α１）＋ａ２ｓｉｎ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｓｉｎ（ｘ＋αｎ）（或ｆ（ｘ）＝ａ１ｃｏｓ（ｘ＋α１）＋ａ２ｃｏｓ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｃｏｓ（ｘ＋αｎ））（ａｉ,αｉ是常量,ｉ＝１,２,…,ｎ）．如果对ｘ１,ｘ２（ｘ１－ｘ２...     

谈一类特殊方程的解

谈一类特殊方程的解文松高（湖南株州八中）问题１ｘ＋１ｘ＋１＋１ｘ＋２＋…＋１ｘ＋（ｎ－１）＝Ｑ（）其中ｎ是给定的自然数，Ｑ是给定的正数，问：是否存在使等式成立的自然数ｘ？这个关于ｘ的方程是ｎ次代数方程，因此从解代数方程的角度来求解问题的解，一般说来...     

整距点的性质和计数公式

整距点的性质和计数公式３１６２００浙江岱山县岱山中学张善立定理１（性质定理）如果（ｘ１，ｘ２，ｘ３）是匈股形整距点，则当（１）ｘ１＇＝ｘ１＋ｎ，ｘ２＇＝ｘ２一ｍ＞０，ｘ。’＝ｘ。－ｎ；或（２）ｘ；’＝ｘ；＋ｍ，ｘ。’＝ｘ。＋ｎ，ｘ。’＝ｘ。一ｍ＞０时...     

QUALITATIVE THEORY OF THE QUADRATIC DIFFERENTIAL SYSTEMS (II)-ERGODICITY OF LIMIT CYCLES

Ａｓｉｓｗｅｌ－ｋｎｏｗｎｗｈｅｎａｒｅａｌｑｕａｄｒａｔｉｃｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｓｙｓｔｅｍ：ｘ＝－ｙ＋δｘ＋ｌｘ２＋ｍｘｙ＋ｎｙ２＝Ｐ（ｘ，ｙ），ｙ＝ｘ（１＋ａｘ＋ｂｙ）＝Ｑ（ｘ，ｙ）（１）ｈａｓｆｏｕｒｆｉｎｉｔｅｃｒｉｔｉｃａｌｐｏｉｎｔｓ...     

函数f(x)=A(a_1x b_1)~1/2 B(a_2x b_2~1/2的值域的几何求法

形如ｆ（ｘ）＝Ａａ１ｘ＋ｂ１＋Ｂａ２ｘ＋ｂ２（＊）的函数可化为以下两类：（Ⅰ）ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ａ＋ｎｘ＋ｂ;（Ⅱ）ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ａ＋ｎｂ－ｘ．本文借助解析几何的方法研究（Ⅰ）、（Ⅱ）的值域问题,从而解决了形如ｆ（ｘ）＝Ａａ１ｘ＋ｂ１＋Ｂａ２ｘ＋ｂ２...     

一个新颖不等式的加强

本刊“数学问题解答”栏第１１２９题给出了函数组ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ的新颖不等式ｍａｘ１≤ｉ≤ｎ｛ｘｉ｝（ｘ１＋２ｘ２＋…＋ｎｘｎ）≥１２（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）２（１）本文给出式（１）的一个加强,得到定理　设０≤ｄ≤２,ｘｉ＞０,１≤ｉ≤ｎ,则ｍａｘ１≤ｉ≤ｎ｛ｘｉ｝（ｘ１＋（１＋ｄ）ｘ２＋…＋（１＋（ｎ－１）ｄ）ｘｎ）≥（ｎ－１）ｄ＋２２ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）２（２）等号成立当仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ．证　视（２）式左边减去右边所得的差为ｄ的函数,记作ｇ（ｄ）;显见ｇ（ｄ）是一个线性函数;…     

对一道习题的再思考

对一道习题的再思考刘和邦（湖南炎陵一中４１２５００）初中代数第三册Ｐ１３５，第６题第６小题是：解方程（ｘ－１）（ｘ－２）＋（ｘ－３）（ｘ－４）＝２，文［１］给出了一种有异于常规思路的解法：解（ｘ－１）（ｘ－２）＋（ｘ－３）（ｘ－４）＝２（１）［（ｘ－...     

利用分段函数制作的几种反例

为澄清对分段函数的一些误解,给出以下反例;１　驳“分段定义函数一定是非初等函数”事实上,存在着分段定义的初等函数,例如ｆ（ｘ）＝ｘ＋１　ｘ＜０３ｘ＋１　ｘ≥０,（１）这个函数可以用统一的解析式表达为ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ｘ２＋１,（２）式（２）是基本初等函数的有限次复合与四则运算,式（２）是初等函数,即（１）是初等函数;２　驳“分段定义函数在界点处必不可导”请看反例：ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２　ｘ＜１２ｘ＋１　ｘ≥１,ｆ′（１＋０）＝ｌｉｍΔｘ→０－［２（１＋Δｘ）＋１］－（２×１＋１）／Δｘ＝２,ｆ′（１－…