尺规8笔划就可三等分线段

对于任意线段进行三等分,流传的尺规作图方法是平行线法(如右图所示),其中需要借助垂线才属于严格的尺规作图,这样至少要用13次笔划.笔者在思索2009年华南理工大学自主招生数学试卷第4题时,顿悟到只要用8次笔划就可对任意线段AB进行三等分,步骤如下——     

线段的多等分

用尺规作图法来将一段线段二等分,是一个相当简单的问题,但对于如何用尺规作图法三等分一段线段,甚至五等分、七等分,对于一个学生来说,是一个很陌生的问题,鉴此,我做了一些研究性的学习,并取得了一些成果。     

HPM视角下“三等分角”习题课教学与思考

一、数学史话将数学史与数学融合在一起共同促进学生的发展是HPM(Historyand Pedagogyof Mathematics)研究的一个主要涵义.我们知道,三等分角是古希腊三大几何问题之一.即在尺规作图(即用没有刻度的直尺和圆规作图)的前提下,无法将一个给定的角三等分.若将条件放宽,却可以引发三等分的作法.比如历史上关于"三等分角"的故事的版本很多,其中有一段是与阿基米德有关.这里简要概述这段故事.     

再告企图用规尺三等分角的同志

“用规尺三等分任意角”这一个不成问题的问题,本通报已经登过几次启事说明这是一个已经证明“不能”的问题,忠告一些同志不要浪费宝贵的精神企图“能”了.启事登了以后,“三等分角”的稿件还是源源而来,我们虽然对每一稿都作了答复,但认为对这样的问题彼此白费了许多精力和时间,殊不值得.就来稿的情况看:有些同志是不知道这个问题已经证明“不可能”了;也有人明知道了而偏不相信;还有人想了一个方法,他自己认为是对     

用尺规作图不可能三等分任意角

三等分任意角问题 ,连同立方倍积问题和变圆为方问题 ,是古希腊巧辩学派的学者们于公元前 5世纪提出并研究了的几何学三大问题 .2 0 0 0多年来 ,历代数学家为了解决这三个问题 ,耗费了许多心血 ,但都遭到失败 .其实这三个问题 ,于 19世纪就被严格证明为不可能用直尺、圆规 ,经有限次的作图步骤来解决的问题 .自 16 37年笛卡尔 (ＲｅｎｅＤｅｓｃａｒｔｅｓ,15 96 - 16 5 0 )创立了解析几何学之后 ,尺规作图的可能性就有了判定准则 .1837年万泽尔 (Ｐｉｅｒｒｅｈａｎ ｒｅｎｔＷａｎｔｚｅｌ,1814- 184 8)首先证明了“立方倍积”和“三等分…     

剖析《试解几何难题三等分角》一文

剖析《试解几何难题三等分角》一文汪富泉（四川师范学院数学系（南充）６３７００２）三等分任意角、立主倍和化圆为方，是早在１９世纪就已经完全解决了的“尺规作图不能问题”因此，所谓“几何三大问题”已是不成问题的问题，而不是什么川可难题了，五十年代，我国一些...     

奇妙的割圆曲线

三等分角问题与倍立方问题、化圆为方问题被统称为古希腊三大几何作图问题,二千多年来,它吸引了无数学人的关注和探索,虽然在尺规作图限制之下,它是一个不可解问题,但解决这类问题的思想方法不仅在数学上,而且在人类思想史上都有重大意义.     

直线等分四边形面积的尺规作图

本文将从过四边形边上任意一点,作直线等分任意四边形面积的尺规作图予以阐述．为了叙述的方便,先介绍两个引例以作铺垫．     

从三等分角谈起

在中学的数学教科书中,明确地写出了:用直尺和圆规将任意角三等分是不可能的.我们这篇文章的目的,是解释这句话的确切含义,并且给出一个例子来说明.即我们严格证明60度角是不可能三等分的.当然文章还包含了另外一些有兴趣的内容.     

2021年中考试题角平分线尺规作图问题的思考

<正>尺规作图起源于古希腊,在学习尺规作图画角平分线时,教材中先为我们介绍了分角器,接着引出利用尺规作图画角平分线的固定程序,在学习尺规作图的过程中,同学们应经历自己作角平分线的过程．纵观2021年全国各地区中考试题,在尺规作图这部分内容的考查中,主要分为两种题型:作法操作类和作法原理类．让我们一起来看看基于尺规作图作角平分线的具体例题吧!     

一种n等分角的折尺滑槽法

<正>本文提出了一种利用折尺和滑槽实现n等分角的方法,该方法利用由首尾铰接的多段直线组成的折尺和将折尺铰接点限定在直线上的两个相互铰接的滑槽实现了n等分角.n等分角不仅是一个古老的几何问题,而且在机构学中也有实践意义.其中,三等分角是古希腊三大几何难题之一,已经证明,在尺规作图的前提下,该问题无解.但是,若将条件放宽,配合某些作图工具,就能实现三等分乃至n等分角.本文提出了一种n等分角的新工     

任意角可以m等分的条件

设 p是任意奇素数 ,证明了任意角不能通过圆规直尺作图 p等分 .进而证明了任意角可以 m等分的充要条件是 m是 2的方幂     

等分圆周法的改良

用尺规等分圆周,即作正多边形的问题,早已由高斯(Gauss)所解决了。由高斯公式p=2~2~k+1可知,当k通过扩大自然数集时,若p表一素数,则存在将单位圆p等分的尺规作图法。由公式可知在100以内的边数为素数的正多边形能用尺规作出的仅2、3、5、17四种正多边形而已。并且正十七边形尺规作图法虽有多种,但均较繁难,故在实际应用时仍多用近似作图法。其它的无法用尺规准确作出的正多边形(如正九、十一、十三等多边形)当然只好用近似作图法了。     

大道至简 大简至美——南京市2017年中考数学尺规作图题赏析和思考

尺规作图,顾名思义,是指用没有刻度的直尺和圆规来作图,它起源于古希腊的数学课题.尺规作图,题型多样,对于培养学生的动手操作能力有着不可替代的作用.南京市2017年初中毕业学业考试数学中呈现了一道这样的题,仅用尺规,用两种不同的方法判断一个角是否为直角.考生的奇思妙想精彩纷呈,笔者有幸参与此题批阅,现摘其解法,与大家分享,同时,将自己的思考奉上与各位交流.     

再告企圖用規尺三等分角的同志

“用规尺三等分任意角”這一個不成問題的問題,本通報已經登過啟事說明這是一個已經證明“不能”的問題,忠告一些同志不要浪費寶貴的精神企圖“能”了。啓事登了以后,“三等分角”的稿件還是源源而來,我們雖然對於每一稿都作了答覆,但認爲對這樣的問題彼此白費了許多精力和時間,殊不值得,就來稿的情况看:有些同志是不知道這個問題已經證明“不可能”了;也有人明知道了而偏不相信;還有人想了一方法,他自己認爲是對的,但是不會證,讓我們代他證;更有人對於他想的方法並沒有信心,認為是“十不離九”,萬一不對的話,也是近似的;等等。這樣,我們敢大胆地說一句話:這些同志還沒有徹底了解前人對於這個問題的證明,现在我們再一次奉勸企圖用規尺三等分任意角的同誌細讀前人的證明,這樣的證明,數學界公認為是對的已經多年了,如果還有人懷疑,就請先把它駁倒了再研求三等分法,幸勿先想方法,不管前人研究的成果,     

和你再聊尺规作图

<正>在文[1]中,和同学们聊了关于尺规作图的"一些事儿",这里和同学们再聊尺规作图.尺规作图起源于古希腊的数学课题,有着悠久的历史.按照修改后的课标标准(2011年修改),提高了同学们对尺规作图的要求,这是因为,尺规作图都是"有根有据"的,大都根据几何图形的性质或判定,因而尺规作图有助于同学们理解和掌握几何图形的性质与判定,发展逻辑思维和理性精神;尺规作图很多时候需     

关于三分角問題的近似作图法問題

目前为止,还有相当多的朋友,虽然已經承认了用圓規直尺去三等分任意一角是不可能的了(其理由詳見[1],[2]及[3]),但是,他們却在致力于三分角的近似作图法的研究。我們在本文中将要指出,用圆規直尺可以作近似的三等分角,其精确的程度为:誤差可达任意小。如此看来,一切制造一个步署來作三分角的近似作图法的研究,是沒有新的創造意义的。希望还在致力于近似作三分角的朋友們不要再因为在已經彻底終結了的这类古典几何作图題上浪費时間和精力。我們的結論是: 定理.对任意給定的角φ,則对于任意的一小角ε>0,一定可以用圓規和直尺作得一角品(?)*,可使滿足 |(?)*-φ/3|<ε,(*) 其中φ,(?)*,ε的讀数是弧度的数值。 証.显然可以不妨假設0<φ<π/2。用圓規和直尺作两条相交的直綫OA和OB,它們相交子O点的夹角∠AOB=φ,再以O为圓心,以半径为1=OA的长作圓交OA及OB于A及B点,A和B連成綫段AB,其长度記作L。由三角学的知識,得     

明理得法 水到渠成——以“作一个角的平分线”为例浅析初中尺规作图教学

一、引言尺规作图,指用没有刻度的直尺和圆规作图.与用刻度尺、量角器等工具作图相比,尺规作图显得更加客观、精准.观察尺规作图所得几何图形,我们可以将一些结论由"特殊"引向"一般",并归纳出几何的一般性结论.在初     

三等分线段的方法及其推广

初中已经学过用平行线方法三等分线段.现在向大家介绍另一种尺规法来三等分线段.这种方法由“垂线法三等分线段”和“尺规作线段垂线”组合而成.一、垂线法三等分线段如图,AD=DE=EC,FE、HD都垂直AC,又AC⊥AB,PF⊥FE,QH⊥DH.不难得出P、Q是AB的三等分点.(平行线等分线段定理)     

数学诗选

三角函数东升西落照苍穹 ,影短影长角不同。昼夜循环潮起伏 ,冬春更替草枯荣。立体几何锥顶柱身立海天 ,高低大小也浑然。平行垂直皆风景 ,有角有棱足壮观。解析几何代数几何熔一炉 ,乾坤变幻坐标书。图形百态方程绘 ,曲线千姿运算求。三等分角与数域扩张一角三分本等闲 ,尺规限制设难关。几何顽石横千载 ,代数神威越九天。步步登攀皆是二 ,层层寻觅杳无三2 。黄泉碧落求真谛 ,加减乘除谈笑间。注　 1 .应湖南教育出版社邀请编写高中新课程标准教材。每章前面写了一首诗 ,这里是其中的一部分。2 .尺规作图只能将数域不断作二次扩张 ,永远也…