初等作圖问题

所謂初等作圖是只限于用直尺与圓規的作图。有了这个限制以后,我們現在已經可以証明,古来相傳的三大問題:三等分一角、倍立方、化圓为方,是不能用初等作图法作出来的。但是初等作圖不能問題並不限于这三大問題,此外尚有無穷之多。     

关于三分角問題的“研究”问题——答一些青年学生問

近年来,我們中国科学院数学研究所收到了不少关于三分角問題的来信。在这些信中,絕大多数都是来自全国各地的青年学生,他們在钻研数學問題上,敢于通过自己的独立钻研,想尽种种方法来謀求“問題”的解决,这种精神是好的。但是由于对三分角問題的实质缺乏全面的了解,对用圓規直尺三等分任意一角的不可能性沒有得到正确的理解。因此他們白白地耗費了很多时間和精力。根据这种情况,我們认为有必要向青年学生再作一次广泛的說明,使对三分角問題的提法上有較为正     

立方倍积問題和蔓叶綫

求立方体的倍积、三等分任意角以及化圓为方三个問題,一般称之为古代几何学尺規作图的三大問題。远在紀元前三四世紀古希腊不少数学家曾致力于这三个問題的研究,但由于当时还处在数学发展史中的初等数学阶段——常量数学时期,变量概念和代数解析法尚未建立的客观厉史条件下,不能够从理論上判別尺規作图法所能解决的問題的范围。因此这三大問題从紀元前三四世紀到十六世紀近二千年間,不知耗費了多少古希腊学者以及后来若干数学家們的精力,都沒有能够求得解决。直到十七世紀解析几何产生,建     

关于几何作图的合理方法

在新的八年制学校数学教学大綱的說明中,很注意让“学生經常运用最合理的作图方法”。但因为到現在为止,在教学法的书籍中几乎沒有指出这点。那么,不能說教师在实际教学中已經运用了最合理的作图方法。經驗証明,当存在較簡单的作图方法时,学生通常还是利用过去的方法。我們来举几个例子: 1.利用直尺作角的平分綫。利用双面直尺很容易求得与角的两边等距离的二直綫的交点M(图1a,b)。所求的点同角的頂点A一起就决定了角平分綫。     

圓內整点問題

<正> 用R(t)表示圓x~2+y~2=t的內面及圓周上面的整点的数目,很容易証明当t→∞时R(t)～πt,实际上我們有 R(t)=πt+O(t~a),(1)这里a代表某个小于1的数,我們的問題就是去寻求使得(1)式成立的a的下界.到     

再告企圖用規尺三等分角的同志

“用规尺三等分任意角”這一個不成問題的問題,本通報已經登過啟事說明這是一個已經證明“不能”的問題,忠告一些同志不要浪費寶貴的精神企圖“能”了。啓事登了以后,“三等分角”的稿件還是源源而來,我們雖然對於每一稿都作了答覆,但認爲對這樣的問題彼此白費了許多精力和時間,殊不值得,就來稿的情况看:有些同志是不知道這個問題已經證明“不可能”了;也有人明知道了而偏不相信;還有人想了一方法,他自己認爲是對的,但是不會證,讓我們代他證;更有人對於他想的方法並沒有信心,認為是“十不離九”,萬一不對的話,也是近似的;等等。這樣,我們敢大胆地說一句話:這些同志還沒有徹底了解前人對於這個問題的證明,现在我們再一次奉勸企圖用規尺三等分任意角的同誌細讀前人的證明,這樣的證明,數學界公認為是對的已經多年了,如果還有人懷疑,就請先把它駁倒了再研求三等分法,幸勿先想方法,不管前人研究的成果,     

一個作圖題的另外解法

本通報1953年1-2月號發表的“東北敬部編譯「平面幾何」中的三個作圖題”一文中第一題“求作一圓,切於已知角的一邊上的已知點,而於另一邊上截取一弦等於已知綫段”,現有文成宜和王麗庭兩位同志提出另外的解法,但兩位同志的解法賞大致相類,為省篇幅,我們經過改寫合併發表於下。 設P是已知角XOY的OX邊上的一個已知點,l為已知綫段,假定所求圓已經作出,它切OX於P點,截OY得AB弦,有AB=l(這裹AB與OY同向)。今將P點依OY的方向平移至Q點,使PQ=l,於是PQBA為平行四邊形;再以直綫OY為軸將Q點反射得Q′點,則有     

圓內接五角星的一种作圖法

圓內接五角星的作圖題应用很廣,我們的國旗就是其中的一例,怎样用圓規直尺作已知圓(假定已給圆心O及半徑r)的內接五角星,一般的中学幾何教本裹都講的,而且大都採取如下步驟:將半徑r作中外比分割,証明割下的大段 ((5~(1/2)-1)/2)r (1)是圓內接正十边形的一边長,利用这个長將圓周十等分,再自任一分點開始,順序每隔三个分點作弦,即可得出所求的五角星。有人对这个作法的道理,觉得不易領会,这裹試給出另一种作法,或許对一些同志們有點帮助。这个作法係根据下面的定理: “圓內接正五边形的一边、正十边形的一边和該圓的半徑作成一直角三角形,首者是弦,次者是勾     

圆錐曲线(續)

§4.直圆錐面的平截线现在我們研究在第二种定义下直圓錐面平截綫的各种形状。 設有以O为頂,OA为軸,a(0相似文献   

單用一圓規作圖問题

本文目的:在闡述單用一圆規所能作的圖形的範圍。本文结论:凡能用直尺圆規作出的點,單用一圆規也能作出。凡能用直尺圆規作出的點都不外乎三種情况:ⅰ.直綫與圆的交點;ⅱ.直线与直线的交點;ⅲ.圆与圆的交點。情况ⅲ可單用一圆規作出其理自明,不必再證;而直线又總是聯结二點作出的。因此,要達到上述結論,只須也是必須證明以下兩點:     

最佳控制的数学問題(Ⅱ)

本文第一部分已經引用动态規划方法討論离散和連續最佳控制的数学問題。这一部分的目的在于,闡明解决連續最佳控制数学問題的另一重要方法,即包特約金等人建立的最佳过渡过程理論,現时称为“最大原則”。这个原則給出广泛的一类最佳控制应該滿足的必要条件,此条件是以若干微分方程和一函数取极值的形式表示的。已經証明,对于綫性系统它是这类最佳控制的充分条件。最大原則在討論离散的最佳控制方面,至今只获得初步結果,在此不作說明。 (五)一类最佳控制問題的变換 我們考虑一个二阶系統,其运动方程是其中x_0,x_1是系統的状态参量;(?)_0≡dx_0/dt,(?)_1≡dx_1/dt(不同于以前的定义x_1≡dx/dt);v是控制参量,其限制条件是φ(v)≤0。系統的控制准則是     

关于分圓问题

一.問题的提出和轉化1.問題的提出。用圓規和直尺来等分一个圓周(或者作一个正多边形)在初等几何学里是一个很平常的問題;可是为了完全地解决这个問題,却不是單憑初等几何学的知識所能做到的,这需要有比較高深的工具。我們在这篇文章里是想尽量地利用比較初等的工具来解     

圓錐曲线

本文共分六节,概述圓錐曲縷綜合讲法及代数讲法的要点,并闡明三个定义的等价性。一般书中常見的証明及推导概行略去。最后述及它們的一些应用及共发展略史。 51.直圆錐面的平截綫 設有两条相交直綫。如果固定其中一条并交点,而使另一条在空間围繞这条定綫旋轉,則所产生的曲面叫做直圓錐面。該定点和定綫分別叫做它的頂和轉。当动綫固定在某一位置时叫做它的元綫。由于頂把每条元綫分成两条半綫,故錐面也被頂分成两部分,其中每一部分都叫做半錐面。每一个半錐面上任意半元綫与軸所成的角永远相等叫做半頂角。     

双曲型方程組的一个边界問題和它的应用

<正> 本文分两部分,第一部分討論某种三个未知函数,两个自变量的拟綫性双曲型方程組的一个非綫性边界問題.我們把它化成一个积分函数方程組,然后选取一个恰当的逐次迫近方案并进行了一系列的估計而証明了局部解的存在性.第二部分討論在气体力学中有广泛应用的活塞問題,它的本身应該为一个边界問題,但解具有強間断,而間断曲綫为不定的,沿着它成立一些非綫性的“激波条件”.我們把它化成第一部分中所討論的     

数学奥林匹克讲与练(Ⅸ)

例题讲解65．设O是凸多边形A1A2…An内部的一点，已知O与凸多边形的任意两个顶点构成等腰三角形，求证:O对到凸多边形每个顶点的距离均相等．证明只要证明O到任意两个相邻顶点的距离都相等，不妨考察顶点A1、A2，我们证明OA1＝OA2，注意在等腰三角形中若有一角为钝角或直角，则央这角的两边是等腰三角形的两腰．由已知，△OA1A2是等腰三角形，若A1OA2≥90°，则有OA1＝OA2；若△A1OA2＜90°，我们过O点作l1OA1，l2OA2，则l1、l2相交于O且将平面划分为四部分（图1）．若在③中有凸多边形的顶点Ak，则易知A1OAk、A2OAk均不小…     

一个羣論問題(Ⅱ)

<正> §1.引言 在“一个羣諭問題(Ⅰ)”中作者用一个簡单的方法証明了下面的一个定理.令ρ_(j/2)是轉动羣O(3)的一个首权为j/2a,j是整数,a是素根的一个不可约表示.ρ_(j/2)(O(3))U(j+1),其中U(j+1),表j+1維的么模酉羣.任一綫性羣G,以φ表示G的恆等表示,如合于条件     

诡辩一则--任意三角形均为等腰三角形

命题　如图 1 ,已知△ ABC是任意三角形 ,∠ A的平分线与 BC的垂直平分线交于点 O,则△ ABC是等腰三角形 .证明　如图 1 ,过 O作 OE⊥ AB,OF⊥ AC.∵　 AO为∠ A的平分线 ,∴　 OE =OF,又　 OA =OA,∴　 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF.∴　 AE =AF.连结 OB、OC.∵　 O在 BC的垂直平分线上 .∴　 OB =OC.　又　 OE =OF,∴　 Rt△ BOE≌ Rt△ COF.∴　 BE =FC.又　 AE =AF,∴　 AB =AC.故△ ABC为等腰三角形 .诡辩揭密 :我们知道 ,准确作图是欧氏几何的特点之一 ,忽视规范作图是多数人常犯的通病 ,由此而得到错误结论…     

“三角函数周期性”教学中的几个問題

本文对“三角函数周期性”这一节教材在实际意义上,在研究問題方法上,在教学思想方法上,在对教材处理上作一番探討。因限于作者的水平,錯誤难免,希望得到同志們的批評和指正。問題的提出为什么要对“三角函数周期性”这一节教材进行教学上的探討呢?我現在陈述如下: 第一,我們在0°—360°的三角函数的基础上,根据函数的一般概念,定义了任意角α的六种对应关系,并且专門給了这些对应关系的命名,它們分別称为任意角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数,統称为三角函数。这种定义任意角α的六种对应关系的科学性乃是由科学的欧几里得几何和严格的实数理論給予保証。     

談談农、林生产上“三角形法”的种植問題

我們知道,在农业播种和林业造林中,很多地方已經用“三角形法”代替“四角形法”进行点(穴)播种(如学校里种油菜王、新开果园等按正三角形的三个角頂种植)。这样种法不但提高密植程度,还可以为植物創造更适宜生长的营养面和空間位置。我在数学教学中向同学們介紹了这种方法并作初步的分析,引起了大家对这問題的注意和研究,并企图用正五角形、正六角形、…、任意凸的正n角形来种植。下面談談我对这問題的认识。定理有一公共頂点,以該頂点为角頂的所有頂角之和等于一周角的全等凸正n边形,有且只有正三边形、正四边形、正六边形。 証.设符合定理条件的正n边形用m个頂角可以围成一周角(m≥3),因为正n边形的一个內角等于     

用尺规作图不可能三等分任意角

三等分任意角问题 ,连同立方倍积问题和变圆为方问题 ,是古希腊巧辩学派的学者们于公元前 5世纪提出并研究了的几何学三大问题 .2 0 0 0多年来 ,历代数学家为了解决这三个问题 ,耗费了许多心血 ,但都遭到失败 .其实这三个问题 ,于 19世纪就被严格证明为不可能用直尺、圆规 ,经有限次的作图步骤来解决的问题 .自 16 37年笛卡尔 (ＲｅｎｅＤｅｓｃａｒｔｅｓ,15 96 - 16 5 0 )创立了解析几何学之后 ,尺规作图的可能性就有了判定准则 .1837年万泽尔 (Ｐｉｅｒｒｅｈａｎ ｒｅｎｔＷａｎｔｚｅｌ,1814- 184 8)首先证明了“立方倍积”和“三等分…