反函数导数的一种几何解释

设函数y=f(x)的反函数存在,且f′(x)≠0,则其反函数x=f-1(y)(或记x=φ(y),此处φ=f-1)的导数也存在.在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线,如下图.     

y=a~x与y=log_ax的交点问题

引理1　如果单调增函数与其反函数的图象有交点,那么交点一定在直线y =x上.证　设(a ,b)是函数y =f(x)与其反函数y=f- 1 (x)的图象的交点,则　　　　　b=f(a) ,b=f- 1 (a) ,( 1 )( 2 )由( 1 )得a =f- 1 (b) ( 3)因为f(x)与f- 1 (x)均为单调函数,且f(x)与f- 1 (x)具有相同的增减性.因为f(x)为定义域上的增函数,则f- 1 (x)也为定义域上的增函数.若a≠b ,当a >b时,由( 2 ) ,( 3)有f- 1 (b) >f- 1 (a) .所以b>a ,这与a >b矛盾.同理,当a 相似文献   

对互为反函数图象对称关系的证明过程的注记

关于函数与其反函数的图象间的对称关系有:定理　函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.从教材[1]上对其证明过程来看,证明了两个结论:1.函数y=f(x)图象上任一点M关于直线y=x的对称点M′都在y=f-1(x)的图象上;同时,2.函数y=f-1(x)图象上任一点关于直线y=x的对称点也都在y=f(x)的图象上.若仅仅证明结论1,可否说明y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称?回答是否定的,事实上,只要对本节(P62)中例1稍作改造,就构造出一个反例:y=3x-2(x∈R ),y=x 23(x∈R)易见对y=3x-2(x∈R )图象上任一点,关于直线y=x的对称点都在y=x 23…     

反函数中的几个常见错误观点

观点1函数y-f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像若有公共点,则公共点必在直线y-x上;观点2若函数y=f(x)有反函数,则它一定是单调函数;观点3函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x),则必有f[f-1(x)]=f-1[f(x)]=x成立;     

对反函数中的两个易混易误问题的剖析

1.混淆复合函数的反函数与反函数的复合函数例1已知f(x)=x2(x≤0),求f-1(x 1).误解∵f(x)=x2(x≤0),∴f(x 1)=(x 1)2(x≤-1),令y=f(x 1),即y=(x 1)2,解得x=-1±y,∵x≤-1,∴x=-1-y,∴f-1(x 1)=-1-x(x≥0).剖析误认为f-1(x 1)是f(x 1)的反函数,而事实上f-1(x 1)是反函数的复合函     

函数图象与其反函数图象对称的浅显证法

1　课本内容安排上的弊病体现反函数图象之特点有定理　函数y=f(x)的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称.这是现行高中《代数》上册中有关反函数的一个重要定理.其证明是基于两点的距离公式P1P2=(x2-x1)2 (y2-y1)2,其中(x1,y1)(x2,y2)分别是点P1、P2的坐标.设M(a,b)是y=f(x)上的任一点,则M′(b,a)便是y=f-1(x)之图象上的一点.这时,利用上述距离公式可证:对y=x上任一点P(c,c),都有PM=(a-c)2 (b-c)2=(b-c)2 (a-c)2=PM′.于是,由P是y=x上任一点,可知M、M′关于直线y=x对称(图1).因M是y=f(x)图象上的任一点,故知y=f(x)的图象与y=f-1(x…     

反函数函数的一种几何解释

设函数 y=f ( x)的反函数存在 ,且 f′( x)≠ 0 ,则其反函数 x=f- 1( y) (或记 x=φ( y) ,此处φ=f- 1)的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线 ,如下图。关于函数 y=f ( x)在点 x处的导数 f′( x) ,其几何意义是曲线 y=f( x)在点 ( x,y)处的切线 l关于 x轴的斜率 ,从而有 dydx= f′( x) =tanα,其中α是切线 l与 x轴正向的夹角 ,同时记切线与 y轴正向夹角为 β。关于函数 x=f- 1( y) ( x=φ( y) ) ,在相应点 y处的导数为 φ′( y) ,其几何意义是曲线 x=f- 1( y) ( x=φ( y) )在点 ( x,y)处的切线 l,关于 y轴正向的…     

f[g(x)]的反函数与f~(-1)[g(x)]是两回事

求函数f[g(x)]的反函数与求f-1[g(x)]，许多人把它们看成一回事，因而在或题时会发生这样或那样的错误．求f[g(x)]的反函数是求复合函数的反函数，其反围数的复合过程恰好与原函数相反，即y而求f-1[g(x)]是在求出x=f(x)的反函数广f-1(x)之后，再求出反函数的复合函数．二者过程不同，不能混淆．1求f-1[g(x)]的反函娄例1已知f（X）一3X＋I，求人又十1）的反函数‘有人这样拉：f（X）一3X＋1的反函数是这种解法的错误是显而易见的，由上图进行核验知广’（“＋’）一百（“’‘人正确解法是：函数人X）一3X＋1的反函数是广‘（x）一百（X…     

复合函数的反函数

文[1]论证了在特定条件下函数y=f(x a)的反函数是y=f-1(x)-a,文[2]进一步推理出两函数y=f(ax b)与y=1af-1(x)-ba的图象关于直线y=x对称.顺势顿悟,本文来探索更一般的相关结论.定理1　如果内层函数u=g(x)使集合A到集合B上的映射既是单射*又是满射**,外层函数y=f(u)使集合B到集合     

互反函数一个结论的修正及应用

文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1　反例 2图反例 1　函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2　文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0   

新题征展(76)

A题组新编 1.已知函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x). (1)若方程f(x)-√4-x2+1=0有唯一的正根α,方程f-1(x-1)-√4-x2=0有唯一的正根β,则α与β间的关系为__.     

2008新年趣题撷英

值此新年到来之际,谨编写有关“2008”趣题10例,供广大数学爱好者赏析,并祝大家在新的一年里万事如意!1.若定义在R上的函数y=f(x 1)的反函数是y=f-1(x-1),且f(0)=1,求f(2008).解由y=f-1(x-1)得x-1=f(y),则y=f-1(x-1)的反函数为y=f(x) 1,即f(x 1)=f(x) 1.则f(2008)=f(2007) 1=…     

冷眼看“f[f~(-1)(x)]=x”

数学作为一种工具,强调应用性,新教材教学极其关注这一点,尤其是知识的综合应用和问题的交叉运用,近年来各省的高考试题有不同程度的体现.“问渠哪得清如许,为有源头活水来”,从基础出发,重定义,才能至千里.本文主要通过实例,探讨反函数及f[f-1(x)]=x的实质和应用,加强同学们对抽象函数的理解,希望能给大家一点启示.1求抽象函数的反函数——重在理解反函数的定义例1已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),求函数y=f(2x-1) 1的反函数.解析由y=f(2x-1) 1得,f(2x-1)=y-1,∴f-1[f(2x-1)]=f-1(y-1),即2x-1=f-1(y-1),x=21f-1(y-1) 21.∴y=f(2x-1) 1的…     

考点5 反函数

1.(江苏卷,2)函数y=21-x+3(x∈R)的反函数的解析表达式为().(A)y=log2x-23(B)y=log2x-23(C)y=log23-2x(D)y=log23-2x2.(山东卷,2)函数y=1-x x(x≠0)的反函数的图像大致是().(A)(B)(C)(D)3.(全国卷,3)函数y=3x2-1(x≤0)的反函数是().(A)y=(x+1)3(x≥-1)(B)y=-(x+1)3(x≥-1)(C)y=(x+1)3(x≥0)(D)y=-(x+1)3(x≥0)4.(辽宁卷,5)函数y=ln(x+x2+1)的反函数是().(A)y=ex+2e-x(B)y=-ex+2e-x(C)y=ex-2e-x(D)y=-ex-2e-x5.(天津卷,9)设f-1(x)是函数f(x)=12(ax-a-x)(a>1)的反函数,则使f-1(x)>1成立的x的取值范围为().(A)(a22-a1,+∞)(B)(-∞,a22-…     

函数与其反函数的图像的交点性质

一、问题的提出在学习反函数的时候,有性质“函数y= f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称”．这使得学生猜想:一个函数与其反函数的图像的交点必在直线y=x上．课本上的例子如y=x3与其反函数y=3(x~(1/2))就有三个交点(-1,-1)、(0,0)与(1,1)均在直线y=x上     

不动点的性质及应用

本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略,权当对教材的补充.一、函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解(1)代数意义:若方程f(x)=x有实根x0,则y=f(x)有不动点x0.(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根据情况进行讨论,同时结合图形来求解有关不动点的问题.二、函数不动点的性质性质1:函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),-1不动点.证明:由f(x0)=x0,可得f-1(x0)=x0,所以x0是y=f-1(x)的不动点.性质2:定义在R的…     

新题征展(79)

A题组新编1.已知函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x).(1)若方程f(x)-m 1 x=0的所有实根和方程f-1(x-1)-m x=0的所有实根的集合为k元集合A,则集合A中所有元素的和为.(2)若方程f(x)-mx 1=0(m>0)的所有正根与f-1(x-1)-mx=0(m>0)的所有正根组成一个k元集合A,则集合A中所有元素的积为.(3)     

上期课外练习解答

高一年级1.(1)B≠φ时,-2√2相似文献   

综合题新编选登

题 1 33　已知函数 f(x) =a - 3x ,1)求f- 1(x) ;2 )试讨论 y =f(x) 与 y =f- 1(x)的交点个数 ,并求出交点坐标 .解　 1)由 y =a - 3x ,得x =- y23 a3.∴ f- 1(x) =- x23 a3(x≥ 0 )。2 )当 y =f(x) 与 y =f- 1(x)的交点在 y =x上时 ,联立y =x ,y =- x23 a3(x≥ 0 ) ,消去 y     

类比——高考数学题中的一个亮点

类比是数学推理的一种重要形式 ,它的实质是根据两对象之间的相似 ,把信息从一个对象转移到另一个对象 .类比不仅在数学发现方面有着显著的作用 ,在解题教学、考查学生能力等方面也同样有显著的效果 .近几年高考尤其是上海数学试题做了有益的尝试 ,收到了很好的考查效率 .1 .互为反函数图像与性质的类比2 0 0 2年上海 1 2题 .已知函数 y =f(x) (定义域为点D ,值域为A)有反函数 y=f- 1 (x) ,则方程 f(x) =0有解x =a,且 f(x) >x(x∈D)的充要条件是 y=f- 1 (x)满足f- 1 ( 0 ) =a,且f- 1 (x) 相似文献