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由向量的内积:a·b=|a|·|b|·cosθ, 可得 因为 -1≤cosθ≤1, 所以有 这个结论在证明不等式时常常用到. 例1 已知口a2+b2+c2=1,x2+y2+z2= 1,其中a、b、c、x、y、z均为实数,求证: -1≤ax+by+cz≤1. 证明 设p=(a,b,c), q=(x,y,z), 则 ,即. 相似文献
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已知:a,b,c,d∈R,p,q∈R~+,且a~2+b~2=p,c~2+d~2=q。求ac+bd的最大值。解一:设a=p~(1/2)sinα,b=p~(1/2)cosα,(0≤α≤2π);c=q~(1/2)sinβ,d=q~(1/2)cosβ,(0≤β≤2π) ∵ac+bd=(p·q)~(1/2)(sinαsinβ+cosαcosβ) =(pq)~(1/2)cos(α-β) 故当α=β时,ac+bd有最大值。且值为(pq)~(1/2)。据基本不等式x~2+y~2≥2xy却易有下解。解二:∵a~2+c~2≥2ac,b~2+d~2≥2bd ∴ ac+bd≤(a~2+b~2+c~2+d~2)/2=(p+d)/2(此是一与a,b,c,d均无关的常数)。故有最大值是(p+d)/2。从上述解一、二我们得知,因(p+d)/2≥(pq)~(1/2),即有比ac+bd的最大值(pq)~(1/2)更大的值(p+d)/2。 相似文献
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《数学通报》2004,(7)
第Ⅰ卷 参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α β) sin(α- β) ]cosαsinβ=12 [sin(α β) -sin(α- β) ]cosαcosβ=12 [cos(α β) cos(α - β) ]sinαsinβ =- 12 [cos(α β) -cos(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一、选择题( 1 )设集合M ={(x,y) |x2 y2 =1 ,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) |x2 -y=0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3… 相似文献
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文 1对如下的问题从解法和推广两方面作了探讨 ,本文对此问题先作一变换 ,然后从解法、推广、引申、推论四个方面对其作进一步探究 .问题 1 曲线 x2a2 y2b2 =1 (a,b∈ R )过点 M(1 ,1 ) ,求 a b的最小值 .问题 1等价于 :已知 1a2 1b2 =1 (a,b∈R ) ,求 a b的最小值 .将点 M(1 ,1 )一般化 ,则得到如下的问题2 .问题 2 已知 a,b,x,y∈ R ,且 ax by= 1 ,求 x12 y12 的最小值 .1 别解解法 1 (基本不等式法 )∵ ax by =1 ,∴ (x12 y12 ) 2= (ax by) (x12 y12 ) 2= (ax by) (x 2 x12 y12 y)= a 2 ax-12 y12 ax-1y bxy… 相似文献
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三角和代数是初等数学的两个重要组成部分,在解决某些代数问题时适当应用三角代换不仅可以化繁为简,还可启发学生的思维,开拓解题思路,提高学生分析问题解决问题的能力.本文就此作初步的探讨.1 证明条件等式有些条件等式直接证明很麻烦或很困难,如能适当引进三角代换,问题往往就简单多了.例 设x2 y2=1,ax2 by2=c,ax2 by2=d,a,b,c为不同的实数,求证 da-b ab-c bc-a=0证明 注意到条件中有x2 y2=1,故令x=cosα,y=sinα.于是便有acos2α bsin2α=c (1)asec2α bcsc2α=d (2)由(1)和已知条件得sin2α=c-ab-acos2α=b-cb-a代入(2)得 a… 相似文献
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一类含三角函数的初等函数取值范围问题的图象解法 总被引:2,自引:0,他引:2
一类求在给定条件下三角函数式的取值范围问题 ,已有多篇文章论及 (参见文〔1〕〔2〕〔3〕) ,但美中不足的是文中未给出如何揭示隐含条件以避免误解 .笔者发现这类问题通过构造合适的直线或圆锥曲线能充分揭示隐含条件 ,正确求解 .例 1 已知 sinα 2 cosβ=2 ,求 2 sinα cosβ的取值范围 .解 设 x=sinα,y=cosβ,t=2 sinα cosβ则有 x 2 y=2 ,2 x y=t( |x|≤ 1,|y|≤ 1) .t的取值范围即线段 x 2 y=2与平行线段 2 x y=t( 0≤ x≤ 1,12 ≤ y≤ 1)相交时 ,2 x y=t在 y轴上截距的取值范围 .由图 ( 1)易得 :当 2 x y=t通过点 B( 1,12 )时 ,t… 相似文献
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习题 已知 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,求证 :a2 + b2 >3 a3 + b3 .证明 原命题等价于( a2 + b2 ) 3 >( a3 + b3 ) 2 ,展开很易证明 .推广 已知 a,b,m,n∈ R+ ,且 a≠ b,m >n,求证 :n an + bn >m am + bm .证明 构造函数 y =f( x) =x ax + bx( a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ) ,两边取对数得 lny =ln( ax + bx)x ,两边取导数 ,得y′y =x( axlna + bxlnb) - ( ax + bx) ln( ax + bx)x2 ( ax + bx) .∵ a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ,∴ ( ax) ax . ( bx ) bx <( ax + bx ) ax+ bx,∴ x( axlna + bxlnb) <( ax + bx) ln( ax + bx) ,∴ y′… 相似文献
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题目已知二次函数f(x)对任意x∈R都有f(1-x)=f(1+z)成立.设向量a=(sin x,2),b=(2sinx,2^-1),c=(cos2x,1),d=(1,2).当x∈[0,π]时,求不等式f(a·b)〉f(a·d)的解集. 相似文献
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本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2], 相似文献
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一、构造数列等差 (等比 )中项求三角函数值例 1已知sinα +cosα =15 ,α∈ (0 ,π) ,求tanα =?解 ∵ sinα +cosα =2× 110 ,∴ sinα、110 、cosα成等差数列 ,设公差为d ,sinα =110 -d ,cosα =110 +d .∵ sin2 α +cos2 α =1,知d =± 710 ,当d= -710 时sinα =810 ,cosα =-610 ,tanα =-43 ;当d =710 时 ,sinα =-610 <0与α∈ (0 ,π)不符 ,∴ tanα =-43 .例 2已知sinαcosα =122 5 ,α∈ (0 ,π4) ,求tanα =?解 ∵ sinαcosα =122 5 =(125 ) 2 ,∴ sinα、 125 、cosα成等比数列 ,设公比为 q ,∴ sinα =125 q ,… 相似文献
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1.设a∈R,A={x|1≤x≤4},B={x|x~2-2ax+a+2≤0},当AB时,求a的取值范围。 2.(1)讨沦函y=arcctgax(a>0,a≠1)的增减性 (2)求函数的反函数 3.已知x>0,x≠1,n为大于1的自然数,试比较1/log2x+1/log3x+…+1/log~nx与n/log2x的大小。 4.(1)已知a、b、c是互不相等的复数,试求a+b/b=b+c/c=c+a/a的值。 (2)设z_1、z_1是复数,且满足|z_1|<1,|z_2|<1,求证|(z_1-z_2)/(1-z_1z_2)|<1。 5.设等比数列z_1,z_2,z_3,…,z_n,…中的 相似文献
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《上海中学数学》试题研究组 《上海中学数学》2007,(4)
一、选择题(10小题,每小题5分,共50分)1.若对于实数a、b、c、d,定义一种新的运算(a,b)(c,d)=(ad—bc,ac bd),那么(2007,0)(2008,1)=()A.(2007,2008)B.(2008,1)C.(2007,2007×2008)D.(2007×2008,2007)2.已知函数f(x)=sin4x 4cos2x-cos4x 4sin2x,则f(8π)的值是()A.0B.22C.2-22D.2 223.已知两个正数a、b(a>b)的等差中项为5,等比中项是4,则双曲线ax22-by22=1的离心率e等于()A.417B.215C.3D.2334.已知x,y满足不等式组y≥-2x≥yx 2y≤4,则w=(x 1)2 (y—1)2的最小值为()A.3B.59C.2D.25.设函数f(x)=x3 2x(x∈R),若当0<θ≤π2时,f(mcosθ) … 相似文献
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问题已知a、b、c∈R,a+b+c=1,a2+b2 +c2=1,求证:-1/3≤c≤1. 证明∵点P(a,b)是直线x+y=1-c 和圆x2+y2=1-c2上的点,即P是直线和圆的公共点, 相似文献
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A.题组新编1 .( 1 )函数 f ( x) =2 x - 3x 1 的图像的对称中心为 ;( 2 )函数 f ( x) =ax cx b 的图像的对称中心为 ( 1 ,2 ) ,则 a = ,b = ;( 3)函数 f( x) =ax - 1x 1 在 ( -∞ ,- 1 )上是减函数 ,则 a的取值范围是 .2 . ( 1 )在锐角△ ABC中 ,sin A、cos B的大小关系是 .( 2 )在锐角△ ABC中 ,设 x =sin A sin B sin C,y =cos A cos B cos C,则 x、y的大小关系是 .( 3)在长方体中 ,一条对角线与一个顶点的三条棱所成角分别为α、β、γ.1 设 p =tanα tanβ tanr、q=cotα cotβ … 相似文献
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证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x 相似文献