第十七届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答

一、（满分20分）在商店,经常见到一些商品的包装不合适,从商品本身的保质来讲不需要如此的包装,它既造成浪费,又使消费者增加了支出,属于过度包装. （1）请给＂过度包装＂建立一个便于消费者观察的度量指标; （2）请列举一个具体实例,通过计算,说明你建立的度量指标能够比较好地刻画＂过度包装＂的程度.     

判别分析法在市场分析中的应用

一、问题的提出 近年来,市场销售疲软是我国经济生活中的突出问题.许多企业由于产品老化、质量不过关,包装、外在美观等方面的欠缺不得不停产。为了使产品适销对路、做到货畅其流,企业经营者必须掌握消费者的购买心理。在选择商品时,消费者往往不是据商品的某一特性,而是根据商品的多项指标如产品的内在质量,外型美观,式样以及包装等来判别商品是否中意。企业经营者进行市场分析的一个重要方面是充分利用顾客对商品评价的反馈信息,判别商品是畅销还是滞销,从而及时了解产、供、销之间的矛盾,按需组织生产,最大限度地满足人民群众日益增长的…     

第十四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答

1 (满分20分)我们常常会发现在商店里买同一种商品,大包装的比小包装的合算.如某种品牌的牙膏,质量30克的每支2.50元/支,质量120克的每支8.50元. 如果不考虑运输成本,假设一支牙膏的价格＝(牙膏的生产成本+包装成本)(1+固定比例的商业利润率),而生产成本与商品的重量成正比,包装成本与商品包装的表面积成正比,商业的固定利润率为20%.     

混合投影体的极与混合相交体的Aleksandrov-Fenchel 不等式的稳定性

引进了多个几何体(主要是凸体(Convex body)和星体(Star body)) 相似``偏差'的一个度量方法, 从而推广了已有的相似``偏差'度量方法.并在此度量下,利用Rⁿ 中Hölder不等式的一个加强获得了文献[1]建立的混合投影体的极的Aleksandrov-Fenchel不等式和文献[2]建立的混合相交体的Aleksandrov-Fenchel不等式的稳定性版本.     

关于集合的粗相似度量的注记

举例说明文献"集合的粗相似度量"中定理3.1(2)的结论是不严谨的,从而给出一个严谨的结论。     

一类Reinhardt域的全纯截曲率

本文对Reinhardt域D(k)在不变Kahler度量下的全纯截曲率的具体表达式给出详细证明.并构造了一个不变的完备的不小于Bergman 度量的D(k)的Kahler度量,使得其全纯截曲率的上界是一个负常数,从而得到域D(k)的关于Bergman 度量和 Kobayashi度量的比较定理.     

非二重性拟度量测度空间中修正的极大函数定理及其应用

主要研究了拟度量测度空间(X,d,μ)中修正的极大函数,其中X表示集合,μ表示不满足二重性的Borel测度,d表示不满足对称性的拟度量,本文对修正的极大函数建立了弱(1,1)估计和(Φ,Φ)型估计,其中Φ比N函数更一般.作为应用,证明了拟度量测度空间中推广的Lebesgue微分定理.本文的结果也适用于与常系数Kolmogorov型算子对应的Lie群G=(R~(N+1),o).     

代数结构上的模糊拟伪$b$-度量

研究代数结构上的模糊(拟)伪$b$-度量. 主要结论有: (1)设$G$是一个抽象群, $\tau$是$G$上一个左不变模糊拟伪$b$-度量(伪$b$-度量)诱导的拓扑,如果$(G,\tau)$是右拓扑群,那么$(G,\tau)$是一个仿拓扑群(拓扑群); (2)设$S$是一个半群,如果$\tau$是$S$上一个不变模糊拟伪$b$-度量诱导的拓扑,那么$(S,\tau)$是一个拓扑半群.     

经济平衡点的一般理论和求法

经济平衡点的理论和求法是数学经济学的重要课题之一.这里,我们将介绍经济平衡点问题的提法,一般理论和求经济平衡点的两条途径.一、纯交换经济的平衡问题1.消费者理论我们设想,消费者可以从某个商品集合X中选购商品,通常假设X是n维欧氏空间R”中的非负卦限R_+~n.某消费者在X中取x=(x_1,…,x_n)表示他选取第一种商品x_1(个单位),第二种商品x_2,…,取第n种商品x_n(个单位).我们称x为消费向量     

从不定度量空间形式到不定度量空间形式的等距浸入

设Msm(c)是等距浸入在2m-1维不定度量空间形式Ns2m-1((?))(c<(?))中的m维不定度量空间形式．若Msm(c)是极小的,我们证明Msm必定是有同一个指标s的2m-1维伪球面中的平坦子流形．我们还用孤立子理论给出了Ns2m-1中平坦的指标为s的子流形与系统之间的对应．     

Veljan-Korchmaros不等式的稳定性

关于Euclidean空间E~n(n■2)中单形的几何不等式,由于支撑函数或径向函数的表达式很难找到,因此一般很难用Hausdorff度量或径向度量来度量两个单形的"偏差",使得涉及单形的几何不等式的稳定性的研究一直为空白.本文利用单形棱长在确定单形时起决定性作用这一事实,引进了两个单形"偏正"度量的概念,从而较好地解决了单形偏正度量的问题,由此建立了著名的Veljan-Korchmaros不等式的稳定性版本,作为推论,导出了单形中著名的Weitzenb■ck不等式和Euler不等式的稳定性版本,最后提出了几个有待解决的问题.     

基于改进的Fishburn测度的一致性风险度量

一致性风险度量在金融风险管理中是十分重要的风险度量.下偏矩度量是位于目标收益(率)下方的风险损失,通过引入新目标收益率对Fishburn风险测度进行了改进,在Fischer基于单边矩风险度量所建立的一致性风险度量的基础上得到了一个新的一致性风险度量,适用于任何类型的收益(率)分布,更加符合投资者的心理实际,最后通过实例验证了所得的一致性风险度量的有效性和合理性.     

可数对一映射及相关问题

本文研究了■0-sn-度量空间与度量空间之间的关系.利用特殊映射,获得了在序列空间中下述命题等价:(1)空间X是■0-sn-度量空间;(2)存在从度量空间M到X可数对一、序列商、σ映射f;(3)存在从度量空间M到X可数对一、序列商、σ映射f使得对每一个x∈X,■f-1(x)是σ-紧.推广了参考文献[3,4]中的一些结果.     

Sn+1中具有调和M(o)bius曲率张量的超曲面

设x:Mn→Sn 1是(n 1)维单位球面Sn 1中的无脐点的超曲面.Sn 1中超曲面x有两个基本的共形不变量:M(o)bius度量g和M(o)bius第二基本形式B.当超曲面维数大于3时,在相差一个M(o)bius变换下这两个不变量完全决定了超曲面.另外M(o)bius形式Ф也是一个重要的不变量,在一些分类定理中Ф=0条件的假定是必要的.本文考虑了Sn 1(n≥3)中具有消失M(o)bius形式Ф的超曲面:对具有调和曲率张量的超曲面进行分类,进而,在M(o)bius度量的意义下,对Einstein超曲面和具有常截面曲率的超曲面也进行了分类.     

树立“转化”的思想方法学习立体几何

立体几何是高中数学的一个重要内容,这部分内容除了学习一些规则几何体的面积和体积公式外,重点是两种位置关系(平行和垂直)和两个度量性质(夹角和距离).在位置关系和度量性质的学习中,树立"转化"的思想方     

传递系统的伪分解函数和应用

令X为一个紧致度量空间,fX→X为(拓扑)传递的映射.通过对传递系统(X,f)在fn,n∈N的作用下的伪分解,先引入一个新的拓扑不变量"传递系统的PD函数(伪分解函数)".然后,讨论关于此不变量的一些重要性质.最后,把关于周期轨道的Sharkovskii定理推广到传递子系统上.     

对偶平坦(α,β)-度量的共形不变性

本文主要研究了两个(α,β)-度量之间的共形变换.证明了:若F是一个局部对偶平坦的正则(α,β)-度量且与度量■共形相关,即■,那么度量■也是一个局部对偶平坦的(α,β)-度量当且仅当共形变换是一个位似.进一步,在度量具有奇异性的情形,我们证明了两个局部对偶平坦广义Kropina度量之间的任一共形变换必然是一个位似.     

蛋筒冰淇淋的包装设计

1.问题的叙述 某冷饮厂要制造一种圆锥体蛋筒冰淇淋,(1)请你帮助设计圆锥体形状,使每个冰淇淋的包装费用最少;(2)如果该厂购进一批半径为12cm的圆形包装纸用于该批冰淇淋的包装,请你设计一种下料方案,使这批冰淇淋总包装费用最少. 2.构建数学模型并求解 分析根据实际情况,我们应将每个冰淇淋的重量视为一定值,即冰淇淋的体积是一定     

一类射影平坦的多项式(α，β)度量

讨论了一类具有如下形式的Finsler度量F=α+εβ+kβ~2/α+k~2β~4/3α~3-k~3β~6/5α~5,其中α=(a_(ij)y~iy~j)~(1/2)是一个Riemann度量,β=b_iy~i是一个1-形式,ε和k≠0是常数,研究了这类度量的旗曲率性质,得到了F为局部射影平坦的充要条件.     

度量和与Alexander对称化

近期R.Alexander在度量几何研究中提出了度量和与对称化的基本概念,本文作了进一步工作,建立了度量和与对称化不增高空间维数的一个充要条件;并举例说明其应用。