构造递推式求值

在1990年12月16日咸阳市举行的初中数学选拔赛试题中,其第二试第三题为: 设x_1,x_2是方程x~2 3x 1=0的二根,试求x_1~7 x_2~7的值。此题的次数7太高,不易入手。我们可先算出x_1~4 x_2~4,x_1~3 x_2~3的值,然后两式相乘就行了,这是通常解法。若令F(n)=x_1~n x_2~n(n∈N),由x_1 x_2=-3,x_1·x_2=1,易知F(1)=-3,F(2)=7。 f(n 2)=x_1~(n 2) x_2~(a 2)=(x_1 x_2)(x_1~(n 1) x_2~(n 1))-x_1·x_2(x_1~n x_2~n)     

与5相关的两个有趣结果

性质1 设n为非负整数,则 (1) 当n≤2时,5~(2~(n 1))的末n 1位数等于5~(2~n)。 (2) 当n>2时,5~(2~(n 1))与5~(2~n)有相同的末n 2位数。证 (1)当n≤2时,直接验证即知 (2)当n>2时,因为 5~(2~(n 1))-5~(2~n)=5~(2~n)(5~(2~n)-1)=5~(2~n)(5~(2~(n-1)) 1)(5~(2~(n-2)) 1)…(5~(2~1) 1)×6×4 (*)     

用排列组合解数列题

一、问题的提出在现行高中课本(乙种本)上,通项是自然数连续乘积的数列题。如P124～P13l中有: (1)求证:1·2 2·3 3·4 … n(n 1) =(1/3)n(n 1)(n 2)。 (2)求证:1·2·3 2·3·4 3·4·5 … n(n 1)(n 2)=(1/4)n(n 1)(n 2)(n 3)。按照课本上的要求,仅仅是能用数学归纳法证明即可。而进一步追问这些命题的结果是如何获得的?更为一般的情况又会如何呢?由(1)、(2)我们不难归纳出     

数学板报

公式C_n~n C_(n 1)~m C_(n 2)~m 2 … C_(n k)~m=C_(n k 1)~(m 1)用于求一类数列的和甚为方便。一、求连续自然数积的和例1 求和:1·2 2·3 3·4 4·5 … n(n 1)。解:∵n(n 1)=2C_(n 1)~2 ∴1·2 2·3 3·4 … n(n 1) =2(C_2~2 C_3~2 C_4~2 … C_(n 1)~2) =2C_(n 2)~3 2=1/3n(n 1)(n 2)。例2 求和:1·2·3 2·3·4 3·4·5 … n(n 1)(n 2) 解:∵n(n 1)(n 2)=3!C_(n 2)~3 ∴1·2·3 2·3·4 3·4·5 …     

多元多项式指数和的可除性(英文)

对任意正整数m,n,r,定义S_(n,m)~((r))=Σ_(k_1+K_2+…+k_m=n)(_(k_1,k_2,…,k_m)~n)~r,并定义T_(n,m)~((r))=Σ_(k_1+K_2+…+k_m=n)(-1)~(k_1)(_(k_1,k_2,…,k_m)~n)~r.对S_(n,m)~((r))和T_(n,m)~((r))获得了若干可除性性质.     

一道试题的剖析

有一道国外的中学数学试题: 试证:C_(2n x)~n·C_(2n-x)~n≤(C_2n~n)~2 在讲解此题的过程中,我先引入了另一道试题,“试把17分成两个正整数部分让它们的乘积最大”,我们知道下列的事实; 1·16<2·15<…<7·10<8·9这就是说,当二数的和为定数时,它们的差(的绝对值)越小乘积就越大,事实上,由恒等     

关于连乘积末尾零的个数

1×2×3×…×100积的末尾有多少零呢? 我们知道,一个2和一个5相乘,积的末尾有一个0;两个2与两个5相乘,积的末尾有两个0,…要确定连乘积末尾零的个数,就得搞清连乘积中因子2与因子5的个数.当因子2与因子5的个数不等时,多余的因子就不会使积的末尾的零增加.在1×2×3×…×100的积中,显然2的个数多于5的个数,因此,求其连乘积末尾零的个数,实际上就是求1到100这一百个连续自然数中含5的总个数. 在连续自然数中.从1数起,每5个数.恰有一个数至少含有一个5;每5~2个数,恰有一个数至少含有两个5……因此,我们只要用100除以5,就能得到至     

SL(3,3~n)和SU(3,3~n)的第一Cartan不变量

确定Cartan不变量是代数群与相关的李型有限群的模表示理论中的一个重要方面.作者利用代数群模表示理论中的一系列结果,计算了3~n个元素的有限域上特殊线性群SL(3,3~n)和特殊酉群SU(3,3~n)的第一Cartan不变量,得到如下结论:当G=SL(3,3~n)时,C_(00)~((n))=a~n+b~n+6~n-2·8~n;而当G=SU(3,3~n)时,C_(00)~((n))=a~n+b~n+6~n-2·8~n+2·(1+(-1)~n),其中a,b是多项式x~2-20x+48的两个根.另外,作者也得到了射影不可分解模U_n(0,0)的维数公式:dim U_n(0,0)=(12~n-6~n+∈)·3~(3n),其中,当G=SL(3,3~n)时,∈=1;而当G=SU(3,3~n)时,∈=-1.     

常见累进数列n{(n+1)…(n+m))的求和方法

大家知道1·2+2·3+3·4+…n(n+1)的求和可利用通项公式来求,即: 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=(1~2+2~2+3~2+…+n~2)+(1+2+3+… +n)=(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(1+n)-(1/3)n(n+1)(n+2) 但是用这种方法求和涉及到数列1~2,2~2,3~2…n~2的求和,如果给出累进数列的每项乘积因子则又涉及数列{n~3},{n~4},…的求和,所以利用通项求常见累进数列     

高维Pedoe不等式的一个加强

设Ω(A_n),Ω(A'_n)是n维欧氏空间E~n(n≥3)中的两个n维单形,棱长分别为a_i,a'_i(i=1,2,…,C_(n+1)~2),体积为V_n,V'_n,各棱长的乘积分别为P_n,P'_n对θ∈(0,2],本文证明 sum from i=1 to C_(n+1)~2 (a'_i~θ(sum from j=1 to C_(n+1)~2 (a_i~θ-2a_i~θ))≥((n(n+1)(n~2+n-47))/8)·[2~n(n!)~2/n+1]~(θ/n)[(P'_n/P_n)~(2θ/n(n+1))V_n~(2θ/n)+(P_n/P'_n)~(2θ/n(n+1))V'_n~(2θ/n)]等号成立当且仅当n(A_n),n(A'_n)均为正则单形。     

两项式ab~n+cd~n 的整除问题

高中数学课本第三册复习题四第14题(P158)要求用数学归纳法证明:3~(n+2)十4~(2n+1)能被13整除。本文对这类问题再提供一种极为简便的证法。定理:若d-b能被a+c整除,则ab~n十cd~n也能被a+c整除(a,b,c∈R,且a+c≠0,n∈N) 证明:ab~n+cd~n=(a+c)b~n+c(d~n-b~n)=(a+c)b~n+c(d-b)(d~(n-1)+d~n-2b+d~n-3 b~2 +…+db~(n-2)+L~(n-1))。因为(a+c)b~n和c(d-b)(d~(n-1)+d~(n-2)b++d~(n-3)b~2+…+d~(n-2)+b~(n-1))都能被a十c整除,故ab~n+cd~n能被a+c整除。例1 求证:3~(n+2)+~(2n+1)能被13整除证明:3~(n+2)+4~(2n+1)=9·3~(n+4)·16~n     

多项式函数的极值点与拐点判别及个数公式

本文讨论了多项式函数(x-a)~n,(x-a)~ng(x)(n∈N,n1,a∈R)和∏ki=1(x-a_i)~(n_i)(n_i∈N,n_i0,a_i∈R)的极值点和拐点,并给出了函数∏ki=1(x-a~i)~(n_i)(n_i∈N,n_i0,a_i∈R)所有极值点和拐点的个数公式.     

判定数列敛散性的两个定理

学生在判定数列的收敛与发散时,对有些数列极限,如(?)2~n·3~n~2/(3~n 1-3-n)~n,(?)(-1)~n·n~n/(n!)~2 以及(?)(n!)~n/n~n~2等感到困难.本文给出利用比值和根值判定数列敛散性的两个定理,可以收到良好的效果.     

求解逆特征值问题的牛顿类方法的收敛判据

<正>1引言多年来,众多数学工作者在推导和分析如下定义的逆特征值问题(IEP)的理论和算法上表现出了相当大的兴趣.以下我们设c=(c_1,c_2,….c_n)~T E R~n,{A_i}_(i=1)~n是n个实对称的n×n矩阵.定义A(c)=∑ni=1c_iA_i.(1)设A(c)的特征值为{λ_i(c)}_(i=1)~n且λ_1(c)≤λ_2(c)≤…≤λ_n(c).设{λ_i~*)_(i=1)~n为任意给定的n个数并且满足λ_1~*≤λ_2~*≤…≤λ_n~*.我们这里考虑的IEP就是寻找向量c~*∈R~n使得λ_i(c~*)=λ_i~*对任意的i=1,2,…,n.(2)     

问题与解答

一本期问题 1 △ABC中,已知BC、CA、AB边上的高分别是h_a=6、h_b=4、h_C=3,试求△ABC的面积。 2 设以r为半径的圆内接正992边形P_1P_2…P_(992),P是圆周上的任意一点,求证PP_1~2+PP_2~2+…+PP_(992)~2=1984r~2。上海金山县中学生朱维欧提供 3 证明当n是自然数时,2~(1/2)·4~(1/4)·8~(1/8)…2~n(2~n)~(1/2)<4。 4 设x、y为正整数,且3x~2+2y~2=6x,问x取何值时,x~2+y~2达到最大值,并求出此最大值。巴东安居中学谭志新提供 5 求证 lg1+lg2+…+lgn相似文献   

一个递推公式及其应用

本文介绍一个递推公式及其在解题中的广泛应用。1 递推公式设F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥0,n∈Z),构造以x_1,x_2,…,x_k为根的方程: x~k+m_1x~(k-1)+m_2x~(k-2)+…+m_k=0 我们称这个方程为F(n)的特征方程,则F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥k,x∈Z)满足下列递推公式:     

有关组合问题的几个公式

我们知道,利用牛顿二项式定理可推得一个很著名的组合总数公式 C_n~1 C_n~2 C_n~3 … C_n~n=2~n-1 (1)新编高中数学课本第三册的P160上安排了一道习题,即证明: C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … hC_n~n=n·2~(n-1) (2)这个习題实际上也是一个很重要的组合公式。根据这两个公式及牛顿二项式定理,可推导出以下一些重要的结果。定理1.C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =(n-2)2~(n-1) 1 证明:C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n-(C_n~1 C_n~2 C_3~n … C_n~n), 由公式(1)及(2),得 C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n=n·2~(n-1)-2~n 1=(n-2)2~(n-1) 1     

组合数列求和的一个方法

组合数列求和方法多样,独特灵活,不少文献均有介绍。这里笔者介绍一个易于为中学生所接受的初等方法,旨在启思创新,提高灵活运用数学知识解题的能力。§1 一个例子求C_2~2+C_3~2+C_4~2+…+C_n~2的值。思路分析:C_2~2是表示(1+x)~2展开式中x~2项的系数;C_3~2是表示(1+x)~3展开式中x~2项的系数;…;C_n~2是表示(1+z)~n展开式中x~2项的     

乘法公式应用举例

乘法公式有平方差公式(a b)(a-b)= a~2-b~2、完全平方公式(a±b)~2=a~2±2ab b~2,在学习中应掌握以下三种乘法公式的用法．一、直接套用公式掌握公式的特征、认清公式中的两数,给“a”、“b”对号入座．例1计算(-2m 3n)(-2m-3n)．分析题目中具备-2m、3n的和与差的乘积形式,符合平方差公式,直接套用公式．     

怎样构造数列解非数列问题

解题过程实质上包含着多次思维的转化过程。如果从分析问题所提供的信息知道其本质与数列有关,那么该题就可以考虑转化为运用构造数列的方法来解,那么如何根据题情恰当地构造辅助数列呢?下面的探索仅是初步,并限解决非数列问题。一、直接构造法这种方法就是直接运用题目所给的条件或结论来构造辅助数列,通过它的桥梁作用,促使问题发生转化。例1 是否存在常数a、b、c,使得等式 1·2~2 2·3~2 … n(n 1)~2=n(n 1)/12(an~2 bn c)对一切自然数n都成立?并证明你的结论。(89