用方程“asinx bcosx=c”有解的条件解题

三角方程ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的充要条件是ａ２＋ｂ２≥ｃ２．事实上,原方程可化成ｓｉｎｘａａ２＋ｂ２＋ｃｏｓｘｂａ２＋ｂ２＝ｃａ２＋ｂ２,即　ｓｉｎ（ｘ＋θ）＝ｃａ２＋ｂ２（其中ｔｇθ＝ｂａ）．由于｜ｓｉｎ（ｘ＋θ）｜≤１　知ｃａ２＋ｂ２≤１,即得ａ２＋ｂ２≥ｃ２．显见其逆亦真．利用此结论有时可简捷地解答一些类型的问题．例１　若关于ｘ的方程３＋２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ１＋２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ＝ｋ恒有实数解,求实数ｋ的取值范围．解　原方程可整理成（３ｋ－１）ｃｏｓｘ＋（２ｋ－２）ｓｉｎｘ＝３…     

1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

三角形内角的余弦方程及应用

设△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ,ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,内切圆、外接圆的半径分别为ｒ、Ｒ,则ｃｏｓＡ、ｃｏｓＢ、ｃｏｓＣ是方程,４Ｒ２ｘ３－４Ｒ（Ｒ＋ｒ）ｘ２＋（ｐ２＋ｒ２－４Ｒ２）ｘ＋（２Ｒ＋ｒ）２－ｐ２＝０（１）的三个根．证明在△ＡＢＣ中,由ｔｇＡ...     

参数方程与极坐标单元测试题

一、选择题（每小题只有唯一正确答案）１下列以θ为参数的参数方程：（１）ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝２ｓｉｎθ｛（２）ｘ＝２ｓｉｎθｙ＝－ｃｏｓθ｛（３）ｘ＝２－２ｃｏｓθｙ＝１－ｃｏｓθ｛（４）ｘ＝２ｃｓｃθｙ＝ｃｔｇθ｛其中表示的曲线是椭圆的方程的个数为（...     

一道错题与一个有意义的结论

题目：若ｔｇＡ、ｔｇ３Ａ是方程ｘ２＋６ｘ＋７＝０的根．求２ｓｉｎ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１２ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１的值．这是某地区的一道期末统考题．命题者提供的解答是：∵２ｓｉｎ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１２ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１＝－ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ...     

巧构函数解一类三角问题

定理设ｆ（ｘ）＝ａ１ｓｉｎ（ｘ＋α１）＋ａ２ｓｉｎ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｓｉｎ（ｘ＋αｎ）（或ｆ（ｘ）＝ａ１ｃｏｓ（ｘ＋α１）＋ａ２ｃｏｓ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｃｏｓ（ｘ＋αｎ））（ａｉ,αｉ是常量,ｉ＝１,２,…,ｎ）．如果对ｘ１,ｘ２（ｘ１－ｘ２...     

一道三角题多解的辨析

有这样一道三角题：已知ｓｉｎ２α＝ｍ,ｃｏｓ２α＝ｎ,求ｔｇ（α＋π４）的值．集众多书刊的解法如下．解法１ｔｇ（α＋π４）＝１＋ｔｇα１－ｔｇα＝１＋ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α１－ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α＝１＋ｍ＋ｎ１－ｍ＋ｎ．解法２ｔｇ（α＋π４）＝...     

求f(x)的若干方法

换元法例１已知ｆ（ｓｉｎｘ－１）＝ｃｏｓ２ｘ＋２,求ｆ（ｘ）．解设ｓｉｎｘ－１＝ｔ,∴ｓｉｎｘ＝ｔ＋１（－２≤ｔ≤０）,则ｃｏｓ２ｘ＝１－ｓｉｎ２ｘ＝１－（ｔ＋１）２,∴ｆ（ｔ）＝１－（ｔ＋１）２＋２（－２≤ｔ≤０）,∴ｆ（ｘ）＝－ｘ２－２ｘ＋２（－...     

确定角的范围时应注意剔除干扰值

三角计算中有时会因角的范围较大而出现多值的情况,此时需由已知条件将角定在一个较小的区间内,使我们能保留所需要的结果,剔除那些干扰值,以避免三角计算中的失误．例１　若ｘ为第一、二象限角,且ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝１５,求ｔｇｘ．错解　由ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝１５,两边平方整理得　ｓｉｎ２ｘ＝－２４２５,∴　２ｔｇｘ１＋ｔｇ２ｘ＝－２４２５．即　１２ｔｇ２ｘ＋２５ｔｇｘ＋１２＝０,解之得　ｔｇｘ＝－４３或ｔｇｘ＝－３４．评析　由２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝－２４２５知ｘ不能为第一象限角,∴　ｘ只能为第二象限角．故…     

1999年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷(理工农医类)

考生注意：本试卷共有２２道试题,满分１５０分．　　一、填空题（本大题满分４８分）本大题共有１２题,只要求直接填写结果,每个空格填对得４分,否则一律得零分．１．ｔｇ［ａｒｃｃｏｓ２２－π６］＝．２．函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ｘ＋１（ｘ≥４）的反函数ｆ－１（ｘ）的定义域是．３．在（ｘ３＋２ｘ２）５的展开式中,含ｘ５项的系数为．４．在△ＡＢＣ中,若∠Ｂ＝３０°,ＡＢ＝２３,ＡＣ＝２,则△ＡＢＣ的面积Ｓ是．５．若平移坐标系,将曲线方程ｙ２＋４ｘ－４ｙ－４＝０化为标准方程,则坐标原点应移到点Ｏ′（　,　）．６…     

解直角三角形目标检测

一、填空（每空２分，共３０分）（１）在△ＡＢＣ中：∠Ｃ＝９０°，ａ＝１２，ｂ＝９，则ｓｉｎＡ＝，ｃｔｇＡ＝．（２）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝４５，ＡＢ＝１０，那么ＢＣ＝，ｃｏｓＢ＝．（３）已知ｃｏｓ５４°３６′＝０．５７９３，查表求得同一行中它的修正值是５，则ｃｏｓ５４°３４′＝．（４）用“＜”号连结下列各数：ｓｉｎ３０°，ｔｇ４５°，ｃｔｇ９０°，ｃｏｓ４５°，ｃｔｇ６０°，ｃｏｓ３０°：．（５）化简：（ｓｉｎ６０°－１）２＋｜１＋ｃｏｓ３０°｜＝．（６）在△ＡＢＣ中，∠Ｂ是锐角，…     

分式目标检测题(B)

一、填空题（每空３分,共３３分）１．当ｘ＝时,分式｜ｘ｜－２ｘ－２的值为零．２．在分式ｎｍ中,当时,分式无意义,当时,分式的值为零．３．约分１４ａ５ｂ３６３ａｂ４ｃ＝．４．若ａ－１ａ＝１,则ａ２＋ａ－２＝．５．若ａ－ｂｂ＝２３,则ａｂ＝．６．当ｘ时,代数式２ｘ－３－１ｘ＋２＋３ｘ２＋１有意义．７．如果１ｘ－３＋１＝ａｘ－３会产生增根,那么ａ的值应是．８．若分式ｘ－３２ｘ＋１的值为负,则ｘ的取值范围为．９．（ｂａ＋ａｂ）ｘ＝ａｂ－ｂａ－２ｘ　（ａ＋ｂ≠０）,则ｘ＝．１０．化简１＋１１－１１＋１ｘ＝…     

一道不等式题的简捷证明

题　已知二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ,当－１≤ｘ≤１时,有－１≤ｆ（ｘ）≤１．求证：当－２≤ｘ≤２时,有　－７≤ｆ（ｘ）≤７．这是文［１］例３,原给出的证明较繁,现简证如下．证明　∵　ｆ（１）＝ａ＋ｂ＋ｃ,ｆ（０）＝ｃ,ｆ（－１）＝ａ－ｂ＋ｃ,∴　２ａ＝ｆ（１）＋ｆ（－１）－２ｆ（０）,∴　｜２ａ｜≤｜ｆ（１）｜＋｜ｆ（－１）｜＋２｜ｆ（０）｜≤１＋１＋２＝４,且　｜ｃ｜＝｜ｆ（０）｜≤１．若ｘ∈［－２,２］,则　ｘ′＝ｘ２∈［－１,１］,于是可得　｜ｆ（ｘ）｜＝｜ｆ（２ｘ′）｜＝｜２ｆ（…     

新题征展(4)

Ａ．题组新编１．（１）图１是四个对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ、ｙ＝ｌｏｇｂｘ、ｙ＝ｌｏｇｃｘ、ｙ＝ｌｏｇｄｘ的图象,则ａ、ｂ、ｃ、ｄ、０、１等六个实数之间的大小关系是　　．（２）设２＜ｍ＜ｎ＜３,则ｌｏｇｍ（ｍ－２）与ｌｏｇｎ（ｎ－２）的大小关系是　　．（３）设０＜ｍ＜ｎ＜１,则ｌｏｇｍ（ｍ＋１）与ｌｏｇｎ（ｎ＋１）的大小关系是　　．２．已知关于ｘ的二次不等式ｘ２－（ａ－２）ｘ＋３ａ＜０在区间（－２,１）内：（１）恒成立,则实数ａ的取值范围是　　;（２）无解,则实数ａ的取值范围是　　;（３）存在解,则…     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１０月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０９６若ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边，且ｃｔｇＡ，ｃｔｇＢ，ｃｔｇＣ成等差数列，则ａ２，ｂ２，ｃ２成等差数列．证明由ｃｔｇＡ＝ｃｏｓＡｓｉｎＡ，Ｓ＝１２ｂｃｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－...     

关于Lagrange平均插值过程的逼近阶估计

本文以多项式（１＋ｘ）Ｖｎ（ｘ）Ｖｎ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｎ＋１２θｃｏｓθ２，ｘ＝ｃｏｓθ的零点作为插值的节点，构造了一个Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式算子过程Ｃｎ（ｆ，ｘ），给出了其逼近阶估计．同时证明Ｃｎ（ｆ，ｘ）亦满足Ｄｉｔｚｉａｎ－Ｔｏｔｉｋ定理．     

构造图形求sin18°

构造图形求ｓｉｎ１８°王昌元（湖北省松滋师范４３４２００）１构造如图１所示的三角形，依余弦定理易得ｃｏｓ３６°＝１—２ｘ２（１）ｃｏｓ７２°＝ｘ即２ｃｏｓ２３６°－１＝ｘ（２）由（３）得（ｘ－１）（２ｘ＋１）（４ｘ２＋２ｘ－１）＝０（４）易知，在（４...     

让学生直接参与对例习题的改造

对题目进行改造我们并不陌生，在全国高考及各级考试的试题中，我们常常会发现有些题目是由旧题改造而来的．①由课本例习题改造而成．例如：求函数ｙ＝ｓｉｎ３ｘｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ３ｘｃｏｓ３ｘｃｏｓ２２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ的最小值．（１９９４年全国高考文科试题）这是高级中学代数上册１９９５年版Ｐ２３０例５题：求证ｓｉｎ３αｓｉｎ３α＋ｃｏｓ３αｃｏｓ３α＝ｃｏｓ３２α的改造形式．由课本例习题改造的高考题还有很多，在此不一一列举．②由其它书籍上的题目改造而来的高考题．已知函数ｆ（ｘ）＝ｔｇｘ，ｘ∈（０，π２）．若…     

图象分析引导我们深入探索——完善一道易错的题

１　一道易错的题题目　已知ｆ（ｘ）＝ａｘ２－ｃ,且－４≤ｆ（１）≤－１,－１≤ｆ（２）≤５,求ｆ（３）的范围．错解　依题意得　－４≤ａ－ｃ≤－１－１≤４ａ－ｃ≤５①②消元可得　０≤ａ≤３１≤ｃ≤７③④∵　ｆ（３）＝９ａ－ｃ,∴　－７≤ｆ（３）≤２６．正解　先用ｆ（１）、ｆ（２）表出ａ、ｃ,即有　　ｆ（１）＝ａ－ｃｆ（２）＝４ａ－ｃ　ａ＝１３［ｆ（２）－ｆ（１）］ｃ＝１３［ｆ（２）－４ｆ（１）］⑤⑥∵　ｆ（３）＝９ａ－ｃ＝８３ｆ（２）－５３ｆ（１）,∴　直接运用已知条件可得－１≤ｆ（３）≤２０．…