矩阵的逆及秩的降阶方法

降阶方法是处理矩阵问题的最核心的思想方法之一.从分块矩阵■出发,利用降阶的思想,讨论了该矩阵的逆与秩的计算,并给出该降阶公式的各种变形以及在解题中的应用.     

关于(R,r)-循环分块矩阵求逆与相乘的一种快速算法

利用矩阵分块逐次降阶的方法和快速富里叶变换(FFT),给出了mn阶(R,r)-循环分块矩阵求逆与相乘的一种快速算法,证明了其计算复杂性为O(mnlog2mn).     

基于矩阵指数函数Laguerre多项式展开的模型降阶方法

在经典平衡截断模型降阶方法的基础上, 提出一种基于矩阵指数函数Laguerre多项式展开的模型降阶方法. 该方法首先利用矩阵指数函数的Laguerre多项式展开, 给出控制系统可控Gram矩阵和可观Gram矩阵的近似低秩分解, 然后构造正交投影变换得到近似平衡系统, 进而通过截断较小的Hankel奇异值对应的状态得到降阶系统. 该方法计算高效, 且具有一定的自适应性. 最后, 通过数值算例验证算法的有效性.     

λ-矩阵的等价和矩阵多项式秩的恒等式

设U(λ)与V(λ)都是m×m阶的λ-矩阵.若U(λ)与V(λ)等价,则对于任意的n阶方阵A,分块矩阵U(A)与V(A)的秩相等.利用此结论刻画了幂零矩阵、零化多项式等.同时,通过考虑两个对角λ-矩阵等价的充要条件,使关于矩阵多项式秩的一些恒等式的讨论有了新的统一的方法.     

关于多维线性系统的逆

本文给出了多维线性系统求逆的新方法,与以前的方法相比,该方法将高阶矩阵的求逆转化为逐次求低阶矩阵的规范形,而且计算更简单、有效和程序化．本文进一步讨论了多维线性系统的降阶逆系统,并分别通过选取可观测空间和不可观测空间的特殊基,得到了比以往降阶逆系统的阶数更加低的降阶逆系统,揭示了原系统的可观测性对逆系统的阶的影响．     

关于矩阵秩（不）等式的分块矩阵构造证明

利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法，证明矩阵秩的（不）等式．     

矩阵分块方法的应用

矩阵的分块方法是矩阵论的一种重要方法,选择合适的分块方法可使一些证明变得简单明了.利用矩阵的分块方法给出关于矩阵的秩、特征多项式、行列式的若干等式、不等式及相关命题的简洁证明,有利于初学者理解和掌握.     

二阶系统基于奇异值的保结构模型降阶方法（英文）

本文提出了一种二阶系统基于奇异值的保结构模型降阶方法.该方法通过脉冲响应的移位勒让德多项式展开系数直接计算得到二阶系统的可控和可观格拉姆矩阵的低秩因子.然后基于二阶系统的奇异值结构,构造相应的平衡系统,进而通过截断较小奇异值对应的状态得到保结构的降阶系统.最后,通过两个数值实验展示了所提方法的有效性.     

关于矩阵秩的一个定理

许多线性代数教材在处理“矩阵秩是矩阵中非零子式的最高阶数”的定理中,常用向量组线性相关、线性无关的知识来证明.本文我们尝试用矩阵分块乘法的方法来证明这个定理.     

关于除环上分块矩阵秩的等式

本文使用双矩阵分解方法研究除环上分块矩阵秩的等式,给出了Marsaglia-Styan公式一个新的证明并获得了一些新的秩等式的刻划.     

矩阵构造法在动力模型物理参数识别中的应用

通过矩阵奇异值分解得到矩阵构造的表达式,并将其应用于动力模型物理参数识别问题.根据矩阵构造表达式的特点,可以使参数识别模型降阶,降阶后的模型与原模型之间的数学和物理性质有明确的对应关系,避免了为忽略高阶频率而采用缩聚方法造成的误差.最后,数值算例获得满意的结果.     

一种改进的线性系统的有限时间平衡截断（英文）

本文提出一种改进的线性系统的有限时间平衡截断方法.该方法首先利用Shifted Legendre多项式对线性系统的有限时间可控Gram矩阵和可观Gram矩阵进行近似低秩分解,其中根据正交多项式与幂级数之间的关系,该近似低秩分解因子可以通过简单的递推公式得到,然后构造正交投影变换得到近似平衡系统,进而通过截断较小的Hankel奇异值对应的状态得到降阶系统.此外,本文还简要讨论了该降阶模型的稳定性.最后,通过数值算例验证了算法的有效性.     

几类矩阵的判定

主子式(顺序主子式)全为正或非负的矩阵、广义正定(非负定)矩阵、M 矩阵、广义对角占优矩阵等几类矩阵在矩阵理论和许多应用领域内是十分重要的矩阵类,本文提出判断一个矩阵是否上述几类矩阵的统一方法—分块降阶判定法,它包含、改进了[4、5]中主要结论。     

非交换主理想整环上分块矩阵的秩

本文从非交换主理想整环Ｒ上矩阵Ａ的秩与它在Ｒ所嵌入的商除环Ｋ上的秩间的关系着手，证得了Ｒ上分块矩阵秩的一些结果，因此也解决了［１］中关于ｐ￣一除环上矩阵秩的一个猜想．     

用同态基本定理证明矩阵秩的一些性质

《数学通报》1985年第3期发表的《用分块矩阵证明矩阵秩的一些性质》一文,提供了处理矩阵秩的一些性质的新方法:读后颇受启发。我们在教学实践中发现,如果具备近世代数的基     

利用四分块矩阵求n阶行列式的值

本文介绍一种用分块矩阵求行列式的值的方法。对于分块矩阵的行列式,文[1]P207曾给出如下定理1的结论: 定理1 设A、B、C,D都是n阶矩阵,其中|A|≠0,并且AC=CA,则     

计算n阶行列式的一种方法

利用分块矩阵的行列式的运算规则,证明一个条件等式及其推论,并给出计算n阶行列式的一种方法．     

高等代数中一道习题的推广

利用分块矩阵及其初等变换将一类矩阵秩的等式推广.     

分块带状矩阵的逆

1引言如果分块矩阵A=(A_(ij))_(n×n)满足A_(ij)=O(j-i＞p且i-j＞q),其中A_(ij)为m阶矩阵,则称A为(p,q)-分块带状矩阵．分块带状矩阵在一些实际问题中经常出现,例如在量子场论中用途很广的非线性Schr(?)dinger方程的差分离散问题,解热传导问题等,都会遇到分块带状矩阵．常见的分块三对角矩阵,分块五对角矩阵都是特殊的分块带状矩阵．采用通常的方法求解分块带状矩阵的逆矩阵时,需要进行O(n~3)次m阶矩阵的运算．本文首先将分块带状矩阵扩充成可逆的分块上(下)三角矩阵,利用其逆矩阵导出了分块带状矩阵的逆矩阵表达式;进而利用所得到的公式分别推导了分块三对角矩阵及分块五对角矩阵的逆矩阵的快速算法,所需运算量为O(n~2)次m阶矩阵的运算．本文的结果扩充了文[1]等关于分块三对角阵求逆的相关结果．     

特征≠2的有限域上对称矩阵方程解的计数公式及其q超几何级数表达

设Ｆｑ是特征≠２的有限域．本文利用Ｆｑ上奇异正交几何的理论，给出当Ａ，Ｂ分别是Ｆｑ上阶ｎ秩２ν＋δ和阶ｍ秩２ｓ＋γ的对称矩阵时，Ｆｑ上适合方程ＸＡＸ′＝Ｂ的秩ｋ的解Ｘ的个数和解Ｘ的个数的明显公式，并且用ｑ超几何级数简化表达解数公式．