无穷限反常积分收敛时被积函数的极限状态

根据无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx收敛的柯西准则和定积分的性质,讨论被积函数f（x）当x→∞时。的极限状态,并得出当无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx收敛且f（x）在[a,＋∞）上连续,或者无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx绝对收敛时,存在数列{xn}∩[a,＋∞]且xn→＋∞（n→∞）,使limn→∞xnf（xn）=0.     

对称性在定积分计算中的应用

设f（x）和g（x）在[a,b]上连续,f（x）关于点（（a＋b）／2,c）对称,g（x）关于直线x=（a＋b）／2对称,根据定积分的性质,通过变量代换,可证∫a ^bf（x）g（x）dx=c∫a^bg（x）dx,,该结论及其推论可用以简化定积分计算,实例说明其应用．     

无穷限反常积分收敛的必要条件

＋∞摘要将无穷限反常积分的敛散性与无穷级数的敛散性相联系,讨论反常积分∫a f （x）d x收敛的必要条＋∞件。若被积函数 f （x）在[a ,＋∞）上单调连续或其导函数有界,则limx→＋∞ f （x）＝0就是∫a f （x）d x收敛的必要条件。     

小议变上限的定积分

设函数f(x)在[a，b]上可积，则对任何x∈[a，b]，定积分∫a^x f(t)dt定义了区间[a，b]上的一个关于x的函数F(x)，称为“变上限的定积分”，即F(x)=∫a^x f(t)dt，且若函数f(x)在[a，b]上连续，则d/dx∫a^xf(t)dt=f(x)，x∈[a，b]，它表明变上限的定积分，在被积函数连续时，是被积函数的原函数。     

正函数广义积分收敛性的一个判别法

研究正函数广义积分的敛散性．利用二重积分的性质．从被积函数自身的性态出发．当自变量x充分大时,通过讨论∫β（x＋σ）^β（x＋σ＋1）f（y）dy与f（x）的比值（其中β≥1,σ∈R为固定常数）,可建立一个收敛判别法．并可平行给出相应正项级数审敛法。此法是对DAlembert审敛法和双比值审敛法的推广．     

定积分的二种换元法及其应用

1．引言在定积分的计算中,运用变量替换可以大大简化计算过程,因此在计算定积分时常常需要考虑换元法．本文介绍了定积分的二种换元法：交换变换和减半变换,并列举了典型范例．2定积分的两种换无法定理亚若f（x）在闭区间[a,b]上,可积,则证明用换元法设u—a＋b—x,则dx—一du,当x一a时,u—b,当x一b时,u—a,Hx一a＋b—u6「a,hi,即f（＋b—u）在［a,hi上也是可积的,故我们把这种上、下限交换的换元法称为“交换变换”,特别地当a一O时有下列推论：推论1若f（x）在［a,hi上可积,则由定理1和推论1我们还可以得到两个十分重要…     

基于惩罚回归样条的积分近似计算与应用

提出一种利用惩罚回归样条拟合被积函数f(x),从而计算复杂积分∫baf(x)dx的新方法.在仅知f(x)带随机扰动的离散数据点集的情况下,利用基于截断幂形式的样条基函数,通过惩罚样条回归,给出函数的多项式拟合结果,再根据该多项式形式便捷计算出积分.模拟和实际应用结果显示该方法计算简单快捷,并具有较好的准确度.     

定积分估值的一些方法

本文介绍几种常用的定积分估值的方法：一、直接用定积分的性质①用估值性质：若M,m分别是连续函数f（x）在[a,b]上的最大值与最小值,则．这是我们常用的一种估值方法．例呈估计积分的值．解由于在单调减少,故：②放大或缩小积分区间：若［a,b」Th［c,d］,f（x）＞0,则f（x）dx＞f（x）dx二、用变形来估值若f（x）在[a,b]上可积,有时可以通过各种变形来对f（x）dx估计．例如,简单不等式,变量替换,分部积分等将积分变成易于估计的形式．三、利用Darboux和估计积分值若s一乙。凸J;S一乙从西J;表示积分I一D人S）ds的小和和…     

极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫＋∞ a f（x）dx收敛与无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0之间的关系展开论述,研究在广义积分∫＋∞ a f（x）dx收敛的前提下,无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件．在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的问题提供更一般的方法．     

定积分换元公式的推广及举例

本文在被积函数f（x）仅为可积的条件下，将定积分换元公式作为上述推广公式的应用，计算一个有无穷多个间断点的函数人。）一（x“x“～“在区间卜，l」上的定积分。从该例的计算中，可以看到Euler常数LOH＝O的应用。为可积时，只要变量替换函数x一9（t）具备单调及连续性，则换元公式仍然成立。此时，换元法的完整叙述应为：定理王若函数人。）在［a，b】上可积，x一平（t），iE［a，利满足：（i）。t）在［a，用上单调且连续；（if）尸（a）一a，。卢）一b；（iii）～（t）在［a，用上连续。定理1的证明需要用到定积分的定义。当在肝…     

带绝对值符号的函数的积分法

本文拟通过一些例子探讨带绝对值符号的函数的定积分计算的规律和方法．一、基本方法解决这类积分的基本思路是：用分段函数表示被积函数，以便去掉绝对值符号，然后利用定积分的可加性，分段进行计算．1．找“零点”，分区间，脱去绝对值符号树三计算积分，其中E为闭区间[0，4π]中使积分式有意义的一切值所成之集合．解由已知条件知找“零点”，为此解方程cosx=0在积分区间上的“零点”为此时积分鞠间分成一般地，计算积分．我们就需要求出的所有“零点”，并用这些“零点”把积分区间分为几个部分区间，然后讨论f（X）在各部分区间上的…     

对称性在积分学中的应用

如果能充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,高等数学中许多积分的计算过程将得到简化.总结并借助实例说明对称性在高等数学定积分、重积分以及曲线与曲面积分计算中的应用.     

关于曲线积分一种计算方法的解释

文[1]对曲线积分其中L是以A（1，0），B（0，1），C（－1，0），D（0，－1）为顶点的正方形边界的正向（逆时针方向），给出两种解法，解法一：分段化为定积分计算，是常规解法。解法二，为便于讨论，抄录如下：[解法二]把曲线L的方程：|x|＋|y|＝1代入被积式中，先对原积分变形，得：I＝再利用格林公式（取p（x，y）＝1，Q（x，y）＝1）得I一文［１］。为解法。。解法过程及所用。算方。有问。，理由是形后的积分中dX十力不等价，不可用后者的曲线积分代替原曲线积分的计算。笔者认为这样的分析不妥。、。。X、＿，。Ldx＋dy。＿，。…     

一组变上限定积分命题的推广

探讨一类变上限定积分函数F（x）=∫0^x[h（x）＋g（t）]f（t）dt的奇偶性和单词性问题．根据函数奇偶性的定义证明F（x）是奇函数，利用积分第一中值定理和F＇（x）的符号给出满足一定条件下的F（x）的单调性，将已有文献中的结论进行推广．     

对称法求积分

积分计算是高等数学的基本运算 ,巧妙地利用对称性解积分题 ,常能化难为易 ,简化计算 ,收到事半功倍的效果 ,本文拟就此方法作一探讨。　　一　利用函数奇偶性利用被积函数的奇偶性和积分区间关于原点的对称性简化计算 ,是积分运算中经常使用的方法。例 1　求积分 I =∫1- 12 x2 +xcosx1 +1 -x2 dx解　本题中虽然积分区间关于原点对称 ,但被积函数不具奇偶性 ,但通过拆项 ,可利用奇偶性来简化积分运算。原积分 I =∫1- 12 x21 +1 -x2 dx +∫1- 1xcosx1 +1 -x2 dx △ I1+I2 .因为 xcosx1 +1 -x2 是奇函数 ,而 2 x21 +1 -x2 是偶函数 ,所以 …     

多元函数积分的简化计算

利用多元函数积分区域的对称性,可通过对被积函数以及积分区域的变换来简化多元函数积分的计算.     

关于曲线积分计算中常见的一种错误辨析

当把曲线积分化为定积分计算时，允许把曲线弧的方程代人被积函数式。但是，如果把曲线弧的方程先代人曲线积分的被积函数，将曲线积分变形后再计算，有时就会出现与原曲线积分不等价的曲线积分，导致所用计算方法的错误。本文就此问题举例辨析。以对坐标的曲线积分来说，它的计算法主要是根据下面的定理：［定理1沪设P（x，y）、Q（x，y）在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为当参数t单调地由a变到卢时，点M（x，y）从L的起点A沿L运动到终点B，P（t）、～（t）在以a及产为端点的闭区间上具有一阶连续偏导数，且中’（t）＋gb’…     

关于积分方程的求解

在高等数学中,积分方程求解的方法是通过将其求导一次或数次转化为微分方程来进行的.值得注意的是:这类方程的定解条件往往隐含在给定的积分方程中,因此需要把它挖掘出来,从而使积分方程转化为一个初始问题.下面通过举例予以说明.例1　求满足方程∫x0f(t)dt=x ∫x0tf(x-t)dt的函数f(x).解　本题中由于变量x同时出现在积分上限和被积函数内,应先通过变量替换使被积函数内不含x,再利用变上限定积分的求导消去积分符号.令x-t=u,则dt=-du.于是∫x0tf(x-t)dt=-∫0x(x-u)f(u)du=x∫x0f(u)du-∫x0uf(u)du原方程变形为∫x0f(t)dt=x x∫x0f(t)dt-∫x0…     

利用对称性计算多元函数积分

对于一个多元函数积分,如果积分区域具有一定的对称性,那么积分的形式就有可能得到简化.一般的教材上对这种技巧的介绍往往仅限于对积分区域的简化.以下我们介绍一种简化被积函数的方法.定理1 如果平面区域D关于x 轴对称,而f(x,-y)=-f(x,y),则     

关于曲线,曲面积分对称性的应用初探

在一元函数定积分和多元函数重积分计算中，对称区间或对称区域上奇偶函数的良好性质将大大简化其运算，在曲线、曲面积分中，奇偶函数在对称曲线、曲面上也具有这些良好性质。命题一设分段光滑平面曲线L关于X轴对称，而人X，火是L上的连续函数，那么门）若f（x，－y）＝f（x，y），则，其中L1是L在上半平面的部分；（2）若f（x，－y）＝-f（x，y），则证设。。。…I，。，x。。。，。f。x，。。－，。。。。。。，…。。。－。l。ds－0命题二设分段光滑平面曲线L关于X轴对称，L在上半平面的走向与在下半平面的走向相反，而人工，／在L…