分式型哥西不等式——证明分式不等式的一个利器

读了《数学通报》2 0 0 4年第 2期《构造向量证三元分式不等式》一文[1] ,笔者很叹服作者那种高超的“构造”技巧 ,作为工具的向量不等式｜a｜2 ｜b｜2 ≥ (a·b) 2 (1 )简洁而深刻 ,它是欧几里得空间中的哥西———施瓦兹不等式 .在用它证明分式不等式时 ,关键就是如何恰当地构造出向量a和b ,这种构造是需要技巧的 ,文[1] 举出的 5个例子就体现了这种技巧 ,但是 ,技巧越高 ,难度也就越大 ,从这一个角度来说 ,构造向量证明分式不等式好象又不是一种最优的方案 .那么 ,有没有比构造向量证明分式不等式更好的方案呢 ?当然有的 .我们知道 ,向量…     

费──哈不等式的加细

众所周知。资哈不等式是Weitzenbock不等式的加强．下面，我们给出费哈不等式的一个加细．①的右半部分是不言而喻的，它等价于Euler定理：R≥2r．下面，关键证明①的左半部分．在△ABC中，我们作代换：又由恒等式：及△＝rp，知又由Kooi不等式[2]②式左边故②式成立．从而①式得证．费──哈不等式的加细@李磊$武钢三中高三理科实验班!4300801数学解题辞典编辑委员会编.数学解题辞典(三角卷).上海:上海辞书出版社 2O.Botlerna.几何不等式(单译).北京:北京大学出版社     

用“零件不等式”证明一类积式不等式

文[1]介绍了用“零件不等式”证明一类含和式的分式不等式，本文通过构造“零件不等式”来证明一类积式不等式。     

一对姊妹不等式的联想

受文[1]和文[2]启发，本文将给出与不等式①类似的一个不等式．文末提出三个与②，③，④三式类似的不等式猜想．     

也谈一类分式不等式的统一证明

贵刊分别于1997年第6期和第11期刊登了文[1]与文[2]，读后受益匪浅．笔者对这类分式不等式的解法也进行了一些探索，发现通过构造均值不等式“a b≥2√ab(其中a，b∈R )”也能证明这类问题，下面先看几例．     

巧求一类分式函数的最小值

文[1]给出了条件为x+y=1(或x+y+z=1)的分式函数最值问题的“代入法”,文[2]对此进行补充,给出简单解法及最值k的确定方法,但他们的思路与解法依然曲折繁琐,文[2]刻意追求最值k更无必要,其实,只要把1=x+y(或1=x+y+z)直接代入分式函数的分子,然后对分式函数适当分拆,利用算术平均值不等式构造出“积为定值”,最值k就自然迅速直接地浮出水面了.更重要的是,此方法     

拉格朗日恒等式与几个常用不等式

ax＋by≤√a^2＋b^2·√x^2＋y^2，2ab≤a^2＋b^2，a＋b≤2√a^2＋b^2（a，b，x，y∈R）是几个常用的不等式．文[1]利用三角代换，将这些不等式统一为研究sin（α＋β）的取值范围；文[2]通过构造向量，将这些不等式统一为研究向量夹角的范围．这两种方法均是将不等式问题转化为等式进行研究，这让笔者联想到拉格朗日恒等式可以用来处理此类问题．     

双向分式不等式的一种简单解法

设实数a〈b,我们有以下命题： 命题 不等式 a〈f（x）/g（x）〈b ① 等价于不等式 [f（x）-ag（x）][f（x）-bg（x）]〈0 ②     

求无穷级数的和以及极限的概率方法

[1]用概率的思想证明了一些不等式和恒等式，本举例说明概率思想在求无穷级数的和以及极限方面的应用。     

一个有用的代数恒等式

一个有用的代数恒等式周永国（湖南沅陵六中）定理的证明很简单，只要将①式右边各项分别展开，然后合并同类项即得左边，①式是一个很有用的恒等式，运用它既可以证明等式和不等式，又可以加强不等式．兹举几例说明之．一、证明恒等式例１设ａ、ｂ、ｃ，面分别表示ＡＢＣ...     

一个分式最值问题的解法的再改进

文[1]中,潘继军老师巧用均值不等式解答了下面这道分式最值问题：     

关于“巧用均值不等式求条件分式最值”的再讨论

李老师在文[1]中使用均值不等式来求解几类条件分式最值问题.但其求解过程较繁琐,构造性太强,因而不易为中学生所理解、掌握.本文重新考虑了文[1]中几类问题,通过权方和不等式给出了他们的简单证明.     

关于“巧用均值不等式求条件分式最值”的再讨论

李老师在文[1]中使用均值不等式来求解几类条件分式最值问题．但其求解过程较繁琐，构造性太强，因而不易为中学生所理解、掌握．     

谈一个优美不等式的“姊妹”式

文[1]给出了如下一个优美不等式若0<α<β<2π,则sinβ/sinα<β/α相似文献   

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法陕西永寿县中学安振平证明不等式的途径较多，本文意在介绍一类分式不等式的新颖证法，证明过程中要道用到无穷递缩等比数列求和公式和平均不等式：①对等比数列ｋｌｑ“‘）（ｌｑ【＜ｌ），有ａｌ十＊；０＋ａｌ矿十…＋ａｌｄ‘十…一一二．且一...     

一道竞赛题的再证

题目：求证：在任意三角形ABC中，都有cosA/1-cosB·cosC＋cosB/1-cosA·cosC＋cosC/1-cosA·cosB≤2. 文[1]用一个不等式和恒等式巧妙证明了这个不等式，但此方法不易想到，笔者经过探索，找到了一种直截了当的证法．     

一个无理不等式的参数范围的确定

文[1]最后提出了一个有趣的问题；对任意正数a，b，c，如果不等式恒成立，试确定参数人的取值范围下面给出这一问题的解答要使不等式①对任意的正数a，b，c恒成立，须有twA＞一2我们分四种情况讨论构造三棱锥S一ABC，使SA、SB、SC两两组成的面角均为8，SA＝a，SB＝b，SC“t’从而平方得人＜2，矛盾综上可知，使不等式①恒成立的实数人的取值范围为（一2，2」一个无理不等式的参数范围的确定@张忠旺$河北沧州市二中!0610011安振平,苟春鹏,一类无理不等式的注记.中学数学(湖北),1997,11…     

巧构“1“证一类分式不等式

王凤春老师在本刊2006年第3期发表的《幂不等式及其应用》[1]一文中,巧用琴生不等式,巧证一类分式不等式,其证法新颖流畅,体现与时俱进,值得一读.     

也谈一类竞赛不等式的创新证法

在国内外的数学竞赛中，常出现一些分式不等式的证明问题．这些不等式形式优美、内涵丰富，命题者给出的证法异彩纷呈．文给出了分式不等式的一种创新证法——向量内积法，笔者深受启发．本文通过构造离散型随机变量的概率分布列，利用数学期望的一个性质给出这类不等式的另一种新证法，先给出数学期望的一个性质。     

分式不等式的一些证法

本文主要是从数学竞赛的角度,结合一些竞赛试题,探讨证明分式不等式的一些基本方法与技巧． 1．构造“零件不等式”,以便化异分母为同分母思路通过放缩,将异分母化为同分母,从而构造出了一些“零件不等式”,最后,将这些“零件不等式”相加,即可得出原不等式的证明．