一个恒成立问题的正误辨析

1 问题的提出 某地模拟试卷中有这样一道试题:"一个各项均为正数的等比数列{an},其前n项的和为Sn,首项a1=2,公比为q=1/2,若对于任意的正整数k以及正数c(c≤3)都有 <2恒成立,求正数c的取值范围."并提供了如下的参考答案.     

一个不等式的最佳系数

文[1]给出了以下不等式: 　　若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,t≥1,则(ta2+b)/(b+c)+(tb2+c)/(c+a)+(tc2+a)/(a+b)≥(t+3)/(2).(1) 　　文[2]改进了(1)式中的t的取值范围,指出只要t≥(1)/(4),(1)式就成立.……     

从函数角度谈“恒成立”问题

在学习函数、方程、不等式过程中,常见到“恒成立”问题.一般来说,“恒成立”问题多数涉及两个变量,其中一个变量恒满足某一条件,对另一个变量进行数学设问.而这两个变量间的关系常以函数、方程、不等式等形式给出.本文重点从函数角度介绍一下“恒成立”问题的解题策略. 一、不等式“恒成立”问题 例1 已知x2 (4a-3)x 3a>0, (1)若不等式对任意实数x∈[-1,3]恒成立,求实数a的取值范围. (2)若不等式对任意实数a∈[-1,3]恒成立,求实数x的取值范围.     

一类函数问题的解法探讨

在高三模拟考试中,经常出现下面这类函数题目． 题目 已知函数f（x）=4x-1/x^2＋λ/x．若对任意两个不等的正数a,b,有｜f（a）-f（b）｜〉｜a—b｜恒成立．求λ的取值范围．     

一个不等式问题的多解

<正>题目三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,则b/a的范围是___.解法一∵三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,∴两个不等式同时除以a得     

正三角形的面积与费尔马问题解

1问题的提出1．1对于给定的等边△PQR，已知其内一点O到三顶点的距离OP=α、OQ=b、OR=c，求等边△PQR的面积S．1．2以a、b、c为边构造一个三角形△ABC在平面上求一点S，使SA＋SB＋SC的值最小．（即费尔马最短距离（l）问题）2问题的解决2．1如图1所示，设正△PQR的边长为x，由余弦定理可知：2．2以a、b、c为边构造三角形△ABC如图2所示，费尔马提出如下问题：在平面上求一点S，使l=SA＋SB＋SC达到最小，即费尔马最短距离l．下面应用力学模拟方法解决此问题，如图3，在A、B、C处各打一小孔，取三条线绳扎结于S，然后穿孔各…     

一个代数不等式的简证

设0＜λ、μ＜1，则对任意正数a、b有当且仅当λ＝μ时等号成立此不等式见于本刊今年第2期P38，下面给出它的一个简洁证明证明原不等式等价于故原不等式成立．一个代数不等式的简证@宋庆$江西省永修县一中!330304     

争鸣

问题 问题98 a，b∈R，不等试dcosx＋bcos3x≤1对任意实数x恒成立，求b的取值范围．     

一道不等式题的简解与巧解

例题不等式x|x-a|<6对任意的x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围．常规解法是从去绝对值入手,分类讨论,求交集并集,再将所求出的不等式的解集与条件对照,得出关于实数a的无理不等式,解之．解题过程显然比较繁!能否有不去绝对值的方法?     

一个代数不等式推广的简证与类似结论

文[1]曾提出一个代数不等式:猜想若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,则(a+1/b)~(1/2)+(b+1/c)~(1/2)+(c+1/a)~(1/2)≥30~(1/2)①文[2]给出①式的证明,文[3]运用赫尔德不等式将①式加强推广为:定理1若a,b,c为满足a+b+c=1的正     

利用分类讨论法解恒成立问题

<正>恒成立问题是高中数学中一个常见的难点问题,主要涉及不等式.笔者在解题过程中发现,也可利用分类讨论来解答一些恒成立问题,下面通过两个例子,和同学们一起分享体悟.例1若对任意实数x,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围为__.分析这是一道含参数的绝对值不等式恒成立问题,且不等式两边都涉及实数x.而解此题的关键去绝对值符号,仔细观察一下不等     

对一道数学题的心理学分析

试题：若不等式：（-1）na〈2＋（-1）n＋1/n＋1对任意自然数72恒成立，则实数a的取值范围为__     

含参数的不等式问题

本讲主要探讨含参数的不等式解法,含参数的不等式恒成立的问题.解含参数的不等式,应尽可能地避免对参数的分类,必须分类,也应注意分类的合理性、必要性,使分类简明实效.如果必须对参数进行分类讨论,其一般步骤是:①确定讨论对象及其取值范围;②进行合理的分类;③对每一类情况进     

争鸣

问题问题98 a,b∈R,不等试acosx bcos3x≤1对任意实数x恒成立,求b的取值范围.解因为不等式acosx bcos3x≤1对任意实数x恒成立,所以令x=0得a b≤1;x=π得a b≥-1-1≤a b≤1(1)又当x=3π时,有2a-b≤1-2a b≥-1;x=23π时,-2a b≤1,故-1≤-2a b≤1-2≤-a 2b≤2(2)由(1) (2)得-3≤3b≤3,所以-1≤b≤1即为所求.1)以上解法是否正确?请给出判断结果及理由.2)若解法正确,其中x分别选取等于0,π,3π,2π3的依据是什么?若解法不正确,其正确解法又如何?3)若改为求a的取值范围,又当如何解决?佟成军提供(江苏省海州高级中学222023)评析问题84该问题共收稿…     

例谈利用必要条件探求充要条件

本文例谈“先用必要条件初探，再通过检验或证明充分性成立”的方法，寻求充要条件． 1．探求参数的取值 例1 已知不等式｜x^2＋ax＋b｜≤2｜x^2-2x-8｜对z∈R恒成立，求a，b的值．     

运用方程思想解三角中的一类求取值范围问题

本文旨在运用方程思想解决三角中的一类求取值范围的问题，从中可见数学思想在解题中的运用．1构造方程组，利用函数的有界性解题要点：通过构造关于shu、c。s。，等的方程组，并根据卜un4＜l，DcosyS＜1，使问题获解．例1已知sin。＋Zcosy—2，求ZSlll十COSy的取值范围．解设Zslnx上cosy—a，与sin：r＋Zcosy—2联立解得故Zsi。＋cosy的取值范围是［，：］．N2已知sl。cosy—a（一1＜a＜1），求COSSSiny的取值范围．解设cosxslny＝b，即由①，②解得于是，当a＞0时，a—l＜b车一a＋l；当a＜0时，一a—l＜b＜a＋l．综上，可知cosxsin…     

等式转化为不等式问题的补充解法

《中学生数学》2005年5月(上)吕伟庆老师给出了问题:已知a、b、c∈R,a b c=1,a2 b2 c2=1,求a的取值范围的三种方法(判别式法,基本不等式法,几何位置关系法)．下面再给出该题由等式转向不等式较为简单的三种解法．     

一道不等式题的多种解法及推广

题目:实数a,b,满足a2+b2=1,若c>a+b恒成立,求c的取值范围.解法1:三角换元法设a=cosα,b=sina,a∈[0,2π],则a+b=cosα+sinα=√2sin(a+π/4)……     

例谈高考中“参数范围”问题的求解策略

在近几年的高考中,求参数的取值范围问题成了高考的热点,对于学生来说也是难点,求参变量的取值范围是高中数学中的一个重要内容,其中不少问题靠传统方法不容易求解,下面笔者结合一些教学实践谈谈其应用.一、利用函数最值求参数的取值范围解题中遇到形如"要使f(x)>a成立"或"要使f(x)a恒成立或f(x)_max0,b∈R,函数f(x)=4ax~3-2bx-a+b.     

高等数学背景下一类压轴题的简解

近年来高考数学压轴题中常出现函数型不等式的恒成立问题,可归结为对x≥0时,f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立,其中g(x)含有参数a,试确定其参数a的取值范围.由于这里问题能有效地甄别考生的思维品质,综合性强、难度大、能力要求高,很多同学对此望