关于一类分段函数的统一表达式问题——从一个错例谈起

1　纠正一个错例《数学通报》1 999年第 1 1期文 [1 ]举出一些分段函数的例子 ,其中最后的一个例子是求出分段函数ｆ(ｘ) =2ｘ 3,　　 - 3≤ｘ<- 2ｘ 1 ,　　　 - 2 ≤ｘ <∞的一个原函数φ(ｘ) =ｘ2 3ｘ,　　　 - 3≤ｘ<- 2 ;12 ｘ2 ｘ- 2 ,　　 - 2≤ｘ<∞并给出了 φ(ｘ)的统一解析表达式φ(ｘ) =34ｘ2 - (ｘ 2 ) (ｘ 2 ) 2 2ｘ 3ｘ (ｘ 2 ) 2 - 1 ,从而说明分段函数的原函数可以是初等函数 .今指出该例中分段函数 φ(ｘ)的统一解析表达式是错误的 ,正确的统一表达式是φ(ｘ) =34ｘ2 2ｘ- 1 - (14ｘ 12 ) (ｘ 2 ) 2 ,这很容易直接…     

分式型哥西不等式——证明分式不等式的一个利器

读了《数学通报》2 0 0 4年第 2期《构造向量证三元分式不等式》一文[1] ,笔者很叹服作者那种高超的“构造”技巧 ,作为工具的向量不等式｜a｜2 ｜b｜2 ≥ (a·b) 2 (1 )简洁而深刻 ,它是欧几里得空间中的哥西———施瓦兹不等式 .在用它证明分式不等式时 ,关键就是如何恰当地构造出向量a和b ,这种构造是需要技巧的 ,文[1] 举出的 5个例子就体现了这种技巧 ,但是 ,技巧越高 ,难度也就越大 ,从这一个角度来说 ,构造向量证明分式不等式好象又不是一种最优的方案 .那么 ,有没有比构造向量证明分式不等式更好的方案呢 ?当然有的 .我们知道 ,向量…     

两道例题的解法研究

《上海中学数学》2002年第3期《绝对值教学中的多项思维》一文举例说明了含有绝对值符号的问题的多种处理方法,今对其中的两道例题的解法进行进一步的研究. 【例1】(原文的例3)设x2+y2≤4,x和y为实数,求证|3x2-8xy-3y2|≤20. 原文给出的解法是三角换元法,今给出一种纯代数解法. 当a1,b1,a2,b2为任意实数时,有(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)(b12+b22), (1)     

一个加强不等式的简证

《数学通报》2 0 0 3年第5期《一个不等式的加强》一文将法国MohammedAassila教授提出的不等式1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥31 +abc ( 1 )(其中a ,b ,c为正数)加强为1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥33 abc( 1 + 3 abc) ,( 2 )并将加强不等式( 2 )转化为以下形式:a1 a2 +ka3+ a2a3+ka1 + a3a1 +ka2 ≥31 +k( 3)其中a1 ,a2 ,a3,k为正数.然后对( 3)给出了一个“高级”的证明方法.之所以说其证明方法“高级”,是因为其中用到了线性代数的一些知识.本文给出( 3)中一种简单证法.证　由柯西不等式知( x21 y1 + x22y2 + x23y3) (y1 …     

对《求标准正交基的技巧》一文的两点意见

对《求标准正交基的技巧》一文的两点意见徐彦明（山东临沂教育学院２７６００１）《求标准正交基的技巧》一文（本刊１９９７年第３期，以下简称《技巧》）给出了利用矩阵的列初等变换由ｎ元列向量空间Ｒｎ的任意一个基α１，α２，…，αｎ求出一个标准正交基的方法步骤...     

《关于命题的讨论》一文的一点瑕疵

文 [1 ]旨在对高中新教材中新增加的“简易逻辑”内容进行解释说明 ,对于不熟悉这部分内容的中学师生颇有参考价值 .但是该文中有一点瑕疵 ,今冒昧指出 .文 [1 ]在谈到关于命题的否定与否命题这一问题时认为 :“若ｐ则ｑ”的否定是“若ｐ则非ｑ” .这是一个错误观点 .事实上 ,“若ｐ则ｑ”等价于 (「ｐ)∨ｑ(文 [1 ]在谈到关于逻辑联结词与复合命题时也是这样说的 ) ,其否定应该是ｐ∧ (「ｑ) .ｐ∧ (「ｑ)读作“ｐ且非ｑ” ,习惯上也可以说成“虽然ｐ ,但非ｑ” .“若ｐ则非ｑ”等价于 (「ｐ) ∨ (「ｑ) .当ｐ为假时 ,「ｐ为真 ,于是 (「ｐ…     

一类无理式的有理化因式

《数学通报》2 0 0 0年第 1 1期文 [1 ]研究了一类无理式的分母有理化问题 ,文中将无理式ａ0 ａ1 ｂ的有理化因式ａ0 -ａ1 ｂ用二阶行列式表示为1ａ1ｂａ0, (1 )然后猜想并证明了无理式ａ0 ａ13 ｂ ａ23 ｂ2 的一个有理化因式可以用三阶行列式表示为1ａ1 ａ23 ｂａ0 ａ13 ｂ2 ｂａ2 ａ0,(2 )一般地 ,无理式ａ0 ａ1ｎｂ … ａｎ- 1ｎｂｎ- 1 的一个有理化因式可以表示为一个ｎ阶的行列式 (详见原文 ) .这是一个非常漂亮的结果 ,充分显示了高等代数中的行列式这一工具在初等代数中的“意外”的非凡作用 .只可惜文 [1 ]所举的例子没有典型…     

也谈一类条件最小值问题

"条件.x y=1'下一类分式函数最值再探"[1]一文给出在条件x,y∈R 且x y=1之下求分式函数最小值的三个例子,其中例2是求1/x3 12/y的最小值,它是一个非齐次形式的表达式,不是1/xn λ/yn的特例.     

《标准正交基的一种求法》的注记

贵刊1991年第3期《标准正交基的一种求法》一文,给出用矩阵的合同变换把R~n的一个基{α_1.α_2,…,α_n}化为标准正交基{β_1,β_2,…,β_n}的一种方法。这种方法是以向量α_1的分量作为第i列(i=1,2,…,n)作出矩阵A,A′A是一个n阶正定矩阵,所以存在n阶可逆矩阵T     

从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用

本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1　设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2　设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC…