一类二阶微分系统边值问题解的存在性

通过推广上下解的概念,利用上下解方法讨论了二阶微分系统-x″(t)=f(t,x)分别在边值条件x(0)=0,x′(1)=0和x(0)=A,x(1)=B下解的存在性.     

一类二阶常微分方程无穷多点边值问题解的存在性

运用Leray-Schauder原理在.f满足至多线性增长的条件下研究了无穷多点边值问题{y'(x)=f(x,y(x),y'(x))+e(x),0x1y(0)=0,y(1)=∞∑i=1a_iy(ξ_i)解的存在性.     

关于Liénard方程周期解的存在性与唯一性

考虑微分方程x+f(x)+g(x)=p(t),其中g(x)∈C(R),p(t)∈C2π,f∈C(R),在g(x)满足(g(x)-g(y))/(x-y)＜a＜1时,给出周期解的存在性,并对f(x)=cx的特殊情形,g(x)严格递减的条件下,给出周期解存在唯一的充要条件.     

关于Liénard方程周期解的存在性与唯一性

考虑微分方程 x+f(x)+g(x)=p(t),其中g(x)∈C(R),p(t)∈C2π,f∈C(R),在g(x)满足(g(x)-g(y))/(x-y)＜a＜1时,给出周期解的存在性,并对f(x)=cx的特殊情形,g(x)严格递减的条件下,给出周期解存在唯一的充要条件.     

关于Liénard方程周期解的存在性与唯一性

考虑微分方程x f(x) g(x)=p(t)其中g（x）∈C（R),p（t)∈πC2,f∈C(R),在g（x)满足（g（x）-g（y))／（x-y）＜ａ＜1时,给出周期解的存在性,并对f(x)=cx的特殊情形,ｇ（x）严格递减的条件下,给出周期解存在唯一的充要条件．     

利用反函数性质巧解方程

利用反函数的性质,可得一个命题,利用它可巧解一些方程.命题设函数 f(x)是定义在实数集 M 上有反函数 f~(-1)(x)的函数,f(x)的值域为 P,那么(1)若方程 f(x)=f~(-1)(x)有解,则 M∩P≠φ.(2)方程 f(x)=f~(-1)(x)与方程 f(x)=x (x∈M∩P)同解,也与方程 f~(-1)(x)=x(x∈M∩P)同解     

二次函数迭代的一个问题初探

对二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实根)对方程f[n](x)=x的解的情况有何影响?文[1]探讨了这个问题,并提出未解决的问题:方程f(x)=x有两个不等实根,方程f[n](x)=x何时只有两个不同的实数根,何时又有2n个不同的实数解?本文探讨     

一类函数题的“是”与“非”初探

题已知f(cosx)=sin3x,求f(sinx)(该题可见诸于多种资料)解f(sinx)=f[cos(π2-x)]=sin3(2π-x)=-cos3x.[1]又解f(sinx)=f[cos(x-2π)]=sin3(x-2π)=cos3x.上述两种解答方法实际上一样,但结果明显不同,问题出在哪里呢?下面看题目给出的条件:f(cosx)=sin3x,不妨令x=6π,得f(23)=1;再令x=-6π,得f(23)=-1,即对于f(23),有±1两个值与之对应,从对应方式来看,存在一对多的情况.按照高中教材对函数的定义,这种对应不能称为函数.进一步分析发现:f(cosx)=sin3x=3sinx-4sin3x=sinx(4cos2x-1),其中的sinx不能用含cosx的式子唯一地表示(sinx=±1-cos2x).…     

解数学题常见的思维模式

本文拟列出几条常见的解数学题的思维模式。一、弄清题意这属于非智力因素的范畴,对大多数学生(甚至是成绩较好的学生)来说,都不是多余的忠告。教学中,我们经常发现学生不明题意就茫然解之,结果或是目的性不明而碰壁或是变换(增加、去掉、更解)条件而导致错误。例1 设函数y=f(x)(x∈R且x≠0),对任意非零的实数x_1、x_2满足f(x_1x_2)=f(x_1) f(x_2),f(x)在(0, ∞)上为增函数,(1)求证f(1)=f(-1)=0;(2)解不等式f(x) f(x-1/2)≤0。     

新题征展(72)

A题组新编1.下列条件对于函数f(x)定义域中的每一个x都成立,其中(a≠0,k≠0,a,b,k∈R):(1)条件1f(x)-f(-x)=0;条件2f(a x)=f(a-x);条件3f(kx b)=f(-kx-b);条件4f(x)=(x-a)0.其中判断函数f(x)是偶函数的条件是.(2)条件1f(a x)=f(a-x);2f(x)=f(2a-x);3f(3a-x)=f(x-a);4f(x)=(x-a)     

奇异半线性椭圆方程的非径向正整体解

研究如下N维奇异半线性椭圆方程△u+f(x,u)=0, x∈RN(N≥3),其中函数f:RN× R+→R+连续,在u=0有奇异性;采用上-下解方法给出该方程具有满足如下性质的有界正整体解u的条件: u∈C2+θloc(RN)使得lim |x|→∞ u(x)=0且u(x)≥εmin{1,|x|2-N},其中ε＞0是常数;并证明:若条件添加"f关于u单调不增"的限制,则这种解是唯一的.     

关于赋范线性空间中的三类泛函方程

在赋范线性空间中考虑下列几类泛函方程（Ⅰ）f(x)g(y)=h(x y),(Ⅱ）f(x y)=f(x)f(y),(Ⅲ）f(x y)=f(x) f(y) ag(x)g(y)的性质与解以及彼此之间的关系。     

数形结合在函数与方程应用中的原则

<正>方程f(x)=0的根也称为函数f(x)的零点,研究方程f(x)=0的根就是研究函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.对零点问题的研究集中体现了数形结合的思想方法.本文举例谈谈数形结合在函数与方程中的应用中,需要把握主要的两个原则:简单性原则和等价性原则.方程f(x)-g(x)=0的解,可化为方程f(x)=g(x)的解,也可看作函     

一类拟线性两点边值问题的存在唯一性

本文在f(t,x),f_x(t,x),η(t)连续,f_x(t,x)≥-η(t),η(t)≤π~2+A~2/4,η(t)π~2+A~2/4条件下,证明了拟线性两点边值问题 x″=Ax′+f(t,x),x(0)=α,x(1)=β, 对于任给实数A,α,β都有唯一解。     

完全二阶常微分方程的奇周期解北大核心CSCD

本文讨论完全形式的二阶常微分方程-u"(t)=f(t,u(t),u’(t)),t∈R周期解的存在性,其中f:R^(3)→R连续,f(t,x,y)关于t以2π为周期.我们在非线性项f满足一些精准的不等式条件下,获得了方程奇2π-周期解的一些存在性结果.这些不等式条件允许f(t,x,y)当|(x,y)|→0及|(x,y)|→∞时关于(x,y)可以超线性或次线性增长.     

极限lim f(x)=0 x→+∞的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫a+∞f(x)dx收敛与无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞之间的关系展开论述,研究在广义积分∫a+∞f(x)dx收敛的前提下,无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞的一个充分条件.在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞的问题提供更一般的方法.     

另解两值联赛题

(一)2010年全国高中数学联赛一试试题(9)已知函数f(x)=ax~2+bx~2+cx+d(a≠0),当0≤x≤1,| f′(x)≤1 |,试求a的最大值.解由于f′(x)=3ax~2+2bx+c当a>0时,表示一条下凹的抛物线,从题设条件,可知0≤x≤1,-1≤f′(x)≤1.从图线中可以得到     

二阶不连续微分方程周期边值问题解的存在性

本文研究Lienard方程x"+f(t,x,x')x'+g(t,x)=h(t,x,x')的周期边值问题,其中f,g,h均为Caratbeodory函数.利用Leray-Schauder度理论,在适当的条件下证明了该问题解的存在性.     

二次函数迭代的一个问题

众所周知,将二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),这是个2n次多项式,函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实根)对方程f[n](x)=x的解的情况有何影响?本文拟对此进行一些探索.在本文中,我们规定f[0](x)=x.1函数f(x)没有不动点如果函数f(x)没有不动点,即方程x2 (b-1)x c     

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),其中f[1](x)=f(x).函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实数根)对方程f[n](x)=x解的情况有何影响?文[1]、文[2]对此进行了探讨,得到一些颇有价值的结论.其中文[2]证明了下述结果:定理设f(x)=x2 bx c,Δ0=(b-1)2-4c,若方程f(x)=