Simpson公式的联想

文 [1 ]、[2 ]所介绍的 Simpson公式是指如下的定理　夹在两平行平面之间的几何体 ,如果被平行于这两个平面的任何平面所截 ,截得的截面面积是截面距底平面高度的不超过三次的多项式函数 ,则此几何体的体积为V=h6( S上 +4 S中 +S下 ) , ( 1 )其中 h是几何体的高 ,S上 、S下 和 S中 分别表示几何体的上、下底面和中截面面积 .( 1 )式很容易利用平行截面面积为已知 ,立体体积的定积分方法得到 .设此立体的底面垂直于 x轴 ,下底面过坐标原点、立体的高为 h,平行于底面的截面面积 S( x)=ax3 +bx2 +cx+d,其中 a,b,c,d为常数 ,则此立体体积V=…     

例谈“定比分点坐标公式引出的结论”的运用

文 [1 ]由线段的定比分点坐标公式类比出丰富的结论 ,可把这些结论综述为 :定理 1　设梯形中平行于底边的截线及上、下底边长分别为ａ0 ,ａ1,ａ2 ,用λ1,λ2 分别表示截得的上梯形与下梯形的高、面积的比 ,则ａｉ0 =ａｉ1 λｉａｉ21 λｉ (ｉ=1 ,2 ) .定理 2　设台体 (指棱台或圆台 )中平行于底面的截面及上、下底面面积分别为Ｓ0 ,Ｓ1,Ｓ2 ,用λ1,λ2 ,λ3分别表示截得的上台体与下台体的高、侧面积、体积的比 ,则(Ｓ0 ) ｉ=(Ｓ′1) ｉ λｉ(Ｓ2 ) ｉ1 λｉ(ｉ=1 ,2 ,3) .下面再给出定理 1 ,2的简洁证明 .定理 1的证明　延长梯形的两腰…     

一道高考试题的推广和应用

题如果棱台的两底面面积分别是S、S’，中截面的面积是S0，那么（）．此为1998年高考数学试题中的第（9）题．此题可作如下推广：推广1如果棱台的两底面积分别为S1、S2，一平行于底面的截面将棱台的高自上而下分成的高的比为λ，则截面面积满足推广2如果核台的两底面面积分别为S1、S2，一平行于店面的截面将棱台分成自上而下两部分体积的比为λ，则截面面积满足证明（1）如图1，设截面面积为S，截面到上底面距离为λh，到下底面距离为h，将台体补成锥体后，设锥顶P到上底面距离为x，由截锥体性质定理得当λ＝1时为中截面面积公式．（2）…     

体积法解一道微积分题

问题　求由曲线ｙ =x~2 在x轴正半轴与直线x=ｎ所围成的图形的面积Ｓ .此题已超出高一所学的知识范围 ,但我们合理运用祖日恒原理 ,化未知为已知 ,利用等体积的方法求解 .解　如图 ,构造正四棱锥Ｏ ＡＢＣＤ ,底面边长ＡＢ=ｎ ,高ＯＥ =ｎ ;又构造柱体ＯＨ ,以ＯＨＫ为中截面 ,高ＦＧ =1 .(其中ＯＨＫ即是曲线ｙ =ｘ2 与ｘ轴正半轴及直线ｘ =ｎ围成的图形 ) .设任一平行于底面的截面到点Ｏ的距离为ｘ ,则两截面的面积均为ｘ2 ,即有ＳⅠ =ＳⅡ .根据祖日恒原理 ,得ＶⅠ =ＶⅡ .∵　ＶⅡ =13 Ｓ底 ｈ =13 ＳＡＢＣＤ·ＯＥ =ｎ33 ,∴　ＶⅠ =…     

锥体的两个性质及运用

我们知道锥体被平行于底面的平面所截,那么截面和底面的面积比等于截得的锥体的高和原锥体的高的平方比．这是一个很重要的性质,此外,以下两条锥体的性质也是很有用的．设锥体的高为ｈ,侧面积为Ｓ,体积为Ｖ;该锥体被平行于底面的平面所截,截得的锥图１体的高为ｈ′,侧面积为Ｓ′,体积为Ｖ′．这时有以下两个性质：（ｉ）Ｓ′Ｓ＝ｈ′２ｈ２;（ｉｉ）Ｖ′Ｖ＝ｈ′３ｈ３．下面就性质（ｉ）,当锥体为棱锥时简要证明：如图１,设棱锥Ｐ—ＡＢＣ的高为ｈ,侧面积为Ｓ,截面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥底面ＡＢＣ,截得的棱锥Ｐ—Ａ′Ｂ′Ｃ′的高…     

对“关于圆锥曲线的又一组定理”一文中错误的订正

文 [1 ]中给出如下的结论 :引理 1　对于任意的正整数ｑ ,∑ｎ-1ｋ =0ｃｏｓｑ( +2ｋπｎ ) ≡ 0引理 2∑ｎ-1ｋ=0ｃｏｓｒ( +2ｋπｎ ) =0 ,　　　ｒ:奇数ｎ2 ｒＣｒｒ2 ,　　ｒ:偶数定理 4　设圆锥曲线的焦点Ｆ ,若Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｎ 是圆锥曲线上的ｎ个点 ,且∠Ａ1 ＦＡ2 =∠Ａ2 ＦＡ3=… =∠ＡｎＦＡ1 ,则对于 ｍ ∈Ｎ ,1ＦＡ1 ｍ +1ＦＡ2 ｍ +… +1ＦＡｎ ｍ 为定值 .笔者认为 ,上述三个结论都不严密 ,现分析如下 :1　对于引理 1 ,作者显然忽视了ｑ是ｎ的倍数的情形 .因为若ｑ =ｔｎ ,则 ∑ｎ-1ｋ =0ｃｏｓｑ( +2ｋπｎ ) =∑ｎ-1ｋ=…     

斜截三棱柱的一个体积公式

用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ,并约定平面ＡＢＣＤ为底面,ＥＦ到底面ＡＢＣＤ的距离为高.引理　设三棱柱的一个侧面面积为Ｓ,与相对侧棱之间的距离为ｈ,则三棱柱的体积为Ｖ=12Ｓ·ｈ.该引理的证明见文[1],从略.定理　设斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ中,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ(如图2),则斜截三棱柱的体积为Ｖ=图2　定理图ｍ λ 13(ｍ 1)Ｓ·ｈ.证　如图2,过Ｆ作面ＦＭＮ∥面ＡＤＥ,由引理知ＶＡＤＥＭ…     

公式2(S_0)1/2=S1/2 (S′)1/2的推广与应用

在高一《立体几何》中 ,关于台体 (棱台、圆台 )的中截面有这样的一个性质 :2Ｓ0 =Ｓ Ｓ′(《立体几何》Ｐ64 例 2及Ｐ80 习题十第 1 1题 ) .换句话说 ,台体 (棱台、圆台 )的上底面面积Ｓ′、中截面面积Ｓ0 、下底面面积Ｓ的算术平方根Ｓ′、Ｓ0 、Ｓ组成了一个等差数列 ,公差ｄ =12 Ｓ -Ｓ′ .是不是只有中截面与上、下底面的面积具有这种性质 ?其它截面与上、下底面的面积是否具有类似的性质 ?我们不仿看一下 .设台体 (棱台、圆台 )的上、下底面面积分别是Ｓ′、Ｓ ,台体 (棱台、圆台 )的高为ｎｈ ,设Ｓ1 、Ｓ2 …Ｓｎ- 1 分别是过台体 (…     

用平面简单示意图代替多面体的直观图

在解答与棱锥、棱台底面平行的截面有关的问题时 ,用平面简单示意图代替直观图 ,既能省去画直观图的麻烦 ,又能起到想象出它们构造特点的作用 .再利用相似比 ,能顺利地解答这方面的问题 .例 1　已知三棱锥Ｐ ＡＢＣ的侧面积为Ｑ ,Ｍ为高ＰＯ上一点 ,且ＰＭ =13ＰＯ ,过Ｍ作平行于底面的截面 ,求截面与棱锥底面之间棱台部分的侧面积 .图 1　例 1图解　如图 1,设过Ｍ且平行于底面的截面为底的小棱锥的侧面积为Ｓ0 ,棱锥的高为 3ｈ ,则小棱锥的高为ｈ ,由相似比得Ｓ0Ｑ =( ｈ3ｈ) 2 =19,得Ｓ0 =19Ｑ .故所求棱台部分的侧面积为Ｑ -Ｓ0 =Ｑ - 19…     

两个组合恒等式的联系及其组合意义和概率论证法

贵刊 2 0 0 1年第 6期刊载的文 [1 ]证明了组合等式 :∑ｎｉ=0(-1) ｉＣｉｎｉｋ =0　　　　　当ｋ≤ｎ-1且ｋ∈Ｎ时(-1) ｎｎ !　当ｋ =ｎ时笔者发现上述结论正是贵刊 1 996年第 6期刊载的文 [2 ]定理的推论的另外一种表述 .文 [2 ]的定理及推论如下 :定理　设ｆ(ｘ) =ａｘｎ+1 +ｂｘｎ+ｃｎ- 1 ｘｎ- 1 +…+ｃ1 ｘ+ｃ0 是ｎ+ 1次多项式 .则 ∑ｎｉ=0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ= ( - 1 ) ｎｎ !(ａＣ2 ｎ+1 +ｂ)… ( )推论 :设ｆ(ｘ) =ａｘｍ+ｂｍ- 1 ｘｍ- 1 +… +ｂ0 是ｍ次多项式 ,则　∑ｎｉ =0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ =( - 1 ) ｎｎ !ａ…     

对台体截面性质的再认识

有这样一个已被大家所了解的台体截面性质——如果台体 (棱台、圆台 )上、下底面积分别为 S上 、S下 ( S上 相似文献   

分母含组合数的两类幂和的递推求解

文 [1 ]用递推的方法求解了两类幂和∑ｎｋ =1Ｃｋｎｋｍ 与∑ｎｋ =1Ｃｋｎ+ｋｋｍ,本文用类似方法求解另两类有趣的幂和 ∑ｎｋ=1(-1 ) ｋｋｎ/Ｃｋｎ 与 ∑ｎｋ=1ｋｍ/Ｃｋｎ+ｋ.定理 1　记Ｓｍ(ｎ) =∑ｎｋ =1(-1 ) ｋｋｍ/Ｃｋｎ(ｍ ,ｎ∈Ｎ) ,则Ｓｍ(ｎ) =(ｎ+1 ) ∑ｍｉ=0(-1 ) ｉ+1ＣｉｍＳｍ-ｉ- 1(ｎ+1 ) (1定理 2　设Ｔｍ(ｎ) =∑ｎｋ =1ｋｍ/Ｃｋｎ+ｋ,(ｍ ,ｎ ∈Ｎ) ,则∑ｍｉ=1(-1 ) ｉ(Ｃｉｍ-ｎＣｉ- 1ｍ )Ｔｍ-ｉ(ｎ) =(-1 ) ｍ+1+((-1 ) ｍ-ｎｍ) /Ｃｎ2ｎ (2 )分母含组合数的两类幂和的递推求解@郑德印$淮北煤炭师范学院…     

解数列问题的几种模式

读过《优美的级数公式》(《中学生数学》2 0 0 0年 1 2月上 )和《用组合数巧解数列题》(《中学生数学》2 0 0 1年 1 2月上 )等文后很受启发 ,进而归纳出几种讨论数列问题的模式 :模式一　欲证∑ｎｉ=1 ａｉ=Ｂｎ 成立 .若假设其成立的话 ,则Ａｎ =∑ｎｉ=1 ａｉ-Ｂｎ =0 ,对新数列{Ａｎ} ,Ａｎ=∑ｎｉ=1 ａｉ-Ｂｎ.若能证出Ａｎ +1 -Ａｎ=0 ,对一切ｎ成立 ,且Ａ1 =0 ,则Ａｎ =Ａｎ-1 =Ａｎ -2 =… =Ａ1 =0 ,从而∑ｎｉ=1 ａｉ=Ｂｎ 成立 .例 1　求证 :1·2·3…ｋ + 2·3… (ｋ + 1 ) +… +ｎ(ｎ + 1 )… (ｎ +ｋ -1 ) =1ｋ + 1 ｎ(ｎ + 1 )…     

台体中截面面积公式的推广

台体的中截面面积公式为:2了瓦=了瓦,+了不.现将其推广为; 若台体上、下底面积分别为S上、s下,平行于上、下底面且将台体的高自上而下分为久的截面面积为s。,则了否万~抓五十人丫不1+久 证明延长各侧棱(母线)交于一点,台体还原为锥体设顶点与上底面的距离为‘,令“一号,贝”台体上、下底面与截面的距离分别为二、。,由锥体的截面性质可得h+服 h亦即了瓦一而I- 了瓦竺h 一一瓜一瓜同理舞澎五一竺俨主.’.镖任,聂一念一南 将了西石解出即得证· 上述公式与解几中的定比分点坐标公式有共性结构,便于记忆· 显然当久=1时,即为台体的中截面面积…     

幂等阵幂零阵多项式可逆的充要条件及一般方阵多项式可逆性的判定

1　幂等阵多项式设Ａ∈Ｆｎ×ｎ 为一幂等矩阵 ,由于Ａ2 =Ａ ,所以任取ｆ(ｘ) ∈Ｆ[ｘ].ｆ(Ａ)总可以化为ｋＡ+ｌＩｎ的形式 (ｋ,ｌ∈Ｆ ,Ｉｎ 为ｎ阶单位阵 ) .对此我们有定理 1　若Ａ为ｎ阶非零幂等矩阵 ,ｋ≠ 0 ,ｌ≠ 0 ,则ｋＡ +ｌＩｎ 可逆 ｋ≠-ｌ.证　充分性因为ｌ≠ 0 ,ｋ≠-ｌ,所以ｌ(ｋ +ｌ)Ｉｎ 可逆又　 (ｋＡ +ｌＩｎ) [-ｋＡ+(ｋ+ｌ)Ｉｎ]=-ｋ2 Ａ2 +ｋ2 Ａ+ｋｌＡ-ｋｌＡ +ｌ(ｋ+ｌ)Ｉｎ=ｌ(ｋ+ｌ)Ｉｎ所以ｋＡ+ｌＩｎ 可逆 .必要性若ｋＡ+ｌＩｎ 可逆 ,而ｋ=-ｌ,则由Ａ(ｋＡ+ｌＩｎ) =ｋＡ2 +ｌＡ =0 ｎｎ,可知Ｒ(Ａ) +Ｒ(…     

构造几何模型探求自然数的k方和公式

众所周知 ,自然数的平方和公式 ∑ｎｉ=1ｉ2 =ｎ(ｎ+1 ) (2ｎ +1 )6 是可以构造几何模型来推证 ,不少的刊物上曾刊登过有关的研究文章 ,对于自然数的立方和、四方和、…、ｋ方和能不能也通过构造几何模型来探求它们的计算公式呢 ?本文对这个问题进行研究 .问题 1　自然数的立方和公式的模型法探求 .取高都是 1的ｎ个长方体 ,使它们的底面积分别为 1 3,2 3,3 3,… ,ｎ3,底面选为长方形 ,第ｉ个长方形的长 =ｉ2 ,宽 =ｉ(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ) .然后将这ｎ个长方体按照体积的大小 ,从大到小 ,由下往上堆放 ,使上一个长方体的下底面积全部落在下面…     

用函数的思想解平行底面的锥体截面问题

在立体几何中学习锥体和台体时,经常会遇到锥体(或台体)平行底面截面的问题．如已知锥体(或台体)的高被平行于底面的截面分成的比,求各截面的面积或它的侧面积、体积被截面分成的各部分的比,或者相反的一类问题．在现行教材中,一般都用棱锥平行底面的截面性质：“如果棱锥被平行底面的平面所截,     

正项等差数列的不等式

由正项等差数列构成的不等式 ,叫做正项等差数列的不等式 .本文研究这样的一类不等式 .为了叙述简便 ,本文规定 {ａｎ}是公差为ｄ(ｄ >0 )的正项等差数列 ,Ｓｎ 是它的前ｎ项和 ,ｍ ,ｎ ,ｋ都是正整数 .定理 1　 1+ ｍｄｋａ11+ ｍｄｋａ2 ·…· 1+ ｍｄｋａｎ ≥ａｍ + 1ａｍ + 2 ·…·ａｍ +ｎａ1ａ2 ·…·ａｎ1ｋ.(当且仅当ｋ =1时等号成立 )证　由二项式定理得1+ ｍｄｋａｉｋ=1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ +Ｃ2 ｋｍｄｋａｉ2 +… +Ｃｋｋｍｄｋａｉｋ ≥ 1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ =1+ ｍｄａｉ=ａｉ+ｍｄａｉ=ａｍ +ｉａｉ,(当且仅当ｋ =1时取等号 …     

巧用三棱台的一个性质妙解题

众所周知 ,任何一个平面多边形都可以分割成若干个三角形 ,任何一个多面体均可分割成若干个三棱锥 .三棱台ＡＢＣ Ａ1Ｂ1Ｃ1可分割成如图 1所示的三个三棱锥Ａ Ａ1Ｂ1Ｃ1,Ｃ ＡＢ1Ｃ1,Ｂ1 ＡＢＣ ,设三棱台的上、下底面积分别为Ｓ1,Ｓ2 ,高为ｈ ,体积为Ｖ ,则其体积为Ｖ =13(Ｓ1+Ｓ2 +Ｓ1Ｓ2 )ｈ =13ｈＳ1+ 13ｈＳ2+ 13ｈＳ1Ｓ2 .因为ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=13ｈＳ1,ＶＢ1 ＡＢＣ=13ｈＳ2 ,所以ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=13ｈＳ1Ｓ2 .图 1　三棱台的分割图设ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=Ｖ1,ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=Ｖ2 ,ＶＢ1 ＡＢＣ=Ｖ3 ,设 ＡＢＡ1Ｂ1=ｋ ,则 Ｖ2Ｖ1=Ｖ3 Ｖ2=Ｓ2…     

圆锥曲线的一个性质

定理　设Ｐ为圆锥曲线Ｅ上的任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,ＰＡ ,ＰＢ为倾斜角互补的动弦 ,则(Ⅰ )直线ＡＢ与ｌ的倾斜角也互补 ;(Ⅱ )线段ＡＢ中点的轨迹是与原曲线具有相同离心率的圆锥曲线 (当原曲线为圆时 ,ＡＢ中点的轨迹亦是圆 ) .证明　①当圆锥曲线为椭圆、圆或双曲线时 ,不妨设其方程为ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 (其中ｍ >0 ,ｎ >0或ｍｍ <0 ) .又设Ｐ ,Ａ ,Ｂ的坐标分别为(ｘ0 ,ｙ0 ) ,(ｘ1 ,ｙ1 ) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,直线ＰＡ的斜率为ｋ.(Ⅰ )由 ｙ-ｙ0 =ｋ(ｘ-ｘ0 )ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 ,得(ｍ +ｎｋ2 )ｘ2 + 2ｎｋ(ｙ0 -ｋｘ0 )ｘ +ｎ(ｙ0 -ｋｘ0 …